1a. W jaki sposób można byłoby obliczyć przybliżony pionowy gradient przyspieszenia siły ciężkości ?

Pomierzyć wartość przyspieszenia siły ciężkości na jednym poziomie potem podnieść instrument 1m do góry i ponowny pomiar. Różnica tych wartości będzie wartością pionowego gradientu w danym punkcie.

//to tak wg mnie własnymi słowami//

1b. Zdefiniuj potencjał ciężkościowy, własności powierzchni ekwipotencjalnych.

2. Zależność Brunsa (dW=gxdh) - udowodnij za jego pomocą, że powierzchnie ekwipotencjalne potencjału cieżkościowego w otoczeniu Ziemi są nierównoległe.

N≈$\ \frac{T_{P}}{G_{Q}}$ → odstęp miedzy sferoidą (elipsoidą) a geoidą jest proporcjonalny do wartości potencjału zakłócającego. Zależność ta wyraża odstęp dwóch powierzchni ekwipotencjalnych (elipsoidy i geoidy).

N - odstęp między sferoidą a geoidą. Jest to undulacja geoidy, czyli inaczej wysokość geoidy nad elipsoidą (elipsoida jest powierzchnią ekwipotencjalną, czyli o równym potencjale, a geoida to potencjał rzeczywisty)
T_P- potencjał zakłócający czyli różnica między potencjałem rzeczywistym W na geoidzie a potencjałem normalnym U_Q na elipsoidzie →T=W-U_Q
G_Q-przyspieszenie w punkcie Q

	powierzchnia potencjału rzeczywistego (pow. rzeczywista)- ,,geop” powierzchnia potencjału normalnego na dowolnym poziomie (dowolne miejsce) - ,,sferop”

Zależność Brunsa wiąże różnicę między potencjałem geoidy i potencjałem elipsoidy z wysokością geoidy względem elipsoidy, czyli wiąże wielkość fizyczną z geometryczną. Jeśli zmierzymy wartość różnicy potencjałów będziemy mogli wyznaczyć odległość między geoidą a elipsoidą obrotową (N).

3. Udowodnij za pomocą rysunku, że kierunek linii pionu ulegnie zmianie w pobliżu dużej masy (Temat 1)

4. Udowodnij za pomocą rysunku, że nierówności terenowe zmieniają (jak?) mierzone przyspieszenie siły ciężkości (poprawka topograficzna).

Wprowadzenie poprawki topograficznej ma na celu wyeliminowanie z pomierzonej wartości przyspieszenia siły ciężkości wpływu mas topograficznych, czyli obliczenie takiej wartości przyspieszenia jaka zostałaby pomierzona, gdyby teren wokół stanowiska grawimetrycznego był płaski.

Zatem nadmiar mas jest usuwany, co powoduje zwiększenie wartości grawitacji w punkcie P. Również niedobór mas, który jest uzupełniany, zwiększa wartość grawitacji w punkcie P. Wynika stąd że poprawka topograficzna jest ZAWSZE DODATNIA. Dodatkowe masy przyciągane powodują to, że przyciąganie jest większe czyli przyspieszenie siły ciężkości również.

5. Co to jest "spłaszczenie grawimetryczne", dlaczego jest ono bliskie spłaszczeniu geometrycznemu elipsoidy ziemskiej ?

$\mathbf{\beta =}\frac{\mathbf{\gamma}_{\mathbf{b}}\mathbf{-}\mathbf{\gamma}_{\mathbf{a}}}{\mathbf{\gamma}_{\mathbf{a}}}\mathbf{=}\mathbf{0,00530244\ \lbrack mGal\rbrack}$ - spłaszczenie grawimetryczne,

