Wcięcia wielokrotne

Wcięcia wielokrotne są powszechnie stosowane do zagęszczania sieci triangulacyjnych. Zagęszczanie sieci jest niezbędne do zapewnienia dogodnych nawiązań osnów poligonowych. Wcięcia wielokrotne są konstrukcjami geometrycznymi zawierającymi obserwacje nadliczbowe, założonymi przeważnie dla określenia współrzędnych pojedynczego punktu rzadziej zaś dla dwóch punktów lub ich grupy. W przypadku jednego punktu można zastoso­wać wielokrotne wcięcia kątowe, liniowe lub kątowo-liniowe (rys.).

Wielokrotne wcięcie w przód. Wielokrotne wcięcie wstecz

Wielokrotne wcięcie kombinowane. Wielokrotne wcięcie liniowe

Obecność obserwacji nadliczbowych w konstrukcji wcięć wielokrotnych powodu­je wystąpienie problemu wyrównania, które z reguły wykonywane jest metodą spostrzeżeń pośredniczących. Tok postępowania podczas tego wyrównania obejmuje następujące czynności:

1. Obliczenie przybliżonych współrzędnych
punktu wcinanego na podstawie dowolnie wybranego wcięcia pojedynczego.

2. Obliczenie wartości pomierzonych elementów konstrukcyjnych wcięcia kątów
lub długości
na podstawie współrzędnych przybliżonych.

3. Zestawienie równań błędów obserwacji kątowych lub równań błędów obserwacji liniowych.

4. Przekształcenie układu równań błędów na układ równań normalnych, który w przypadku wcięcia pojedynczego punktu składa się z dwóch równań o dwu niewiadomych.

5. Rozwiązanie układu równań normalnych, obliczenie współrzędnych punktu wcinanego, poprawek spostrzeżeń i ich wyrównanych wartości.

6. Dokonanie oceny dokładności.

Wyrównanie wcięć, w których obserwacjami kątowymi są kierunki powinno uwzględnić obecność w równaniach obserwacyjnych dodatkowej niewiadomej z zwanej niewiadomą orientującą lub stalą orientującą. Ilość niewiadomych z, występujących w danym zadaniu wyrównawczym jest równa liczbie stanowisk, na których wykonano ob­serwacje kierunkowe. Niewiadoma z jest azymutem (kątem kierunkowym) kreski zera podziału limbusa teodolitu ustawionego na danym stanowisku pomiarowym S, z którego dokonano pomiaru kierunków: K₁, K₂, K₃,..., K_n. Zgodnie z poniższym rysunkiem przybliżoną wartość z, niewiadomej orien­tującej można określić jako różnicę azymutu
dowolnej celowej obliczonego na podstawie współrzędnych danych i przybliżonych oraz po­mierzonego kierunku K_i, dla tej celowej.

Niewiadoma orientująca

W praktyce wartość przybliżoną z₀ nie­wiadomej orientującej oblicza się najczęściej jako średnią arytmetyczną z wartości z, dla wszystkich n kierunków danego stanowiska:

Dla wartości prawdziwych: azymutu
i-tej celowej, odpowiadającego jej kierun­ku K_i, wychodzącego ze stanowiska S do punktu celu P_i, oraz niewiadomej orientującej z, zapiszemy funkcję:

(1)

Przechodząc we wzorze (1) do wartości obserwowanych napiszemy ogólnie:

gdzie:
- przybliżona wartość azymutu (ze współrzędnych przybliżonych).

W równaniach błędów spostrzeżeń kierunkowych oprócz poprawek współrzęd­nych dx, dy punktów wyznaczanych wystąpi także poprawka dz niewiadomej orientującej stanowiska S.

W konstrukcji wcięcia wstecz jedynym punktem szukanym, dostarczającym dwu niewiadomych: dx, dy jest stanowisko S, natomiast punkty celu są punktami znanymi, toteż dla wyrównania wielokrotnego wcięcia wstecz równanie poprawki obserwacji kierunkowej przyjmie prostszą postać:

(2)

Wyrazy A, B są współczynnikami kierunkowymi celowych wstecz, obliczonymi na podstawie wzorów :

,

W ramach kontroli ułożenia równań błędów sprawdzamy czy znak współczynnika przy niewiadomej dx jest zgodny ze znakiem przyrostu
, zaś znak współczynnika przy dy powinien być przeciwny do znaku
.

