Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie współrzędnych x i y. Np. y - wysokość, x - odległość w kierunku poziomym. Pokażemy, że taki ruch można traktować jak dwa niezależne ruchy

jednowymiarowe.

3.1 Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie

Położenie punktu w chwili t przedstawia wektor r(t); prędkość wektor v(t), przyspieszenie wektor a(t). Wektory r(t), v(t), a(t) są wzajemnie zależne od siebie i dadzą się przedstawić za pomocą wersorów i, j czyli wektorów jednostkowej długości zorientowanych odpowiednio

wzdłuż osi x i y

Położenie punktu określić można podając wektor r lub, dla wybranego układu odniesienia, poprzez podanie współrzędnych tego wektora np. x, y. Oczywiście wektor r i jego współrzędne zmieniają się z czasem więc trzeba podać zależności czasowe r(t), x(t), y(t) tak jak na rysunku- animacji poniżej.

Rozpatrzmy ruchu jednostajnie zmienny na płaszczyźnie (ze stałym przyspieszeniem tzn. nie zmieniają się ani kierunek ani wartość przyspieszenia to nie zmieniają się też składowe przyspieszenia). Równania wektorowe dla tego ruchu:

Przypuśćmy, że chcemy znaleźć położenie ciała (wektor r) po czasie t: trzeba wyznaczyć (znaleźć wartość, kierunek i zwrot) i dodać do siebie geometrycznie trzy wektory: r0, v0t oraz 1/2at2 .

Zadanie możemy jednak znacznie uprościć korzystając z tego, że równania wektorowe (3.2) są równoważne równaniom w postaci skalarnej (zestawionym w tabeli 3.1 poniżej) i zamiast dodawania geometrycznego wektorów możemy po prostu dodawać liczby.

Znalezienie wektora r sprowadza się teraz do znalezienia jego składowych.

Przykładem na którym prześledzimy ruch krzywoliniowy ze stałym przyspieszeniem jest rzut ukośny (Piłka kopnięta przez piłkarza lub rzucona przez koszykarza, oszczep lub dysk rzucony przez atletę czy wreszcie pocisk wystrzelony z działa poruszają się poruszają się po torze krzywoliniowym).

Naszym celem jest znalezienie prędkości i położenia rzuconego ciała w dowolnej chwili, opisanie toru ruchu i wyznaczenie zasięgu rzutu.

Jeżeli pominiemy opory powietrza to ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem grawitacyjnym g.

Ponieważ przyspieszenie jest skierowane "w dół" wygodnie jest wybrać układ współrzędnych tak, że x będzie współrzędną poziomą, a y pionową.

Ponadto, przyjmijmy, że początek układu współrzędnych pokrywa się z punktem, z którego wylatuje ciało tzn. r₀ = 0 oraz, że prędkość w chwili początkowej t = 0 jest równa v₀ i tworzy kąt Q z dodatnim kierunkiem osi x.

Składowe prędkości początkowej:

Składowe prędkości początkowej (zgodnie z rysunkiem) wynoszą odpowiednio

Stąd dla składowej x (poziomej) prędkości otrzymujemy

Ponieważ gx = 0 (przyspieszenie jest skierowane "w dół") więc

Składowa pozioma prędkości jest stała, ruch w kierunku x jest jednostajny. Natomiast dla składowej pionowej y otrzymujemy:

Ponieważ gy = -g (przyspieszenie jest skierowane "w dół") więc:

Wartość wektora prędkości w dowolnej chwili wynosi:

Teraz obliczamy położenie ciała w dowolnej chwili t.

Wartość wektora położenia w dowolnej chwili obliczamy z zależności:

Sprawdźmy teraz po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdźmy równanie krzywej y(x). Równania (3.9) przedstawiają zależność x(t) oraz y(t). Równanie y(x) możemy więc obliczyć eliminując czas t z tych równań.

Z zależności x(t) obliczamy t, a następnie wstawiamy do równania y(t), które przyjmuje postać:

Otrzymaliśmy równanie paraboli (skierowanej ramionami w dół) i taki kształt ma tor ruchu y(x) pokazany na rysunku: