1.4.3. Miary dokładności spostrzeżeń

Podane uprzednio wzory dotyczyły zagadnienia błędów przypadkowych, powstałych w wynku n-krotnego pomiaru pewnej wielkości. Załóżmy, że tę samą wielkość mierzyliśmy niekoniecznie inaczej, lecz mniej dokładnie. Dla obu serii pomiarów wykreślamy krzywą Gaussa. Otrzymamy wówczas dwie krzywe (rys. 1.6), przecinające się w punktach K1 i K2 .

Mają one tę wspólną własność, że powierzchnie ograniczone zarówno 1 jak 2 są sobie równe i wynoszą jedność. Prawdopodobieństwo wystąpienia błędów bezwzględnych w granicach od = 0 do w odpowiada większemu polu dla krzywej 1, niż dla krzywej 2, a zatem jest większe w pomiarach dokładniejszych. Natomiast prawdopodobieństwo wystąpienia błędów bezwzględnie większych od w jest mniejsze dla krzywej 1 .

Rys. 1.6

Krzywa 1 przedstawia więc pomiar dokładniejszy, lecz obie krzywe mogą się różnić tylko wartością stałej h. Im większa jest wartość parametru h dla = 0, tym dokładniejszy pomiar reprezentuje krzywa (rys. 1.6), co zapiszemy

(1.56)

Krzywą niższą charakteryzuje rozkład o dużej wariancji, a krzywą wyższą o małej.

Parametr h nazywamy miarą dokładności pomiarów. Ten graficzny sposób oceny dokładności pomiarów nie byłby ani dokładny, ani wygodny. Dlatego w praktyce posługujemy się innymi określeniami będącymi w związkach funkcyjnych z parametrem h.

W tym miejscu trzeba, abyśmy zwrócili szczególną uwagę na różne znaczenia i treści, związane z pojęciami: precyzja i dokładność.

Precyzja jest to stopień doskonałości narzędzia i metod pomiarowych. Dokładność jest to stopień doskonałości pomiaru, osiągnięty dzięki zastosowanej precyzji. Precyzja jest więc pewną cechą stałą, charakteryzującą narzędzia i metody, zaś dokładność może być określona dopiero na podstawie wiadomej precyzji lub wiadomych wyników spostrzeżeń (pomiarów). Jeżeli znana jest precyzja narzędzi i metod, które mają być użyte lub zastosowane, to można wyznaczyć dokładność oczekiwaną pomiaru. Z drugiej strony, jeżeli znane są wyniki pomiaru, to można wyznaczyć dokładność osiągniętą. Jeżeli porównanie dokładności oczekiwanej z dokładnością osiągnięta wypada bardzo na niekorzyść tej ostatniej, tzn. dokładność osiągnięta jest znacznie mniejsza od dokładności oczekiwanej, to istnieje uzasadnione przypuszczenie, że w spostrzeżeniach tkwią poza błędami przypadkowymi jeszcze jakieś inne błędy lub omyłki.

A. Błąd średni

Miara dokładności h związana jest z wariancją równaniem

co po przekształceniu będzie

(1.57)

W rachunku wyrównawczym wariancję nazywamy kwadratem błędu średniego i oznaczamy literą m2. Zatem równość (1.57) będzie oznaczona wzorem

Przypomina się tu, że wariancję wyrażano uprzednio równościami (1.38), (1.39) bądź (1.40) i (1.41).

Jeżeli wartość oczekiwana E() = 0, to dla błędów przypadkowych wariancja wynosi

(1.58)

Przyjmując dla błędów prawdopodobieństwa
oraz symbol Gaussa na znak sumy, otrzymamy

czyli

(1.59)

Podaje się przy tym pod uwagę, że przy dużej liczbie błędów częstotliwość ich występowania jest w przybliżeniu równa ich prawdopodobieństwom. Stwierdza się tu również, że stosując terminologię statystyki matematycznej, kwadrat błędu średniego jest wariancją błędów prawdziwych

,

czyli jest wartością oczekiwaną kwadratów błędów prawdziwych.

Definicja błędu średniego wyprowadzona dla n dążącego do nieskończonośći jest również słuszna (z pewnym przybliżeniem) dla skończonej ilości znanych nam błędów prawdziwych. Przybliżenie jest tym większe, im większa jest ilość spostrzeżeń.

