Politechnika Gdańska

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów

Metody Doświadczalne w Analizie Konstrukcji

Sprawozdanie

Ćwiczenie nr 16

Data 2.04.2012

Prowadzący:

dr hab. inż Tomasz Mikulski

Grupa 13.A2 Rok ak. 2011/2012

Opracowali:

1. Łukasz Stempin

2. Paweł Stefanowski

3. Adam Smycz

Oświadczamy, że niniejsze sprawozdanie opracowaliśmy samodzielnie, na podstawie zdobytej wiedzy, dostępnej literatury oraz wyników uzyskanych w laboratorium (dołączonych do sprawozdania).

..............................................................................................................................................

1.Opis doświadczenia.

Doświadczenie polegało na wyznaczeniu środka zginania dwóch belek, pierwszej o przekroju rurowym ($\frac{1}{2}$ rury o promieniu R=3,92cm i grubości ścianek δ=0.27cm) i drugiej w kształcie kątownika (o długości boku b=7,5cm i grubości δ=0,35cm). Do każdej z belek przymocowana była miarka pomiarowa po której przesuwaliśmy ruchomą szalkę z odważnikami. Miarka była zaopatrzona w 2 czujniki zegarowe umożliwiające pomiar kąta skręcania belki. Na początku nieobciążoną odważnikami szalkę ustawiliśmy w punkcie zerowym i dokonaliśmy odczytów początkowych( f_L¹ i f_P¹). Następnie na szalkę nakładaliśmy obciążenie i przesuwaliśmy ją +/- 40 mm notując za każdym razem wskazania czujników (co 10mm; f_L i f_P). Po zdjęciu odważnika ponownie ustawiliśmy szalkę w punkcie zerowym i dokonaliśmy odczytów początkowych ( f_L² i f_P²). Wyliczaliśmy średnie odczyty początkowe

( f_L⁰ i f_P⁰). Następnym etapem doświadczenia było wykonanie obliczeń. Wyniki pomiarów są przedstawione poniżej.

Ugięcia punktów u_L i u_P obliczamy ze wzorów:

u_L = f_L − f_L⁰

u_P = f_P − f_P⁰

Do obliczenia kąta skręcania belki ⌀ skorzystaliśmy ze wzoru:

$$\varnothing = \frac{u_{L} - u_{P}}{a}$$

gdzie a=20cm

2. Wyniki pomiarów

a) Przekrój rurowy

f_L¹ = 3, 97 ∖ nf_P¹ = 4, 11

f_L² = 4, 0

f_P² = 4, 09

f_L⁰ = 3, 985

f_P⁰ = 4, 1

Położenie siły [mm]	Wskazania czujników	Ugięcie punktów	Kąt skręcenia ⌀
	Lewego fL	Prawego fP	Lewego uL
-40	2,20	5,18	-1,785
-30	2,59	4,70	-1,395
-20	2,93	4,28	-1,055
-10	3,235	3,91	-0,75
0	3,59	3,48	-0,395
10	3,93	3,10	-0,055
20	4,29	2,705	0,305
30	4,65	2,29	0,665
40	5,02	1,90	1,035

Wykres:

b) Przekrój kątowy

f_L¹ = 3, 495 ∖ nf_P¹ = 4, 485

f_L² = 3, 49

f_P² = 4, 49

f_L⁰ = 3, 4925

f_P⁰ = 4, 4875

Położenie siły [mm]	Wskazania czujników	Ugięcie punktów	Kąt skręcenia ⌀
	Lewego fL	Prawego fP	Lewego uL
-40	2,37	5,435	-1,1225
-30	2,60	5,17	-0,8925
-20	2,82	4,90	-0,6725
-10	3,07	4,62	-0,4225
0	3,28	4,39	-0,2125
10	3,52	4,12	0,0275
20	3,745	3,87	0,2525
30	3,98	3,62	0,4875
40	4,21	3,38	0,7175

Wykres:

3. Teoretyczne obliczenia środków zginania dla obu przekrojów.

a) Przekrój rurowy.