γ_a=γ_e = 9, 7803267715 m/s²- przyspieszenie siły ciężkości na równiku,

γ_b = 9, 831863685 m/s² -przyspieszenie siły ciężkości na biegunie,

6. Mając dane: ϕ,λ,h,Hn,Ho,G,Γ,gfpZ,σ, podaj sposób obliczenia anomalii (Temat 2):

1. Obl. normalnego przyspieszenia siły ciężkości na podstawie wzoru Clairount’e:

γ₀ = γ_e(1+βsin²φ−β₁sin²2φ…)  [mGal]

gdzie: $\alpha = \frac{1}{298.25642} = 0,00335282$ $\beta = \frac{\gamma_{b} - \gamma_{a}}{\gamma_{a}} = 0,00530244\ \lbrack mGal\rbrack$

$\beta_{1} = \frac{1}{8}\alpha^{2} + \frac{1}{2}\alpha\beta = 0,000010294\ \lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$ $\gamma_{a} = \gamma_{e} = 9,780326771\ \lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

$\gamma_{b} = 9,8321863685\ \lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$ $\frac{\partial\gamma}{\partial h} = G' = - 0,3085\ \left\lbrack \frac{\text{mGal}}{m} \right\rbrack$

$\sigma = 2,44\ \lbrack\frac{g}{\text{cm}^{3}}\rbrack$

β − splaszczenie grawimetryczne

γ_e/γ_b –przyspieszzcenie siły ciężkości na równiku/ biegunie

a) wolnopowietrznej na geoidzie,

2 Obl. redukcji wolnopowietrznej na geoidę: R_gwpg=Γ*H⁰[mGal],

gdzie: Γ=0,3085mGal/m- normalny gradient przyspieszenia siły ciężkości

3. Anomalia wolnopowietrzna : A_gwp=g^fpz+R_gwpg−γ₀ [mGal]

b) Bouguera na geoidzie,

2. Redukcja Bougera na geoidę: R_gBg= − 0, 0419*σ*H⁰[mGal]

3. Anomalia Bougera: A_gB=g^fpz+R_gwpg+R_B−γ₀[mGal]

c) wolnopowietrznej na fizycznej powierzchni Ziemi.

2 Obl. redukcji wolnopowietrznej na geoidę: R_gwpg=Γ * h[mGal],

gdzie: Γ=0,3085mGal/m- normalny gradient przyspieszenia siły ciężkości

3. Anomalia wolnopowietrzna:

7. Znając wzór na anomalię grawimetryczną Ag wyprowadź jego przybliżoną postać dla jednorodnej Ziemi kulistej.

R- średni promień Ziemi

- zaburzenia grawimetryczne

8. Która z redukcji: wolnopowietrzna czy Bouguera jest wykorzystywana do badania figury Ziemi w myśl koncepcji Stokesa i dlaczego ?

W myśl koncepcji Stokesa do badania figury Ziemi można zastosować tylko te redukcje, które nie deformują geoidy tj.:
- nie zmieniają położenia geoidy, jej masy i położenia jej środka ciężkości,
- regularyzują geoidę(żadne masy nie mogą wystawać ponad geoidę).

Gdzie,

g₀ – wartość przyspieszenia na geoidzie

γ₀ – wartość przyspieszenia na elipsoidzie poziomowej

g₀ – to co potrafimy zmierzyć na powierzchni Ziemi + redukcja g₀=g_pom+Rg

Sposób obliczania redukcji Rg determinuje rodzaj i wartość anomalii.

9. W jaki sposób anomalie Bouguera można wykorzystać do obliczania odchylenia linii pionu (Temat 3) ?

10. Jakie postulaty powinien spełniać system wysokościowy ?

Precyzyjne wyznaczenie wysokości wymaga uwzględnienia własności pola ciężkościowego Ziemi.

Wybór systemu wysokości powinien uwzględniać:

1) Wyznaczone wysokości powinny być niezależne od trasy ciągu niwelacyjnego.

2) Wysokości punktów nie powinny być zależne od czynników, określonych w sposób przybliżony np. rozkładu masy, topografii

3) Poprawki przenoszące przewyższenie do określonego systemu powinny być na tyle małe, aby ich nie uwzględniać przy niwelacji o niższej dokładności.