Interpretując geometrycznie, prawdopodobieństwo wystąpienia błędu w granicach błędu średniego (rys. 1.5) odpowiada na wykresie krzywej Gaussa polu ograniczonemu od góry krzywą (), od dołu osią o wartościach błędu
, oraz rzędnymi punktów przecięcia K1 i K2 i wynosi 0,6827.

B. Błąd przeciętny

Jakkolwiek geodezja używa przede wszystkim pojęcia błędu średniego, to jednak warto wspomnieć i o innych miarach dokładności. Są to błąd przeciętny i prawdapodobny, używane w niektórych rozważaniach i dyscyplinach. Na przykład, błąd przeciętny używany jest w artylerii, błąd prawdopodobny bywa chętnie używany przez goedetów anglosaskich, a błąd graniczny bywa używany przy ustalaniu norm instrukcyjnych i instrukcjach technicznych.

Błędem przeciętnym nazywa się średnią artymetyczną z bezwzględnej wartości błędów prawdziwych danej wielkości, co wyraża się zapisem

(1.60)

Między błędem przeciętnym a miarą dokładności h istnieje ścisły związek. Wyraża się on wzorem

(1.61)

Z kolei z zależności
możemy otrzymać związek pomiędzy błędem średnim i błędem przeciętnym

(1.62)

(1.63)

Z porównania wynika, że błąd średni wyraża wartość większą, niż błąd przeciętny.

Prawdopodobieństwo popełnienia błędu w granicach określonych błędem przeciętnym wynosi 0,5753, czyli - praktycznie biorąc - niemal co drugie spostrzeżenie obarczone jest błędem większym niż wartość błędu przeciętnego.

C. Błąd prawdopodbny

Błąd prawdopodobny jest to błąd, który zajmuje jakby centralne położenie w szeregu bezwzględnych wartości błędów spostrzeżeń. Można więc znaleźć jednakowo wiele błędów większych, jak i mniejszych od błędu prawdopodobnego. Błąd ten - innymi słowy - dzieli bezwzględne wartości wszystkich błędów na dwie równe liczebnie grupy: na grupę błędów o większej wartości bezwzględnej i na grupę o mniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli zastosować definicję w oparciu o prawdopodobieństwo wystąpienia, to powiemy, że błąd prawdopodobny r jest to taki błąd, którego przekroczenie lub nieprzekroczenie jest równie prawdopodobne.

Błąd prawdopodobny można by, jak łatwo zauważyć wyznaczyć mechanicznie, w drodze uporządkowania błędów według ich wielkości , a więc bez potrzeby dokonywania operacji rachunkowych, które w przypadku wyznaczania błędu średniego i przeciętnego są nieodzowne.

Na marginesie można wspomnieć, że nazwa błąd prawdopodobny jest raczej niefortunnie dobrana, gdyż najbardziej prawdopodobnym błędem jest - jak wiadomo - błąd równy zeru.

Stosownie do krzywej Gaussa, prawdopodobieństwo wystąpienia błędu prawdopodobnego równa się 0,5, co znaczy, że jest jednakowo prawdopodobne, iż błąd może się znaleźć wewnątrz, jak i na zewnątrz przedziału (-r, +r), co geometrycznie na krzywej (rys. 1.7) odcina pole powierzchni 1/2. Z tabeli 1.2 wynika, że błąd prawdopodobny

r = 0,675 m = 0,845 t (1.64)

D. Błąd graniczny

Najlepszą miarą dokładności jest błąd średni. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu pomiarowego nie przekraczającego bezwzględniej wartości błędu średniego wynosi 0,68. Jest to prawdopodobieństwo dość dalekie od pewności i dlatego przy pracach, wymagających dokładnego wyniku, należy zorganizować warunki techniczne pracy w taki sposób, aby błędy poszczególnych spostrzeżeń ze znacznie większym prawdopodobieństwem znalazły się w granicach założonej z góry dokładności. Inaczej mówiąc oznacza to, że dopuszczalne błędy, mające charakteryzować dokładność wyników, muszą być jakąś tak dobraną wielokrotnością błędu średniego. Wtedy prawdopodobieństwo popełnienia błędów spostrzeżeń, mieszczących się w granicach tychże błędów dopuszczalnych jest bliskie pewności.

Przy opracowywaniu norm w instrukcjach technicznych przyjmuje się zwykle dwu lub trzykrotny błąd średni za taką graniczną wartość, której poszczególny błąd spostrzeżenia nie powinien przekroczyć. W przeciwnym razie spostrzeżenie zostaje zakwestionowane i uznane za nie nadające się do przyjęcia.

