69.Promieniowanie cieplne.

Promieniowanie cieplne (termiczne) to promieniowanie, które emituje ciało mające temperaturę większą od zera bezwzględnego. Promieniowanie to jest falą elektromagnetyczną o określonym widmie częstotliwości. Przykładem promieniowania cieplnego jest podczerwień emitowana przez wszystkie ciała w naszym otoczeniu.

Promieniowanie większości ciał, z wyjątkiem rozrzedzonych gazów i barwników, jest do siebie zbliżone posiadając wiele wspólnych cech. Fizycy wprowadzili pojęcie ciało doskonale czarne, którego emisja w danej temperaturze jest największa ze wszystkich ciał.

Promieniowanie tła też charakteryzuje się widmem zbliżonym do promieniowania cieplnego.

Promieniowanie cieplne stanowi jeden z czynników rażenia wybuchu jądrowego. Powoduje pożary budynków, lasów itp. Działając na ludzi powoduje ono oparzenia i czasową lub trwałą utratę wzroku.

70. Promieniowanie ciała doskonale czarnego. Hipoteza Plancka.

Ciała, których powierzchnie całkowicie absorbują padające na nie promieniowanie, nie odbijają światła i są czarne nazywamy ciałami doskonale czarnymi.

Zależność mocy promieniowania wysyłanego przez ogrzane do pewnej temperatury ciało od długości fali λ nazywamy widmem promieniowania termicznego ciała. Widmo dla wszystkich ciał stałych w temperaturze T, niezależnie od składu, jest bardzo podobne do widma ciała doskonale czarnego. Ze wzrostem temperatury ciało emituje coraz więcej promieniowanie termicznego.

Twierdzenie Maxa Plancka

Założenie:

Ciało emitujące promieniowanie jest zbiorem oscylatorów posiadających kwantowane energie.

E=nhν

Gdzie:

n=1,2,3… - liczba kwantowa

ν - częstotliwość oscylatora

Emisja (absorpcja) promieniowania ma miejsce przy przejściu takiego oscylatora do następnego stanu energetycznego. Wówczas emitowana jest porcja – kwant – energii: hν

Moc I emitowana przez jednostkową powierzchnię w przedziale długości fal od λ do λ+dλ będzie proporcjonalna do liczby oscylatorów Plancka o częstotliwości Wzór opisujący widmo doświadczalne promieniowania ciała doskonale czarnego: (wg Plancka)

gdzie:

h – stała Plancka

C₁=2Πhc²

C₂=hc/k_B

71. Zjawisko fotoelektryczne. Efekt Comptona. Dualizm korpuskularno-falowy - cecha wielu obiektów fizycznych (np: światła czy elektronów) polegająca na tym, że w pewnych sytuacjach, zachowują się one jakby były cząstkami (korpuskułami), a w innych sytuacjach jakby były falami.

Wg mechaniki kwantowej właściwie całą materię charakteryzuje dualizm. Każdej cząstce, a nawet każdemu obiektowi makroskopowemu można przypisać charakterystyczną dla niego funkcję falową, wynikającą z probabilistycznej natury materii. Z drugiej strony każde oddziaływanie falowe można opisać w kategoriach cząstek.

Dualizm korpuskularno-falowy jest w sformalizowanym języku mechaniki kwantowej opisany równaniem Schrödingera:

gdzie i to jednostka urojona, to stała Plancka podzielona przez 2π, H to operator różniczkowy - hamiltonian opisujący całkowitą energię analizowanej cząstki, zaś to funkcja falowa przypisana do analizowanej cząstki (funkcje falowe są funkcjami zespolonymi).

Otrzymana w wyniku rozwiązania tego równania funkcja falowa, a dokładniej kwadrat modułu funkcji falowej opisuje prawdopodobieństwo wystąpienia danej cząstki w określonym miejscu przestrzeni w objętości d³x. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w całej przestrzeni jest równe 1 (jesteśmy pewni, że gdzieś jest). Stąd

Funkcje te dla elektronów znajdujących się w otoczeniu jąder atomów są nazywane orbitalami, zaś dla fotonów sprowadzają się do równań Maxwella, znanych już w XIX w. i opisujących własności fal elektromagnetycznych.

Jednym z najbardziej znanych dowodów na dualną naturę światła jest zjawisko Comptona.

Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne polega na uwalnianiu przez światło elektronów z powierzchni różnych materiałów np. metal. Maksymalna energia kinetyczna Ek uwolnionych elektronów nie zależy od natężenia padającego światła.

