Dla danej figury płaskiej wyznaczyc poło_enie osi głównych oraz wartosci głównych srodkowych momentów bezwładnosci.

Rysunek!!!

Dane: a = 22cm b = 11cm c = 36cm d = 11cm R = 11cm

Dzielimy pole figury na: prostokat o wymiarach 20x60 cm, trójkat o wymiarach 30x60 oraz

cwiartke koła o promieniu 40cm. Pole figury wynosi:

A$= \sum_{i}^{n}\text{Ai}$ = 1380+60,5+95,033=1345,467 cm²

Gdzie:

A₁=20 x 69 =1380 cm²

A₂= ½ x 11 x 11 = 60,5 cm²

A₃= ¼ ∏ x 11 x 11 = 96,033 cm²

W przyjetym układzie YZ momenty statyczne wynosza:

Sy=∑ (Ai x z_oi)=1380 x 10+60,5 x (-3,667)-95,033 x 15,332= 12121,101 cm³

Sz=∑ (Ai x y_oi)=1380 x 34,5 + 60,5 x 29,333-95,033 x 4,668= 48941,032 cm³

Współrzedne srodków ciężkości figur składowych obliczono jak niżej

Y_o1=$\ \frac{69}{2}$ = 34,5 cm

Y_o2 = 22+$\frac{2}{3}$ x 11 = 29,333 cm

Y_o3= 0,4244 x 11= 4,668 cm

Z_o1= $\frac{20}{10}$ = 10 cm

Z_o2 = -11 x $\frac{1}{3}$ = -3,667 cm

Z_o3 = 9+11 x 0,5756 x 11 = 15,332 cm

Współrzedne srodka cie_kosci całej figury

Y_o= $\frac{\text{sz}}{A} =$ $\frac{48941,032}{1345,467}$ = 36,375 cm

Z_o = $\frac{\text{sy}}{A} =$ $\frac{12121,101}{1345,467}$ = 9,009 cm

Rysunek!!!

20³

Momenty bezwładnosci wzgledem osi YZ oraz momenty odsrodkowe figur składowych

I_y1 = $\frac{69\ x\ 20^{3}\ }{3}$ = 184000 cm⁴

I_y2 = $\frac{11\ x\ 11^{3}\ }{12}$ = 1220,083 cm⁴

I_y3= 0,0549 x 11⁴+95,033 x 15,332² = 23143,220 cm⁴

I_z1 = $\frac{20\ x\ 69^{3}}{3}$ = 2190060 cm⁴

I_z2= $\frac{11\ x\ 11^{3}\ }{36}$ +60,5 x 29,333²= 52462,400 cm⁴

I_z3 = $\frac{\text{Πx\ }11^{4}}{16}$ = 2874,754 cm⁴

I_yz1= 1380 x 34,5 x 10 = 476100 cm⁴

I_yz2= - $\frac{11^{2}\text{x\ }11^{2}}{72}$+60,5 x 29,333 x (-3,667) = -6710,967 cm⁴

I_yz3= 0,0165 x 11⁴+95,033 x 4,668 x 15,332 = 7043,067 cm⁴

Momenty bezwładnosci całej figury wzgledem osi YZ

I_y = 184000+1220,083-23143,220 = 162076,863 cm⁴

I_z = 2190060+52462,400-2876,754 = 2239645,646 cm⁴

I_yz= 476100-6710,976-7043,067= 462345,957 cm⁴

Momenty bezwładnosci wzgledem osi centralnych równoległych do osi YZ

I_yo = I_y-A x z_o²= 162076,863-1345,467 x 9,009² = 52875,962 cm⁴

I_zo = I_z-A x y_o² = 2239645,646-1345,467 x 36,375² = 459431,599 cm⁴

I_zoyo = 462345,957-1345,467 x 9,009 x 36,375 = 21433,226 cm⁴

Poło_enie osi głównych

Tg2φ_o = $\frac{2\ x\ 21433,226}{459431,599 - 52875,962}$ = -0,105 stąd 2φ_o = -6,00^o

Kat φ_o mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara φ_o = −3 °

Rysunek!!!!

Momenty bezwładnosci wzgledem srodkowych osi głównych

I_max,min = $\frac{I_{\text{yo} + I_{\text{zo}}}}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{I_{\text{yo} - I_{\text{zo}}}}{2})}^{2} + {I_{\text{yozo}}}^{2}}$

gdzie poszczególne składniki przyjmuja wartości

$\frac{I_{\text{yo} + I_{\text{zo}}}}{2}$ = $\frac{52875,962 + 459431,599}{2}$ = 256139,781 cm⁴

$\sqrt{{(\frac{I_{\text{yo} - I_{\text{zo}}}}{2})}^{2} + {I_{\text{yozo}}}^{2}}$ = $\sqrt{{(\frac{52875,962 - 459431,599}{2})}^{2} + {21433,226}^{2}}$ = 204390,715 cm⁴

I_max= I_yg = 256139,781-204390,712= 51749,069 cm⁴

I_min =I_zg = 256139,781+204390,712 = 460530,493 cm⁴

Kontrola niezmienników

I_yo+I_zo = I_yg + I_zg

I_yo+I_zo = 52875,962+459431,599 = 512279,561 cm⁴

I_yg + I_zg = 460530,493+51749,069 = 512279,562 cm⁴

Bład wzgledny

$\frac{I_{\text{yg}} + I_{\text{zg}} - (I_{\text{yo}} + I_{\text{zo}})}{I_{\text{yo}} + I_{\text{zo}}}$ = $\frac{512279,562 - 512279,561}{512279,561}$ = 0%

I_yo x I_zo - I_yozo²= I_yg x I_zg

I_yo x I_zo - I_yozo² = 52875,962 x 459431,599-21433,226² = 23832024070 cm⁴

I_yg x I_zg = 460530,493 x 51749,069 = 23832024260 cm⁴

Błąd względny

$\frac{I\text{yo}\text{\ x\ I}\text{zo} - {I\text{yozo}}^{2} - I\text{yg}\text{\ x\ I}\text{zg}}{I\text{yo}\text{\ x\ I}\text{zo} - {I\text{yozo}}^{2}}$ = 3.554 x 10^-14 % ≈ 0%