Mamy więc zależność:

g = 2 m (1.65)

lub

g = 3 m (1.66)

w zależności od przyjętego prawdopodobieństwa.

Dla (1.65) otrzymujemy

P(-g,+g) = 0,9545, (1.67)

a dla (1.66) odpowiednio

P(-g,+g) = 0,9973. (1.68)

Z powyższego można wyciągnąć wniosek, że na 10 000 spostrzeżeń zdarzyć się może 455 lub 27 (w zależności od przyjętego prawdopodobieństwa) spostrzeżeń o błędzie większym niż błąd graniczny.

Takie prawdopodobieństwo uważamy za wystarczająco bliskie pewności i dlatego akceptujemy zasadnicze zależności określone wzorami (1.65) i (1.66).

E. Zależności pomiędzy błędami: średnim, przeciętnym, prawdopodobnym i granicznym

Wyprowadzone dotychczas zależności pomiedzy błędem średnim, przeciętnym, prawdopodobnym i granicznym można przestawić graficzne na wykresie rys.1.7 lub w tabeli 1.3.

Tabela 1.3

Zależność od Nazwa błędu	h (miara dokładności)	m (błąd średni)	Prawdopodobieństwo
Bł. średni m			0,6827
Bł. przec. t		0,7979 m	0,5753
Bł. prawd. r		0,6745 m	0,5000
Bł. gran. g		2 m	0,9545
Bł. gran. g		3 m	0,9973

Rys.1.7

PRZYKŁAD. Pewien kąt pomierzono 10 razy uzyskując niżej podane wyniki. Wyznaczyć najprawdopodobniejszą wartość kąta, oraz jego błąd średni m, przeciętny t, prawdopodobny r oraz graniczny g .

Rozwiązanie przestawia tabela 1.4

Tabela 1.4

Obserawacje		Obliczenia
Lp.			v	vv
1	393827,2		+1,76	3,0976
2	31,4		-2,44	5,9536
3	28,5		+0,46	0,2116
4	26,3		+2,66	7,0756
5	32,7		-3,74	13,9876
6	30,6		-1,64	2,6896
7	25,6		+3,36	11,2896
8	29,8		-0,84	0,7056
9	28,7		+0,26	0,0676
10	28,8		+0,16	0,0256
			[v] = 0	[vv]=45,104

Wartość najprawdopodobniejsza
;

Błąd średni obliczony z błędów pozornych
;

Błąd przeciętny t = 0,8 m = 1,79 ;

Błąd prawdopodobny r = 2/3 m = 1,49 ;

Błąd graniczny g = 2 m = 4,48;

Błąd graniczny g = 3 m = 6,74;

Uwagi. Z punktu widzenia teorii błędów, wg tabeli 1.3 powinno się zdarzyć co następuje:

a) 68% spostrzeżeń powinno mieścić się w przedziale (393828,96 2,24). W rzeczywistości mieści się w tym przedziale 60% spostrzeżeń, a mianowicie: 1, 3, 6, 8, 9 i 10.

b) 58% spostrzeżeń powinno mieścić się w przedziale (393828,96 1,79). W rzeczywistości mieści się w tym przedziale 60% spostrzeżeń, a mianowicie: 1, 3, 6, 8, 9 i 10.

c) 50% spostrzeżeń powinno mieścić się w przedziale (393828,96 1,49). W rzeczywistości mieści się w tym przedziale 40% spostrzeżeń, a mianowicie: 3, 8, 9 i 10.

d) 95% spostrzeżeń powinno mieścić się w przedziale (393828,96 4,48). W rzeczywistości wszystkie spostrzeżenia mieszczą się w tym przedziale.

Na ogół zgodność pomiędzy przewidywanymi teoretycznymi, a wynikami praktycznymi jest dość duża. A przecież, przy wyznaczaniu granic przedziałów, posłużyliśmy się wartością najprawdopodobniejszą zamiast wartości prawdziwej oraz małą ilością spostrzeżeń.