Teoria Plancka dot. Ciała doskonale czarnego doprowadziła Einsteina do wniosku, że światło można traktować jako strumień cząstek – fotonów z których każda niesie określoną porcję (kwant) energii E=hv

W zjawisku fotoelektrycznym jeden foton jest całkowicie absorbowany przez jeden elektron, który dzięki temu może uzyskać maksymalną energię kinetyczną:

E_kin=hν-W

Gdzie: W – praca wyjścia równa energii potrzebnej do uwolnienia elektrony z metalu

Fotony o energiach mniejszych od pracy wyjścia W nie uwolnią elektronu. Stąd właśnie pojawia się częstotliwość progowa ν₀ odpowiadająca najmniejszej energii fotonów, niezbędnej do wywołania zjawiska fotoelektrycznego hν₀=W

Zjawisko Comptona polega na rozpraszaniu kwantów światła, czyli fotonów na swobodnych lub słabo związanych elektronach. O elektronach tych zakłada się, że ich ruch przed rozproszeniem jest na tyle powolny, że można przyjąć ich prędkość jako równą zeru. Pęd i energię fotonów określają relacje de Broglie'a: p = h / λ, E = hν. Energię elektronu przed zderzeniem określa wzór relatywistyczny na energię spoczynkową, E = m₀c². Energia elektronu po zderzeniu jest dana wzorem E² = p²c² + m²c⁴, gdzie m jest masą zależną od prędkości.Te wzory są podstawą do zapisania zasad zachowania energii i pędu dla procesu zderzenia fotonu z elektronem. W tym zderzeniu foton traci nieco energii, a więc wydłuża się jego długość fali. Jednocześnie foton zmienia swój kierunek ruchu. Kąt jego odchylenia od kierunku pierwotnego oznacza się jako θ. Stąd wynika wzór na zmianę długości fali fotonu:

co wyraża się też:

Δλ = λ₀ (1 - cos(θ))

Gdzie λ₀ jest długością fali materii elektronu i nazywana jest długością Comptona.

72. Hipoteza de Broglie’a.

Hipoteza de Broglie'a zakłada, że wszystkie cząstki takie jak protony, elektrony, neutrony można traktować jako fale o długości równej, gdzie, h - stała Plancka oraz p - pęd.

Hipoteza ta stanowi jedną z podstaw teorii dualizmu korpuskularno-falowego światła.

Równanie de Broglie'a stanowi relację pomiędzy długością fali a masą i pędem cząstki:

gdzie:

λ - długość fali

h - Stała Plancka

p - pęd cząstki

m - masa cząstki

v - prędkość cząstki

K - energia kinetyczna cząstki

73.Doświadczenie Davissona-Germera.

Elektrony emitowane przez rozgrzane włókno przyspieszane są za pomocą różnicy potencjałów U i wylatują z "działka elektronowego" mając energię kinetyczną równą eU. Wiązka elektronów pada następnie na monokryształ niklu (C). Detektor (D) ustawiony jest pod pewnym kątem i dla różnych wartości napięcia przyspieszającego U mierzone jest natężenie rozproszonej wiązki.

Obecność maksimum w rozkładzie natężenia elektronów stanowi jakościowy dowód słuszności postulatu de Broglie’a. Istnienie tego maksimum można wyjaśnić jedynie jako wynik interferencji fal rozproszonych na periodycznie rozmieszczonych atomach, tworzących płaszczyzny krystaliczne monokryształu. Zjawiska tego nie da się wytłumaczyć na podstawie analizy ruchu cząstki klasycznej, lecz tylko na gruncie teorii ruchu falowego. Interferencja z jaką mamy do czynienia w omawianym doświadczeniu nie jest interferencją fal stowarzyszonych z jednym elektronem z falami stowarzyszonymi z innymi elektronami. Jest to interferencja związanych z tym samym elektronem fal ugiętych na różnych obszarach kryształu.

Wszystkie wyniki doświadczalne zgadzały się doskonale, ilościowo i jakościowo, z postulatem de Broglie'a i stanowiły przekonywający dowód na to, że cząstki materialne poruszają się zgodnie z prawami ruchu falowego.

Korzystając z warunku Bragga na wzmocnienie możemy wyliczyć długość fali

i porównać ją z długością fali de Broglie'a.

W granicach błędu wartości długości fali są takie same.

74.Prędkość fazowa i grupowa fal de Broglie’a :

Prędkość fazowa:

V_f = λ v prędkość fazowa fali

V_f = h/p*E/p=E/p

V_f = $\frac{\frac{\text{mv}2}{2}}{\text{mv}}$ = v/2 v- prędkość cząstki

Prędkość grupowa:

- ograniczony ciąg falowy, który może być zastąpiony przez zespół nieskończonych fal harmonicznych wąskiego przedziału Δ k (k= 2π /λ  liczba falowa) nazywamy paczką fal

Symetryczne względem osi OX i OY

V_g=dw/dk prędkość grupowa

ω = 2 πν ; k = 2 π /λ

dw = 2 π /h dE ; dk =2 π /h dp

v_g = dw/dk = dE/dp ; E = mv²/2 ; p = mv

dE = mvdv ; dp = mdv ;

v_g = v

cząstka materialna nie może być skojarzona z paczką falową materii, gdyż paczka falowa rozpływa się podczas ruchu