Do równań błędów ułożonych według formuły (2) można zastosować typową procedurę wyrównania spostrzeżeń pośredniczących, wprowadzającą niewiadomą dz wraz z pozostałymi niewiadomymi do równań normalnych. Drugi sposób wyrównania polega na stosunkowo łatwym, dzięki zależności (3), wyeliminowaniu tej niewiadomej już na eta­pie równań błędów, ponieważ poprawki kierunków v_K tylko wtedy spełnią podstawowy warunek wyrównania [v_K v_K] = minimum, gdy:

(3)

Po zsumowaniu stronami n równań błędów układu otrzymamy:

tzn. poprawkę niewiadomej orientującej:

Po uwzględnieniu dz w równaniach (2), otrzymamy:

.

gdzie:
.

Współczynnik A', B' nazywamy zredukowanymi współczynnikami równań po­prawek, a element L' zredukowanym wyrazem wolnym. Kontrolą obliczenia elementów zredukowanych jest zerowanie się sum:

Po zestawieniu równań normalnych na podstawie elementów zredukowanych, przeprowadzamy ich rozwiązanie, które dostarcza poprawek niewiadomych dx, dy. W dalszym ciągu realizujemy typową procedurę wyrównania spostrzeżeń pośredniczą­cych, którą pokażemy na zamieszczonym niżej przykładzie wyrównania wielokrotnego, kierunkowego wcięcia wstecz.

Przykład: Obliczyć współrzędne punktu 6 na podstawie wyrównania wielokrotnego, kierun­kowego wcięcia wstecz. Dane:

Stanowisko	Cel	Kierunek [grady]	Współrzędne
						X	Y
	6	1	0,0000	19557,61	18 524,23
		2	71,1170	15 569,30	23 921,68
		3	123,7750	10 148.30	23 584.40
		4	188,4730	9 626,28	17 736,07
		5	290,7960	13 652,55	9 822,40

Rozwiązanie: '

1. Obliczenie współrzędnych przybliżonych punktu wcinanego na podstawie poje­dynczego wcięcia wstecz:

			Forma rachunkowa wcięcia wstecz z punktu 6
								-3988,31			+5397,45		-9409,31		+5397,45
								+0,487618		+1	+1		+0,391845	-1	-1
								-6620,20			+3452,68		-5956,25		-907,08
								-0,15229		+1	+1		13601,36		17617,15
Ozn. pkt	X	Y	Kąty
													g	c	cc
A(1)	19557,61	18524,23		71	11	70
B(2)	15569,30	23921,68		123	77	50
C(3)	10148,30	23584,40


,


2. Obliczenie przybliżonej wartości z₀ niewiadomej orientacyjnej, kierunków przybliżonych i wyrazów wolnych równań błędów:

Stano­wisko	Cel	Kierunki pomierzone Ki	Azymuty przybliżone	Stała orientująca	Kierunki przybliżone	Wyrazy wolne
	1	0,0000	9,6212	9,6212	-0,0005	-5^CC
	2	71,1170	80,7382	9,6212	71,1165	-5^CC
6	3	123,7750	133,3962	9,6212	123,7745	-5^CC
	4	188,4730	198,0960	9,6230	188,4443	13^CC
	5	290,7960	300,4181	9,6221	290,8664	4^CC

Obliczenie współczynników kierunkowych: A, B oraz współczynników zredukowanych: A', B', L':

Bok	Przyrosty		Współczynniki kierunkowe		Wyraz wolny	Współczynniki zredukowane
				B	A	l	B'	-A'	L'
6-1	5956,25	907,08	15,9	104,5	-5	-6,3	-119,0	-5,4
6-2	1967,94	6304,53	92,0	28,7	-5	69,8	-43,2	-5,4
6-3	-3453,06	5967,25	79,9	-46,2	-5	57,7	31,7	-5,4
6-4	-3975,08	118,92	4,8	-160,0	13	-17,4	145,5	12,6
6-5	51,19	-7794,75	-81,7	0,5	4	-103,9	-15,0	3,6
	X	X	111,0 22,2	-72,5 -14,5	2 0,4	0,0 X	0,0 X	0,0 X