Rekapitulując to, co dotychczas powiedziano w punkcie 1.4.3, trzeba z naciskiem podkreślić, że wartość błędu średniego, przeciętnego, prawdopodobnego lub granicznego nie jest - ściśle rzecz biorąc - absolutną miarą dokładności, lecz raczej wskaźnikiem dokładności. Błędy te wskazują jedynie na to, w jakim stopniu wartość najprawdopodobniejsza jest wiernym odzwierciedleniem wszystkich tych spostrzeżeń, na podstawie których została wyznaczona. Trzeba zdać sobie dobrze sprawę z tego, że tylko wtedy, gdy błędy pozorne są małe, wartość najprawdopodobniejsza jest bliska rzeczywistej. Ale i wówczas tylko w tym przypadku, gdy spełnione są trzy warunki:

1) wszystkie spostrzeżenia są jednakowo dokładne, czyli z jednakowym prawdopodobieństwem każde z nich mogło doznać obciążenia błędami przypadkowymi,

2) wpływ błędów systematycznych został ze spostrzeżeń wyeliminowany,

3) liczba spostrzeżeń mierzonej wielkości jest dość znaczna.

1.4.4 Wagi i błędności

Rozważająć problem obliczania błędów szeregu spostrzeżeń milcząco założyliśmy, że występujące tam błędy powstały ze spostrzeżeń określonych z jednakową dokładnością. Za spostrzeżenia o jednakowej dokładności będziemy uważać wyniki uzyskane z takiej samej metody pomiaru, przyrządem o takich samych parametrach dokładności i w jednakowych warunkach zewnętrznych. Przeciwnie - spostrzeżenia o różnej dokładności, to obserwacje wykonane różnymi przyrządami, metodami lub w innych warunkach.

Dla przykładu porównajmy pomiar odcinka w terenie krokami, taśmą stalową i dalmierzem elektrooptycznym. Otrzymaliśmy trzy spostrzeżenia, o których powiemy, że to spostrzeżenie ma dla nas największą wartość, które jest najdokładniej zmierzone. Nie znaczy to bynajmniej, że spostrzeżenia o gorszej dokładności są dla nas bez wartości. Są one tylko mniej cenne, czyli przedstawiają dla nas mniejszą wartość, mówiąc potocznie - przyporządkowujemy im mniejszą wagę. Odwrotnie - dokładniejsze pomiary będą miały większą wagę.

Jeżeli mamy dla tej samej wielkości niewiadomej dwa szeregi pomiarów takich, że na przykład pojedyncze obserwacje serii pierwszej dają wynik o takiej samej dokładności jak średnia z p obserwacji drugiej serii, to mówimy, że waga pojedynczej obserwacji pierwszego szeregu jest p razy większa w stosunku do obserwacji drugiego szeregu.

To jakościowe ujęcie sprowadza się w rachunku wyrównawczym do ilościowego porównania dokładności spostrzeżeń jako pewnego rodzaju miary dokładności. Jest nim pojęcie wagi, będącej w ścisłym związku z błędami średnimi i wyraża się wzorem

(1.69)

Wartości tych błęów mogą być znane a priori lub a posteriori (przed lub po pomiarze).

Równość (1.69) jest używana w różnej formie zapisu np.

lub w formie iloczynów

(1.70)

(gdzie c jest dowolną stałą 0, tak dobraną, aby liczby p były dogodne do dalszych rachunków). Zależność (1.69) lub (1.70) jest równaniem, z którego przy znajomości błędów średnich możemy obliczać wagi.

Aby to równanie rozwiązać, trzeba jeden z błędów średnich przyjąć za błąd jednostkowy. Błędem jednostkowym jest jednostka miary dokładności o wadze równej jedności, w stosunku do której porównuje się dokładność spostrzeżeń danego zbioru. Często za błąd jednostkowy przyjmuje się błąd pojedynczego spostrzeżenia lub jego elementów, z których składa się to spostrzeżenie (przykład niwelacji). Oznaczając w równaniu (1.69) m2 za błąd jednostkowy równy m0 o wadze równej jedności otrzyma się

(1.71)

Jeżeli oznaczymy następnie dla i-tego sposrzeżenia błąd średni przez m , wówczas definicja wagi wynikająca z równości (1.71) będzie

(1.72)

Wagami spostrzeżeń są zatem liczby dodatnie, niemianowane i zależne od współczynnika proporcjonalności c. Wartości wag są odwrotnie proporcjonalne do kwadratu błędów średnich. Wzór (1.72) na podstawowe znaczenie w rachunku wyrównawczym przy wszelkiego rodzaju wyrażeniu jednych błędów za pomocą drugich, jak i przekształcaniu spostrzeżeń różnodokładnych na inne spostrzeżenia fikcyjne o jednakowej dokładności.