75. Równanie Schródningera

Ψ (x,t) = Ae^-i(ωt-kx)

ə Ψ (x,t)/ əx = ik Ae^-i(ωt-kx) = ik Ψ (x,t)

i² = -1 jednostka urojona

k = 2 π /λ liczba falowa

p = ћk => k = p/ћ , ћ = h/2 π

ə Ψ (x,t)/ əx = i p/ћ Ψ (x,t)

p[Ψ (x,t)] = -iћ$\frac{@}{@x}$ [Ψ (x,t)]

ə Ψ (x,t)/ ət = -iϖAe^-i(ωt-kx) = -iϖΨ (x,t)

E = ћϖ => ϖ = E/ћ

ə Ψ (x,t)/ ət = -i E/ћ Ψ (x,t) /*i

i* ə Ψ (x,t)/ ət = E/ћ Ψ (x,t)

E [Ψ (x,t)] = iћ$\frac{@}{@t}$ [Ψ (x,t)]

Wzór?

1/2m(-iћ$\frac{@}{@x}$)² + v(x,t)= it$\frac{@}{@t}$

(-iћ)²= -ћ²

- (ћ²/2m * (ə² Ψ (x,t)/ əx²)) + v(x,t) = iћ$\frac{@}{@t}$ równanie operatorowe

- (ћ²/2m * (ə² Ψ (x,t)/ əx²)) + v(x,t) Ψ (x,t) = iћ (ə Ψ (x,t)/ ət) równanie Schródningera

76. Równanie Schródningera niezależne od czasu :

Ψ (x,t) = Ψ (x) ϕ(t)

-(ћ²/2m)* (ə² Ψ (x) ϕ(t))/əx²+ v(x) Ψ (x) ϕ(t) = iћ (əΨ (x) ϕ(t))/ ət

ə² Ψ (x) ϕ(t)/əx² = ϕ(t) d²Ψ (x)/dx²

əΨ (x) ϕ(t)/ət = Ψ (x) dϕ(t)/dt

-(ћ²/2m) ϕ(t) (d²Ψ (x)/dx²) + v(x) Ψ (x) ϕ(t) = iћΨ (x) dϕ(t)/dt /:Ψ (x) ϕ(t)

1/Ψ (x)[ -(ћ²/2m) (d²Ψ (x)/dx²) + v(x) Ψ (x)] = iћ(1/Ψ (x)) (dϕ(t)/dt)

1) 1/Ψ (x)[ -(ћ²/2m) (d²Ψ (x)/dx²) + v(x) Ψ (x)] = G

2) iћ(1/Ψ (x)) (dϕ(t)/dt) = G

dϕ/dt = -(iG ϕ(t)/ћ)

ϕ(t) = e^αt

dϕ(t)/dt = α e^αt = αϕ(t)

αϕ(t) = -(iG ϕ(t)/ћ)

ϕ(t) = cos(Gt/ћ) – i sin(Gt/ћ) = cos(2π Gt/h) - sin(2π Gt/h)

ν = G/h ale ν = E/h => G = E

(d² Ψ (x)/ dx²)) + v(x) Ψ (x) = E Ψ (x) równanie Schródningera niezależne od czasu!!!

Ψ (x,t) = Ψ (x) e^-$\frac{\text{iEt}}{tsh}$

77. Interpretacja funkcji falowej :

- statystyczna interpretacja Borna funkcji falowej

Ψ = Ψ e^-$\frac{\text{iEt}}{tsh}$

Ψ^∗ = Ψ^∗ e$\frac{\text{iEt}}{tsh}$ ; Ψ^∗ − sprzężone

ΨΨ^∗ = prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w elemencie objętości dτ

Ψ•Ψ^∗ − gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w jednakowym elemencie objętości

∫ΨΨ^∗ dτ = 1 warunek normalizujący

Obserwując dyfrakcję elektronów nie trzeba wyciągać wniosków, ze cząstki te stają się falami, ale że praca ruchu w mikroświecie ma charakter falowy.

78. Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Zasada nieoznaczoności mowi ze nie można z dowolna dokładności wyznaczyć jednocześnie pędu i położenia cząstki. Jest ona konsekwencja dualizmu korpuskularno-cząstkowego.

Jeżeli chcemy poprawić pomiar Δx to w wyniku zmniejszenia szerokości szczeliny otrzymujemy szersze widmo dyfrakcyjne (mocniejsze ugięcie). Inaczej mówiąc zwiększone zostało Δp. Równanie to przedstawia ograniczenie nałożone na dokładność pomiarów przez przyrodę. Równanie to jest szczególnym przypadkiem ogólnej zasady podanej przez W. Heisenberga znanej jako zasada nieoznaczoności. W zastosowaniu do pomiaru pędu i położenia głosi ona ze:

Tak więc żadna składowa ruchu elektronu nie może być określona z nieograniczoną dokładnością. Ta sama zasada obowiązuje w odniesieniu do energii i czasu.