Krzywa kocha

Fraktale

W tej sekcji obliczymy wymiar pojemnościowy (Kołmogorowa) krzywej Kocha. W tym celu rozpatrzmy k-ty krok konstrukcji. Mamy 4k odcinków, każdy długości (1 / 3)k. Tak więc:

W celu obliczenia wymiaru Minkowskiego krzywej Kocha F pokrywamy ją dostatecznie małymi kostkami (kwadratami) o boku długości e i wyznaczamy ich liczbę Ne (F ).

Kwadrat o boku długości 1 pokrywa całą krzywą Kocha.

e =1 Ne (F )=1

e =1/3 Ne (F )=4

W celu pokrycia krzywej Kocha kwadratami o boku długości 1/9 potrzebujemy 16 kwadratów.

e =1/9 Ne (F )=16

...

e =1/3k Ne (F )=4k

Zmniejszając długość boku kostki, otrzymujemy wzrost liczby kostek potrzebnych do pokrycia krzywej Kocha.

Policzmy wymiar Minkowskiego

Wymiar krzywej Kocha wynosi 1.26... Okazało się, że dla kolejnego fraktala wymiar nie jest liczbą całkowitą.