4) W przewyższeniu, w danym systemie wysokościowym, należy wydzielić część geometryczną, pochodzącą z bezpośredniego pomiaru i część geoidalną- tzw. poprawkę niwelacyjną

5) Wysokości punktów na tej samej powierzchni ekwipotencjalnej powinny być jak najbliższe sobie.

11. Wyjaśnij pojęcie: telluroidy, quasi-geoidy i geopa.

Telluroida – bryła, w geodezji, powierzchnia, będąca aproksymacją powierzchni Ziemi w systemie geometrycznych wysokości normalnych Mołodeńskiego, utworzoną przez punkty, w których normalny potencjał siły ciężkości jest równy potencjałowi rzeczywistemu (naturalnemu) punktów na powierzchni Ziemi, leżących na tych samych normalnych liniach pionu, co punkty telluroidy, przy czym odstępy telluroidy od powierzchni Ziemi są praktycznie równe wysokościom quasigeoidy nad elipsoidą odniesienia.

Własności:

-nie jest pow. ekwipotencjalną

-równość potencjału normalnego i rzeczywistego z pow. ziemi

-kształtem przypomina kształt fizycznej pow. Ziemi (nieregularna)

Telluroida – bryła będąca aproksymacją powierzchni Ziemi w systemie geometrycznych wysokości normalnych Molodenskiego. Utworzona jest przez punkty, w których normalny potencjał siły ciężkości jest równy potencjałowi rzeczywistemu (naturalnemu) punktów na powierzchni Ziemi, leżących na tych samych normalnych liniach pionu. Kształt Telluroidy przypomina fizyczną powierzchnię Ziemi.

Quasigeoida– Teoretyczna powierzchnia aproksymująca swobodny poziom mórz i oceanów w systemie wysokości normalnych. Generalizacja geoidy, stanowiąca powierzchnię pomocniczą przy określaniu modelu Ziemi. W Polsce, na obszarach lądowych położonych do 750 m n.p.m., przedmiotowy odstęp mieści się w granicach 1-3 cm, dla obszarów położonych wyżej – mieści się w granicach 5 do 10 cm.

- Opracowana w latach 50 XXw przez Mołodieńskiego

- Nie jest powierzchnią ekwipotencjalną, można jednoznacznie wyznaczyć.

- Odstęp od geoidy jest niewielki, quasi geoida przebiega nad geoidą

- Określa się z dokładnością mm do dm

- Ma bardziej zróżnicowany kształt od geoidy

Quasi-geoida– teoretyczna powierzchnia aproksymująca swobodny poziom mórz i oceanów w systemie wysokości normalnych. Praktyczna generalizacja geoidy, stanowiąca powierzchnię pomocniczą przy określaniu modelu Ziemi.

Własności:

-nie jest pow. ekwipotencjalną

-jest to pow. wtórna w stosunku do systemu wys. normalnych-powstaje ze spadków wys. normalnej odmierzonych od fizycznej pow. Ziemi

-ma bardziej zróżnicowany kształt od geoidy

- lezy b. blisko geoidy: Na obszarze mórz quasigeoida Mołodieńskiego pokrywa się z geoidą. na obszarach lądów odstępy w stosunku do geoidy nie przekraczają dwóch metrów – quasigeoida przebiega nad geoidą. W przypadku obszarów równinnych, odstępy w stosunku do geoidy nie przekraczają kilku centymetrów. W Polsce, na obszarach lądowych położonych do 750 m n.p.m., przedmiotowy odstęp mieści się w granicach 1-3 cm, dla obszarów położonych wyżej – mieści się w granicach 5 do 10 cm

Geop - powierzchnia ekwipotencjalna potencjału siły ciężkości na poziomie dowolnego punktu. Geopem na poziomie morza jest geoida. Geop - powierzchnia potencjału rzeczywistego.

• Wysokość geopu jest mierzona wzdłuż linii pionu

• Mierzona od powierzchni geoidy

• Wysokości punktów na tej samej powierzchni ekwipotencjalnej są sobie równe

12. W jaki sposób można zamienić wysokość z systemu ortometrycznego na wysokość z systemu normalnego ?

Zamiana wysokości jest możliwa poprzez przyspieszenia używanych w definicji wysokości w tych systemach.

