Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian ” x-r” jesr równa wartości tego wielomianu dla r

Twierdzenie Bezout

Liczba r jest pierwiastkiem wielomianu w(x) wtedy i tylko wtedy gdy wielomian ten jest podzielny przez dwumian „x-r”

Definicja

Liczbę r nazywamy pierwiastkiem k-krotnym wielomianu w(x) jeżeli jest on podzielny przez (x-r )^k ale nie jest podzielny przez (x-r) ^k+1

Każdy wielomian można przedstawic jako iloczyn dwumianów (poniesionych do potęgi 1 lub wyższej) lub iloczyn trójmianów kwadratowych z ujemnymi wyznacznikami (podniesionych do potegi pierwszej lub wyzszej

Twierdzenie kartezjusza

Załózmy ze w(x) jest wielomianem o wspólczynnikach calkowitych w(x)=……….

Jeżeli liczba wymierna p/q jest pierwiastkiem tego wielomianu to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a₀ zas q jest podzielnikiem wyrazu a_n

-x⁴ ₊ 8x³ -23x² +28x – 12<=0

X^4 -1	X^3 8	X^2 -23	X 28	-12
-1	7	-16	12

(x-1)(-x³+7x²-16x+12)<=0

TABELKA

(x-1)(x-2><-x²+5x-6)<=0

^=1 x₁=3 x₂=2

(x-1)(x-2)(-1)(x -3)(x-2)<=0

-(x-1)(x-2)²(x-3)<=0

X=1 x=2 x=3

X e(-niesk,1]u[2]u[3,+niesk)

Przykład 2

6x⁴-28x³+40x²-4x-16>0

TABELA (bla. Bla, bla ściema :P:D ^^)

(x+1/2)(6x³-32x²+56x-32)>0

2(x+1/2)(3x³-16x²+28x-16)>0

TABELA (kolejne bla bla bla itd. Siema ściema xD ^^)

2(x+1/2)(x-2)(3x²-10x+8)>0

^=4 pierw^=2

X₁=4/3 x₂=2

2(x+1/2)(x-2)3(x-4/3)(x-2)>0

X=-1/2 x=-4/3 x=2

Xe (-niesk,-1/2)u(4/3,2)u(2,+niesk)

Funkcja wymierna to iloczyn W_n(x)/W_n(x)