$$I_{x} = \frac{1}{2}\pi r^{3}\delta$$

S_x(s) = δ∫₀^S⌀yds

S_x(⌀) = ∫₀^⌀r * cosα * r * dα = δ * r² * sinα|₀^⌀ = δ * r² * sin⌀

$$\tau\left( \varnothing \right) = - \frac{T*S_{x}\left( \varnothing \right)}{I_{x}*\delta} = - \frac{T*\delta*r^{2}*sin\varnothing}{\frac{1}{2}\pi r^{3}\delta^{2}} = - \frac{2T}{\text{πrδ}}*sin\varnothing$$

$$\sum_{}^{}{M_{0} = 0 = > T*e = - \int_{0}^{\pi}{\tau\left( \varnothing \right)*r*\delta*r*d\varnothing}}$$

$$T_{e} = \frac{2T*r}{\pi}*\lbrack - cos\varnothing\rbrack|_{0}^{\pi}$$

$$e = \frac{4r}{\pi} \approx 1,27r$$

dla r=3,92cm e=4,991cm

b) Przekrój kątowy.

Środek zginania (skręcania) to punkt w płaszczyźnie przekroju, w którym powinna działać siła tnąca aby pręt był tylko i wyłącznie zginany. W przekrojach gwiaździstych (w tym kątowych) punkt ten pokrywa się ze środkiem gwiazdy czyli w miejscu gdzie krzyżują się strumienie naprężeń stycznych.

$$e^{2} + (\frac{7,5\sqrt{2}}{2})^{2} = 7,5^{2}$$

e² = 28, 125

e=5,30

4. Porównanie wyników doświadczeń z obliczeniami teoretycznymi.

	Środek zginania
	Wynik doświadczenia
przekrój rurowy	2,004+2,71=4,714cm
przekrój kątowy	2,85+2,444=5,294cm

5. Obliczenie położenia środka ciężkości przekroju poprzecznego.

a) Przekrój rurowy.

R=3,92cm

x=R * sinφ

A = ∫R * δ * dφ = R * π * δ

Środek ciężkości S(X_c; Y_c)

$X_{c} = \frac{S_{y}}{A}$ $Y_{c} = \frac{S_{x}}{A}\ $ Y_c = 0 => przekrój mono symetryczny.

S_y = ∫xdA = ∫Rsinφ * Rδ * dφ = −R² * δ * cosφ = −R² * δ * (−2) = 2R²δ

$$x_{c} = \frac{2R^{2}\delta}{2\pi\delta} = 2,496cm$$

Zgodnie z układem współrzędnych przyjętym w doświadczeniu x_c = 4, 5 − 2, 496 = 2, 004cm

b) Przekrój kątowy.

x = 2, 65cm

A = 2 * δ * 7, 5 = 5, 25²

Środek ciężkości S(X_c, Y_c)

S_y = Ax

$$x_{c} = \frac{13,91}{5,25} = 2,65cm$$

Zgodnie z układem współrzędnych przyjętym w doświadczeniu x_c = 5, 5 − 2, 65 = 2, 85cm

6. Wnioski. Uwagi własne.

W wykonywanym ćwiczeniu zarówno w doświadczeniu nr1 jak i w doświadczeniu nr2, wyznaczaliśmy środki zginania, czyli punkty w których należy przyłożyć siłę tnącą
aby nie wywołała momentu skręcającego. Studiując wykresy funkcji ugięć w zależności
od obciążenia znajdujemy punkt przecięcia się dwóch wykresów - jest to punkt w którym nie występuje skręcenie czyli nasz szukany punkt.

Położenie punktu wyznaczone doświadczalnie i teoretycznie różni się nieznacznie zarówno przy przekroju rurowym jak i kątowym . Różnicę ta wynika:

- z niedokładności pomiarów - wiąże się to z niedokładnością przyrządów oraz błędnego

odczytania z czujników pomiarowych .

- z niedokładnego naniesienia punktów wykresu potrzebnego do określenia środka zginania

- z niedokładnego odczytu położenia środka zginania z w.w. wykresu .