4. Obliczenie współczynników i zestawienie równań normalnych:




5. Wyznaczenie niewiadomych z układu równań normalnych:




6. Obliczenie poprawek i kierunków wyrównanych, kontrola ogólna:

Cel	Kierunek A'	B'dx	-A'dy	L'	v	K+v
1	0,0000	-0,377	7,428	-5,4	1,651	0,00017
2	71,1170	4,189	2,699	-5,4	1,488	71,11715
3	123,7750	3,463	-1,982	-5,4	-3,918	123,77461
4	188,4730	-1,044	-9,084	12,6	2,472	188,47325
5	290,7960	-6,231	0,939	3,6	-1,692	290,79583
Suma	X	X	X	0,0	0,001	X




7. Obliczenie współczynników wagowych, ocena dokładności: Q₁₁ = 0,000052 ; Q₁₂= 0,000002 ; Q₂₂= 0,000026




Uwaga: Oprócz współrzędnych punktu wcinanego trzecią niewiadomą jest stała orientująca z




Stanowiska swobodne

Szczególny rodzaj wcięć przedstawiają tzw. stanowiska swobodne, które obecnie są często wykorzystywane do uzupełniania osnowy pomiarowej podczas pomiaru szczegó­łów metodą biegunową przy użyciu instrumentów typu total station. Stanowisko swobod­ne jest dogodnie usytuowanym, niestabilizowanym punktem ustawienia tachimetru elek­tronicznego. Położenie tego stanowiska można wyznaczać kątowym wcięciem wstecz (gdy na punktach znanych nie można ustawić pryzmatu) lub wcięciem kątowo-liniowym, doko­nując pomiaru kątów poziomych lub kierunków oraz odległości do co najmniej dwóch wi­docznych punktów o znanych współrzędnych. Najprostszymi konstrukcjami wykorzystywanymi do określenia współrzędnych prostokątnych stanowiska swobodnego i dostarczającymi minimum niezbędnych obserwa­cji, są wcięcia pojedyncze. Każde dalsze zwiększenie liczby obserwacji kątowych lub li­niowych, wiążących stanowisko swobodne z punktami o znanych współrzędnych (rys.), dostarcza obserwacji nadliczbowych, stwarzając tym samym problem wyrównania oraz możliwość dokonania oceny dokładności poprzez obliczenie średniego błędu położe­nia punktu.




Przykłady wcięć wyznaczających stanowiska swobodne

Obliczenie i wyrównanie stanowisk swobodnych

Wcięcia zawierające kąty i długości w ilości nadliczbowej wyrównujemy metodą pośredniczącą jako sieci kątowo-liniowe, przy zastosowaniu postępowania pokazanego na przykładzie kątowo-liniowego wcięcia wstecz do trzech punktów znanych (rys. b), zawierającego trzy spostrzeżenia nadlicz­bowe.

Przykład: Wyniki pomiaru i ich błędy:


,
,
d_A = 711,50 m; d_B = 569,40 m; d_c = 421,10 m; m_d = ±0,02 m

Współrzędne punktów znanych: X_A = 5000,00 , Y_A = 4000,00 ; X_B = 4754,51 , Y_B = 4845,49 ; X_C = 4000,00 ,

Y_C =4500,00.

1. Obliczenie współrzędnych przybliżonych stanowiska swobodnego na podstawie pojedynczego wcięcia wstecz:




Obliczenie współrzędnych przybliżonych umożliwia w dalszym toku postępo­wania zastąpienie niewiadomych współrzędnych stanowiska
,
swobodne­go poprawkami
, (lub krócej: dx, dy), spełniającymi zależności:




2.. Obliczenie przybliżonych długości boków St-A, St-B, St-C i współczynników kierunkowych odległości na podstawie współrzędnych przybliżonych:

Punkty		Odległość	Odległość	[m]	Azymut (grady)	sin A	cos A
od	do
St	A	711,535	711,500	+0,035	362,6393	-0,554	0,833
St	B	569,418	569,400	+0,018	58,2834	0,793	0,609
St	C	421,073	421,100	-0,027	183,8015	0,252	-0,968

