1. Podać sposób wyznaczania prawdopodobieństwa zawierania się wartości zmiennej losowej w przedziale <a,b> na podstawie funkcji gęstości i dystrybuanty ,zakładając rozkład normalny
   

2.Standaryzacja zmiennej losowej

Wartość oczekiwana μ jest równa 0
Odchylenie standardowe σ jest równe 1

3.na czym polega róznica między rozkładem normalnym zmiennej X od rozkładu zmiennej standaryzowanej U
rozkład normalny może przybierać różne wartości μ i σ a rozkład standaryzowany ma zawsze μ=0 I σ=1
4.zmienna x ma rozkład normalny N(50,5) określić prawdopodobieństwa
a) Pr(X>55)
Pr(X>a)=1-F(a) funkcja excela: 1-(Rozkład.Normalny(55;1;2;1))
b) Pr(X<43)
Pr(X<a)=F(a) funkcja excela: Rozkład.Normalny(43;1;2;1)
c)Pr(40<X<60)
Pr(a<X<b)=F(b)-F(a) Rozkład.Normalny(60;1;2;1)- Rozkład.Normalny(60;1;2;1)
5.

6.sposób określania przedziałów ufności średniej w zależnośći od próby i odchylenia standardowego
Występują 3 modele :
1.Rozkład populacji normalny N(μ, σ) σ znane
-obliczamy μ ze wzoru na średnią arytmetyczną

$$\ \mu\ = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}\text{\ \ \ \ \ \ \ }\backslash n$$

${\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\sigma\ }_{\overset{\overline{}}{x}} = \frac{\ \sigma\ }{\sqrt{n}}$
-średnia ma rozkład N(μ,$\ \frac{\ \sigma\ }{\sqrt{n}}$)
-standaryzujemy średnią Z: Z=$\frac{\overset{\overline{}}{x} - \mu}{\sigma}\sqrt{n}$ która ma rozkład N(0,1)
przedział ufności dla wartości średniej na poziomie ufności p=1-α wyznaczamy ze wzoru
Pr($\overset{\overline{}}{x} - u_{\alpha}{\sigma\ }_{\overset{\overline{}}{x}}$< μ<$\overset{\overline{}}{x} + u_{\alpha}{\sigma\ }_{\overset{\overline{}}{x}}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$
zapisujemy w postaci
$\mu = \overset{\overline{}}{x} \pm u_{\alpha}{\sigma\ }_{\overset{\overline{}}{x}}$




2.Rozkład populacji normalny N(μ, σ) σ nieznane liczebność próby duża (n>30)
odchylenie standardowe nie jest znane
- obliczamy estymator(σ experymentalne)

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }s\ = \ \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(\ xi - \overset{\overline{}}{x})\hat{}2}}$$

-oraz estymator średniej
${\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }s}_{\overset{\overline{}}{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}}\ $

Przedział ufności dla średniej na poziomie ufności p=1-α określa się na podstawie wzoru
Pr($\overset{\overline{}}{x} - u_{\alpha}s_{\overset{\overline{}}{x}}$< μ<$\overset{\overline{}}{x} + u_{\alpha}s_{\overset{\overline{}}{x}}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$

I zapisuje w postaci :

$$\text{\ \ \ \ \ \ }s\ = \ \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(\ xi - \overset{\overline{}}{x})\hat{}2}}$$

Przedział ufności na poziomie ufności 1-α i dla liczby stopni swobody v= n-1 określa się na podstawie wzoru
Pr($\overset{\overline{}}{x}{- t}_{v,\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}}$< μ<$\overset{\overline{}}{x} + t_{v,\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}}) = 1 - \alpha$

I zapisuje w postaci :

$\overset{\overline{}}{x} \pm t_{v,\alpha}s_{\overset{\overline{}}{x}}$