Tablice, GEODEZJA PŁASKA

Deklaracja DIM

Zadanie podstawowe geodezji

Zadanie odwrotne geodezji

Wcięcia

Zadanie podstawowe geodezji dwuwymiarowej (płaszczyzna, sfera, elipsoida)

Wyznaczyć położenie punktu na podstawie pomierzonych odległości i azymutu z punktu znanego S.

Na płaszczyźnie zadanie to realizują wzory

x = x_s + d * cos(A),        y = y_s + d * sin(A)

Tradycyjnie tak wyznaczony punkt nazywano „bagnetem” a geodezję płaszczyzny „niższą”.

Zadanie odwrotne geodezji

Wyznaczyć odległość i azymuty linii łączącej dwa znane punkty P,K

Na płaszczyźnie

$$d = \sqrt{\left( x_{k} - x_{p} \right)^{2} + \left( y_{k} - y_{p} \right)^{2}};\ \ \ \ tan\left( A_{\text{pk}} \right) = \frac{y_{k} - y_{p}}{x_{k} - x_{p}};\ \ \ A_{\text{kp}} = \pi{- A}_{\text{pk}}$$

Wcięcia

Wcięciem nazywamy konstrukcję geodezyjną pozwalającą na wyznaczenie położenia punktu wcinanego. W przestrzeni dwuwymiarowej konstrukcja wcięcia zawiera dwie obserwacje

• jeśli obie wykonujemy na punkcie wyznaczanym to wcięcie nazywamy „wstecz”

• jeśli obie wykonujemy na punktach znanych to wcięcie nazywamy „ w przód”

• w przypadku mieszanych obserwacji wcięcie nazywamy „w bok”

WCIĘCIE KĄTOWE W PRZÓD

Danymi są dwa kąty  α i β pomierzone w trójkącie ABW na stanowiskach A i B, będących punktami o znanych współrzędnych.

Sposób 1

• Obliczamy azymuty A_AB i A_BA

• Następnie obliczamy odległość |AB| ze wzoru(1):

	(1)

• Obliczenie azymutów A_AW i A_BW boków wcinanych AW i BW, zgodnie z rysunkiem wynoszą odpowiednio: A_AW=A_AB-α i A_BW=A_BA+β.

• Obliczamy długości boków wcinanych a, b na podstawie twierdzenia sinusów.

	(2)

• Obliczamy przyrost współrzędnych boków wcinających AW i BW:

	(3)

oraz

	(4)

• Dwukrotne obliczamy współrzędne punktu W

  • na podstawie współrzędnych punktu A i przyrostów boku AW (3): X_W=X_A+ΔX_AW, Y_W=Y_A+ΔY_AW

  • na podstawie współrzędnych punktu B i przyrostów boku BW (4): X_W=X_B+ΔX_BW, Y_W=Y_B+ΔY_BW

Pełna zgodność obu par wyników stanowi pierwszą kontrolę rachunkową.

Metoda uproszczona polega na wykonaniu:

• zadania odwrotnego na punktach A,B

• obliczeniu jednego boku wcinającego z twierdzenia sinusów

• wyznaczenie położenia punktu wcinanego zadaniem wprost (podstawowym)

Sposób 2

Obliczenie za pomocą symboli Hausbrandta.

	(5)

Po przekształceniu do postaci algebraicznej otrzymujemy dwa równania

	(6)

• Kontrolę wcięcia przeprowadzamy tak samo jak w ramach metody 1, tj. przez dwukrotne obliczenie kąta γ:

• z dopełnienia kątów α i β do 200^g lub 180°. γ=200^g-(α + β)

• ze współrzędnych punktów A, B i W jw. lub z symboli Hausbrandta:

WCIĘCIE LINOWE

Dla wyznaczenia położenia punktu wcinanego W pomierzono dwie odległości do punktów A,B o znanym położeniu

Sposób 1

realizujemy zadanie odwrotne na punktach A,B
obliczamy kąt α ze wzoru tangensowego $$tg\ \propto \ = \sqrt{\frac{\left( p - b \right)\left( p - c \right)}{p\left( p - a \right)}}$$ wyznaczenie położenia punktu wcinanego zadaniem wprost (podstawowym)

Sposób 2

Popularnym sposobem rozwiązania wcięcia liniowego jest obliczenie współrzędnych X_W, Y_W na podstawie wzoru (5)opartego na pomocniczych symbolach rachunkowych Hausbrandta:

	(5)

Po przekształceniu do postaci algebraicznej otrzymujemy dwa równania

	(6)

gdzie 4P to poczwórne pole trójkąta ABW wyrażone wzorem:

	(7)

Przecięcie Prostych VBA

Równanie parametryczne prostej AB

x = x_A + (x_B−x_A) * t

y = y_A + (y_B−y_A) * t

Równanie parametryczne prostej CD

x = x_C + (x_D−x_C) * u

y = y_C + (y_D−y_C) * u

Wyznaczenie wartości parametrów t,u dla punktu przecięcia

x_AB * t − x_CD * u = x_AC

y_AB * t − y_CD * u = y_AC

Obliczamy wyznacznik główny

W = −x_AB * y_CD + y_AB * x_CD

jeśli W = 0 to proste są równoległe i nie można wyznaczyć punktu przecięcia

Obliczamy wartość jednego parametru i współrzędne punktu przecięcia

$$t = \frac{W_{t}}{W} = \frac{{x}_{\text{AB}}*{y}_{\text{AC}} - {y}_{\text{AB}}*{x}_{\text{AC}}}{W}$$

x_P = x_A + (x_B−x_A) * t

y_P = y_A + (y_B−y_A) * t

Warunek przecięcia odcinków AB i CD

0 ≤ t ≤ 1

0 ≤ u ≤ 1

Option Base 1

Function PrzProstych(xA, yA, xB, yB, xC, yC, xD, yD)

Dim xy(2) As Double

dxAB = xB - xA: dxCD = xD - xC: dxAC = xC - xA

dyAB = yB - yA: dyCD = yD - yC: dyAC = yC - yA

W = -dxAB * dyCD + dyAB * dxCD

If W = 0 Then

PrzProstych = "Brak przec"

Else

t = (dxCD * dyAC - dyCD * dxAC) / W

xy(1) = xA + dxAB * t: xy(2) = yA + dyAB * t

PrzProstych = xy

End If

End Function