(G- pionowy gradient przyspieszenia siły ciężkości)

13. Wymień jakie wielkości należy pomierzyć a jaki obliczyć aby wyznaczyć wartość odstępu quasi-geoidy od geoidy (Temat 4).

Należy pomierzyć: ϕ, λ, Hⁿ (wysokości normalne), g (wartość przyspieszenia siły ciężkości), G (pionowy gradient przyspieszenia siły ciężkości), R_T (poprawka topograficzna), σ (gęstośc wierzchniej warstwy skorupy Ziemi)

Należy obliczyć: Ag_F (Anomalie Fay’a na geoidzie dla przyspieszenia na elipsoidzie GRS80), Ag_B (anomalie Bouguera na geoidzie), I, II, III (trzy składniki wzoru na odstęp quasi-geoidy od geoidy) – do tego należy policzyć γ- przeciętne przyspieszenie normalne w połowie wysokości normalnej/ortometrycznej

14. Wyjaśnij za pomocą rysunku istotę poprawki pływowej do wyników niwelacji precyzyjnej.

Pływami nazywa się zmienne w czasie odkształcenia powierzchni i przemieszczenia masy wewnątrz ciała niebieskiego wywołane działaniem siły zewnętrznych i ruchu wirowego masy odkształcalnej. Pływy na Ziemi są zjawiskami okresowymi, wynikającymi z oddziaływania Księżyca, Słońca i planet Układu Słonecznego zarówno na hydrosferę, atmosferę jak i skorupę ziemską.

Powodują podwyższenie powierzchni Ziemi. Zmiany wysokości wynikają z krzywizny linii pionu. Zmiana kierunku linii pionu wywołana jest przyciąganie Słońca i Księżyca.

Poprawka luno solarna( pływowa) wpływa na zmianę wysokości zależy od odległości zenitalnej, od różnicy azymutów, jest proporcjonalna do długości ciągu. Poprawki pływowe wprowadza się do każdego odczytu grawimetru.

pływowa zmiana wysokości elipsoidalnej (spowodowana jest ona elastycznymi odkształceniami radialnymi skorupy ziemskiej),

15. Jakie dane są niezbędne do obliczenie dryftu grawimetru względnego ? Dane: czas pomiaru (t), odczyty z działki grawimetru (Og), stała grawimetru (k), wartość poprawki pływowej na punktach pomiaru (dg).

Stała grawimetru k = 8,2348 mGal

Przykład obliczenia:

Nr	Czas t	Odczyt z graw. Og	Pop. pływ. dg
3	9:32:07	19,4350	0,137
4	9:48:11	20,0365	0,136
7	10:00:00	20,3630	0,134
4	10:11:41	20,0420	0,132
3	10:25:21	19,4507	0,128

Obliczenia:

Nr	g^′ = Og • k	g = g^′ + dg	Δg	Δt	Δt^2
3	160,0433	160,180	-	-	-
4	164,9966	165,133	-	-	-
7	167,6852	167,819	-	-	-
4	165,0419	165,174	0,041	23,50 min	552,25 min^2
3	160,1726	160,301	0,121	53,20 min	2830,24 min^2
				Suma:	3382,49 min^2

Obliczenie dryftu: $d = \frac{\Sigma(\Delta g \bullet \Delta t)}{\Sigma\text{Δt}^{2}} =$ 0,0022 [mGal/min]

d= 0,13 [mGal/h]

Nr	δt = ti − t0	Δg^d = −d • δt	g^d = g + Δg^d	Δt
3	0,00 min	0	160,180
4	16,07 min	-0,0022*16,07=-0,035	165,098
7	27,88 min	-0,061	167,759
4	39,57 min	-0,086	165,088
3	53,33 min	-0,116	160,185

Nr	δg^d = g^di + 1 − g^di	Δgs
3	0	-
4	4,917	4,190
7	2,661	2,666
4	-2,671	-
3	-4,903	-