20.4.1 Równanie Eulera – wyraża zależność ciśnienia hydrostatycznego od sił masowych. 21.4.2 Równanie Bernoulliego dla strugi cieczy doskonałej. Równanie B. opisuje zachowanie gęstości energii całkowitej na linii prądu. Obowiązuje ono w podstawowej wersji dla płynu doskonałego. Wynika z zasady zachowania energii. Przy wyprowadzeniu tego równania korzystamy z zasady mechaniki, z ktorej wynika że suma prac wykonanych przez siły zewnętrzne (Lp) równa jest przyrostowi całkowitej energii układu (∆Ec), czyli Lp=∆Ec Praca sił zewnętrznych obywa się na drogach dl1 i dl2 : Lp = p1*dF1*dl1-p2*dF2*dl2=p1*dF1*V1*dt-p2*dF2*V2*dt Istnieje równość elementarnych objętości cieczy dF1*dl1=dF2*dl2, gdyż uwzględnia się przepływ w rurce prądu, względnie z równania ciągłości przepływu dF1*V1=dF2*V2 biorac to pod uwagę: Lp = dF*dl(p1-p2) = dF*V(p1-p2)dt Nastepnie rozpatrujemy całkowitą energię w przekroju Ec = Ep + Ek Rozpatrujemy zmianę energii potencjalnej między przekrojami: ∆Ep = ρ*dF*dl*g(z2-z1) Oraz zmianę energii kinetycznej między tymi samymi przekrojami: ∆Ek = ρ*dF*dl*V2^2−V1^2/2 Zatem korzystając ze wzoru Lp = ∆Ep + ∆Ek i ostatnio wyznaczanych zalezności na pracę sił zewnętrznych Lp otrzymujemy: dF*dl(p1-p2) = ρ*dF*dl*g(z2-z1) + ρ*dF*dl*V2^2−V1^2/2 w którym wszystkie jego człony wyrazone są w dzulach. Po uproszczeniu: p1-p2 = 𝛶(z2-z1) + 𝛶/g * V2^2−V1^2/2 mnożąc obustronnie przez 1/𝛶 otrzymujemy: $$\mathbf{z}\mathbf{1}\mathbf{+}\frac{\mathbf{p}\mathbf{1}}{\mathbf{\Upsilon}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{v}\mathbf{1}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{g}}\mathbf{=}\mathbf{z}\mathbf{2}\mathbf{+}\frac{\mathbf{p}\mathbf{2}}{\mathbf{\Upsilon}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{v}\mathbf{2}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{g}}$$ 22.4.3 Równanie B. dla strumienia cieczy doskonałej. W praktyce posługujemy się strumieniem cieczy ( a nie strugą) dlatego równanie B. należy odpowiednio dostosować do wyrażenia dotyczącego energii kinetycznej (wysokości prędkości) przez wprowadzenie prędkości średniej. $$\mathbf{z}\mathbf{1}\mathbf{+}\frac{\mathbf{p}\mathbf{1}}{\mathbf{\Upsilon}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\alpha}\mathbf{\bullet}\mathbf{v}\mathbf{1}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{g}}\mathbf{=}\mathbf{z}\mathbf{2}\mathbf{+}\frac{\mathbf{p}\mathbf{2}}{\mathbf{\Upsilon}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\alpha}\mathbf{\bullet}\mathbf{v}\mathbf{2}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{g}}$$ 23.4.4 Równanie B. dla strumienia cieczy rzeczywistej. W praktyce spotyka się przepływy w strumieniach cieczy rzeczywistych ( a nie idealnych, doskonałych). Dla tak powszechnych przypadków występujących w przyrodzie, codziennym życiu i działalności gospodarczej należy dysponować odpowiednim równaniem B. Powinno ono być dostosowane do strumienia o skończonych wymiarach pola powierzchni przekroju poprzecznego oraz przepływu w nim cieczy rzeczywistej. Jak wiadomo taka ciecz będąca w nich stawia opory tarcia, zmniejszające całkowitą energię mechaniczną strumienia zmieniając się w inny rodzaj np. w energię cieplną która ulega dyssypacji (rozproszeniu) W takim przypadku po