3. Obliczenie kątów
podstawie współrzędnych przybliżonych:

Punkty			Kąt przybl. (grady)		Kąt obs. (grady)	[cc]
Centralny	Lewy	Prawy
St	A	B		95,64407	95,64410	-0,3
St	B	C		125,51806	125,51800	+0,6

4. Obliczenie współczynników kierunkowych obserwacji kątowych oraz zestawienie równań błędów obserwacji kątowych i liniowych Wzory:


;


Bok	Współczynniki kierunkowe
od - do	A	B
St-A	745,0	-495,4
St-B	681,3	886,4
St-C	-1463,2	380,6




Równania poprawek spostrzeżeń rzeczywistych:




W tym samym zadaniu występują wielkości niejednorodne tj. kąty i długo­ści, wyrażone w różnych jednostkach. Zachodzi więc potrzeba zrównoważenia równań błędów poprzez ich obustronne podzielenie przez błędy średnie po­szczególnych spostrzeżeń:




5. Po podzieleniu równań błędów przez średnie błędy spostrzeżeń otrzymujemy zrównoważony układ równań błędów, czyli równania poprawek spostrzeżeń zrównoważonych:




Nr	a	b	l	s
1	+69,09	+3,19	-0,02	+72,26
2	-25,29	+107,23	+0,03	+81,97
3	-41,63	+27,69	+ 1,77	-12,17
4	-30,47	-39,65	+0,92	-69,20
5	+48,39	-12,58	-1,33	+34,48
	20,09	+85,88	+ 1,37	+ 107,34

6. Zestawienie równań normalnych wg postępowania dla spostrzeżeń pośredniczących, jednakowo dokładnych:




Ozn.	a]	b]	l]	s]
[a	10417,29	-3045,95	-168,06	7203,28
[b	-3045,95	14004,35	32,56	11023,52
[l	-168,06	32,56	5,75	-129,75
[s	7203,28	11023,52	-129,75	18097.05

7. Rozwiązanie równań normalnych, obliczenie współczynników wagowych: dX = +0,016 m; dY = +0,001 m X_ST = 4407,532 m; Y_ST =4394,013 m




8. Obliczenie poprawek spostrzeżeń zrównoważonych i spostrzeżeń rzeczywi­stych, spostrzeżenia wyrównane:

Poprawki V	Poprawki v
1,1292	22,5843	95,646^g
-0,2538	-5,0761	125,5175^g
1,1222	0,022444	711,522 m
0,3629	0,007259	569,407 m
-0,5510	-0,01102	421,089 m

Poprawki rzeczywiste v otrzymujemy w wyniku pomnożenia poprawek zrów­noważonych V przez odpowiednie błędy średnie spostrzeżeń rzeczywistych.

9. Kontrola ostateczna polegająca na sprawdzeniu spełnienia równań obserwacyjnych, czyli rów­ności spostrzeżeń wyrównanych (
) i spostrzeżeń określonych na podstawie współ­rzędnych punktów znanych i współrzędnych wyrównanych obliczonych jako niewiadome.

Obserwacja ze współrzędnych	Obserwacja wy­równana
95,64649	95,64639
125,51759	725,51759
711,522 m	711,522 m
569,407 m	569,407 m
421,089 m	421,089 m

10. Ocena dokładności:







Wyznaczenie grupy punktów




Siatka do wyznaczenia grupy punktów

Konstrukcja pokazana na rysunku nie zawiera obserwacji nadliczbowych ponieważ n = 8; u = 8), a zatem w myśl przepisów instrukcji G-2 nie powinna być stosowana do zagęszczania osnowy poziomej. Możliwe jest jednak jej wykorzystanie do rachunku współrzędnych przybliżonych poprzedzającego wyrównanie spostrzeżeń pośredniczących. Rachunek zadania rozpoczynamy od wyznaczenia kąta
ze współrzędnych punktów: A, B, C, a potem, podobnie jak w zadaniu Hansena, można wykonać obliczenie wartości kątów pomocniczych:
,
. Po ich określeniu obliczamy azymuty boków: AP₁, P₁P₂, P₂P₃, P₃P₄, P₄C a następnie współrzędne punktów wyznaczanych.

1

St

A

B

C




α₂

α₁

---