prawej stronie równania B dodajemy sumę strat hydraulicznych hs które powstają na odcinku rurociągu między przekrojami. $\mathbf{z}\mathbf{1}\mathbf{+}\frac{\mathbf{p}\mathbf{1}}{\mathbf{\Upsilon}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\alpha}\mathbf{\bullet}\mathbf{v}\mathbf{1}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{g}}\mathbf{=}\mathbf{z}\mathbf{2}\mathbf{+}\frac{\mathbf{p}\mathbf{2}}{\mathbf{\Upsilon}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\alpha}\mathbf{\bullet}\mathbf{v}\mathbf{2}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{g}}$ + hs Spad hydrauliczny to róznica rzędnych linii energii między rozpatrywanymi przekrojami można go wyrazić: hs= ($\mathbf{z}\mathbf{1}\mathbf{+}\frac{\mathbf{p}\mathbf{1}}{\mathbf{\Upsilon}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\alpha}\mathbf{\bullet}\mathbf{v}\mathbf{1}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{g}}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{(\ }\mathbf{z}\mathbf{2}\mathbf{+}\frac{\mathbf{p}\mathbf{2}}{\mathbf{\Upsilon}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\alpha}\mathbf{\bullet}\mathbf{v}\mathbf{2}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{g}}\mathbf{)}$ 24.4.5. Doświadczenie i liczba Reynoldsa. Istota doświadczenia polega na obserwacji ruchu barwnego roztworu po jego doprowadzeniu do przezroczystej rury, która bezbarwna ciecz przepływa ustalonym ruchem jednostajnym. Przy niewielkich prędkościach przepływu barwnik układa się w osi rury w postaci cienkiej nitki, zas po przekroczeniu pewnej prędkości roztwór rozprzestrzenia się i zabarwia badaną ciecz w rurce. Liczba Reynoldsa pozwala ustalić moment przejści z ruchu laminarnego w burzliwy. Dla Re ≤ 2320 w przewodzie panuje ruch laminarny, dla Re  ≥  2320 przepływ laminarny lub burzliwy, dla Re > 50000 panuje ruch burzliwy. Re = V*d/v = 2320 gdzie: V- średnia prędkość przepływu cieczy w przewodzie kołowym m/s, d – średnica przewodu m, v – kinematyczny współczynnik lepkości ( m^2/s) 25.4.6 Promień hydrauliczny. W praktyce inżynierskiej przepływy cieczy odbywają się w przewodach i kanałach o różnym kształcie przekroju poprzecznego oraz przy całkowitym lub częściowym wypełnieniu przekroju. W celu umożliwienia przybliżonego podziału ruchu i obliczenia strat tarcia w przewodach i kanałach o dowolnych kształtach, stosowanych w instalacjach rurociągach i kanałach wprowadzony został wskaźnik zwany promieniem hydraulicznym: Rh=F/U [m] , gdzie: F – pole powierzchni przekroju poprzecznego, czynnego ( w którym odbywa się przepływ cieczy) m^2, U – obwód przekroju zwilżony cieczą, m. 26.4.7 Straty hydrauliczne i prędkość cieczy. Straty hydrauliczne na długości powstają podczas przepływu ruchem ustalonym cieczy rzeczywistej w przekroju kołowym. Straty liniowe w przewodach (wg Darcy-Weisbacha) $\mathbf{\text{Pstr}}\mathbf{= \ }\mathbf{\lambda}\frac{\mathbf{L}}{\mathbf{D}}\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{v}^{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet}\mathbf{\rho}\mathbf{\ }}{\mathbf{2}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}$ $\mathbf{\text{hL}}\mathbf{=}\mathbf{\lambda}\frac{\mathbf{L}}{\mathbf{D}}$∙$\frac{\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{g}}$ Straty miejscowe w przewodach $\mathbf{\text{Pstr}}\mathbf{=}\sum_{}^{}{\mathbf{\zeta}\mathbf{\bullet}}\frac{\mathbf{v}^{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet}\mathbf{\rho}}{\mathbf{2}}$ $\mathbf{\text{hstr}}\mathbf{=}\sum_{}^{}{\mathbf{\zeta}\mathbf{\ }}\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{g}}$ Średnia prędkość przepływu w rurociągach i kanałach według C h e z y’ e g o $\mathbf{V}\mathbf{=}\mathbf{c}\sqrt{\mathbf{\text{Rh}}\mathbf{\bullet}\mathbf{J}}$ , gdzie: Rh – promień hydrauliczny, c- współczynnik prędkości, J – spadek hydrauliczny 27.4.8 Przepływ cieczy w rurociągu i rozkład prędkości. 4.8.1 Przepływ laminarny, prawo Hagena – Poiseuille’a Przepływ laminarny jest to przepływ uwarstwiony (cieczy lub gazu), w którym kolejne warstwy płynu nie ulegają mieszaniu (w odróżnieniu od przepływu turbulentnego, burzliwego). Przepływ taki zachodzi przy małych prędkościach przepływu, gdy liczba Reynoldsa nie przekracza tzw. wartości krytycznej. Prawo Hagena-Poiseuille'a - prawo fizyczne opisujące zależność między strumieniem objętości cieczy a jej lepkością (która wynika z tarcia wewnętrznego), gradientem ciśnień, a także wielkościami opisującymi wielkość naczynia (długość, promień przekroju poprzecznego). Wzór na prędkość maksymalną: $\mathbf{\text{Vmax}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{p}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{p}\mathbf{2}}{\mathbf{4}\mathbf{\mu}\mathbf{\bullet}\mathbf{L}}\mathbf{\bullet}\mathbf{R}^{\mathbf{2}}$ Natężenie przepływu w całym rurociągu: $\mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi}\mathbf{R}^{\mathbf{4}}\mathbf{(}\mathbf{p}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{p}\mathbf{2}\mathbf{)}}{\mathbf{8}\mathbf{\text{μL}}}$ Średnia prędkość przepływu: $\mathbf{V}\mathbf{s}\mathbf{r}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{8}\mathbf{\text{μL}}}\mathbf{(}\mathbf{p}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{p}\mathbf{2}\mathbf{)}$ 4.8.2 Przepływ burzliwy. Najczęściej występuje w inżynierii sanitarnej i wodnej. W przeciwieństwie do ruchu laminarnego wektory prędkości poszczególnych cząstek cieczy posiadają, oprócz skąłdowcyh równoległych do osi rury, również prostopadłe do niej składowe prędkości powodujące zderzenia między sobą i z wewnętrznymi ściankami rurociągu. Efektem tego jest mniejsze zróżnicowanie rozkładu prędkości od osi rury ku jej ściankom niż ma to miejsce w przypadku ruchu laminarnego. W ruchu burzliwym iloraz prędkości średniej i maksymalnej: Vśr/Vmax = 0,83 stąd wynika że Vmax = 1,2 Vśr Chropowatość bezwzględna – wysokość nierówności k w mm. Chropowatość względna – stosunek chropowatości bezwzględnej k do promienia R lub średnicy rury d, $\varepsilon = \frac{k}{R}\ \text{lub}\ \varepsilon = \frac{k}{d}$ 28.4.9 Współczynnik strat hydraulicznych. Dla ruchu laminarnego stosuje się wzór Hagena λ = 64/Re Dla gładkich rur o przekroju kołowym w przedziale 2,3 * 10^3 ≤ Re ≤ 3*10^3 wzór Blasiusa: λ = 0,316 Re ^-0,25 Według Nikuradse przy 4 * 10^3 ≤ Re ≤ 3,2 * 10^6 : λ = 0,0032 + 0,221 Re^-0,237 Prandtl na podstawie teoretycznych rozważań ustalił zależność $\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{\lambda}}}$ = a∙lg(Re$\sqrt{\mathbf{\lambda}}$) + b , gdzie a=2, b= -0,8 Wzór C o l e b r o o k – W h i t e $\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{\lambda}}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\lg}\left\lbrack \frac{\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{l}}{\mathbf{\text{Re}}\sqrt{\mathbf{\lambda}}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{k}}{\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{7}\mathbf{\text{ld}}} \right\rbrack$ Drugim rodzajem strat hydraulicznych, które pojawiły się w równaniu B. dla strumienia cieczy rzeczywistej są straty miejscowe (lokalne). Po to aby je wyznaczyć niezbędne jest określenie właściwego schematu elementu instalacji lub urządzeń i wartości ζ. Tymi elementami mogą być różnego rodzaju łuki, kolana płaskie lub przestrzenne, zawory itp. 29.4.10 Wykresy Ugo Ancony. Wykres Ancony podaje sposób ustalania położenia linii ciśnień i energii na profilu podłużnym rurociągu, w którym płynie ciecz rzeczywista. Na tym wykresie uwzględnione są poszczególne człony równania B. wraz ze stratami hydraulicznymi. Ponadto może być podany profil podłużny terenu i zabudowy, gdyż wszystkie te informacje posiadają tę samą jednostkę miary (metry). 30.4.11 Syfony. W inżynierii sanitarnej i wodnej możliwe są przypadki kolizji trasy rurociągów i kanałów z istniejącymi ciekami, drogami kołowymi i żelaznymi. W celu uniknięcia tego zjawiska do minimum projektuje się w tych miejscach syfony, które stanowią przewód ciśnieniowy (z metalu, tworzyw sztucznych lub żelbetu) przeprowadzający ciecz (najczęściej wodę, scieki) pod przeszkodą. Charakteryzuje się on tym, że przed wlotem do przewodu zwierciadło cieczy leży powyżej przewodu syfonowego i zwierciadła wody na wylocie, a to z uwagi na konieczność pokonania strat hydraulicznych (miejscowych i liniowych) powstałych podczas ruchu cieczy rzeczywistej. Średnia prędkość $\mathbf{V}\mathbf{=}\mathbf{\zeta}\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{\text{gh}}}$ Natężenie przepływu (przepustowość) $\mathbf{Q}\mathbf{=}\mathbf{\text{FV}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi}\mathbf{d}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}}\mathbf{\bullet}\mathbf{\zeta}\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{\text{gh}}}$ 31.4.12 Lewary Lewar to przewód zamknięty wypełniony cieczą, służący do jej transportu ponad przeszkodą ze zbiornika położonego poniżej kolana. Przed rozpoczęciem pracy lewar musi być całkowicie wypełniony cieczą poprzez jego odpowietrzenie lub zalanie. Przepływ w lewarze odbywa się samoczynnie. W lewarach ważną funkcję pełnia kolana mające dwa różne promienie krzywizny ścianek wewnętrznych. Niech krzywizna wypukła posiada promień r a wklęsła R, iloraz R/r = n. Lewary o małym przekroju mają n < 1,25 a duże n≥1,25. (Wzory dla lewara o małym przekroju jak w syfonach). Dla lewara o dużym przekroju: $\mathbf{V}\mathbf{s}\mathbf{r}\mathbf{=}\mathbf{\text{Vo}}\mathbf{*}\frac{\ln\left( \mathbf{n} \right)}{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}}$ $\mathbf{V}\mathbf{s}\mathbf{r}\mathbf{\ }\mathbf{\text{rzecz}}\mathbf{=}\mathbf{V}\mathbf{s}\mathbf{r}\sqrt{\mathbf{H}\mathbf{/}\mathbf{\text{hs}}}$ Q = F * Vśr rzecz