Z przekształcenia (1.72) widać, że

stąd

(1.73)

Jeżeli zatem jest szereg spostrzeżeń o znanych lub przypuszczalnych błędach średnich i należy je sprowadzić do spostrzeżeń o jednakowej dokładności, to trzeba je pomnożyć przez pierwiastki z wag, uzyskując spostrzeżenia fikcyjne, lecz o jednakowej dokładności.

W niekórych przypadkach zamiast operować pojęciami wag w myśl wzoru (1.72), wygodniej jest wprowadzić pojęcie błędności oznaczonej tu literą B, pozostające z wagami w następującej zależności

(1.74)

stąd

oraz

Również między wagami a miarami dokładności zachodzi ścisły związek. Dla szeregu pomiarów o wskaźniku o i wskaźniku i będą słuszne zapisy

;

stąd

czyli

(1.75)

Umiejętność właściwego doboru wag jest w rachunku wyrównawczym bardzo ważną czynnością zarówno w procesie porównania dokładności spostrzeżeń , jak i przy ich sprowadzaniu do jednakowej dokładności - zwanej czynnością równoważenia układu spostrzeżeń. W szczególności ma to miejsce w trakcie wyrównania spostrzeżeń zarówno jednorodnych, jak i różnorodnych (np. kąty i długości, gdzie często wagi określane są a priori). Niewłaściwy dobór wag powoduje przy wyrównaniu zniekształcenia dokładności spostrzeżeń wyrównywanych.

1.4.5 Prawo przenoszenia się błędów

Związek wykazujący sposób gromadzenia się błędów średnich niezależnych spostrzeżeń bezpośrednich, występujących w danej funkcji, nosi nazwę prawa przenoszenia się błędów (propagacja błędów). Jest to jedno z podstawowych praw rachunku wyrównawczego, stosowane przy wszelkich analizach dokłądnościowych zarówno a priori, jak i a posteriori - dla dla spostrzeżeń nie biorących udziału w wyrównaniu jak i spostrzeżeń skorelowanych wspólnym wyrównaniem. Zastosowanie prawa przenoszenia sie błędów sprowadza sie w zasadzie do określenia błędów średnich funkcji spostrzeżeń i może być stosowane tylko do funkcji będących liniowymi bądź sprowadzonych do postaci liniowej. Będziemy rozważać tylko poszczególne rodzaje funkcji wiążących spostrzeżenia bezpośrednie nie uzależnione wyrównaniem (nie skorelowane).

Do podania końcowych wzorów dla szczególnych postaci funkcji wykorzystano twierdzenie o wariancji, nadając im interpretację i oznaczenia według zasad rachunku wyrównawczego.

A.Określenie błędu średniego wielokrotności spostrzeżenia

Przypuścmy, żę rozpatrujemy funkcję daną równaniem

F = a X

gdzie a jest stałą (wielokrotnością zmiennej niezależnej X). Zadaniem jest określenie błędu średniego
tej funkcji. Wyobrażmy sobie bowiem, że w wyniku określenia wielkości X, dokonaliśmy n obserwacji otrzymując poszczególne wartości spostrzeżeń L oraz .Możemy zatem obliczyć błąd średni wielkości X wzorem

Ponieważ błędy wielkości a X są z uwagi na stałość liczby a wielkości a-krotnie większymi od błędów wielkości X, mamy tu do czynienia z błędami a i. Wykorzystując twierdzenie o wariancji iloczynu stałej przez zmienną losową otrzymamy zapis

V(F) = V(aX) = a2V(X),

którego odpowiednikiem w rachunku wyrównawczym są wzory

(1.76)

Błąd średni iloczynu stałej przez wielkość o danym błędzie równa się iloczynowi stałej przez ten błąd, czyli

(1.77)

B. Błąd średni sumy (różnicy) spostrzeżeń

Jest określona funkcja

F = X + Y

przez dwa szeregi spostrzezeń:
(dla i = 1,2, ... , n) wielkości X,
` (dla i = 1,2, ... , n) wielkości Y.

Niech zmienną losową X będa wartości błędu , zaś zmienna losową Y będą wartości błędu .

Zgodnie z twierdzeniem o wariancji sumy niezależnych zmiennych losowych będzie

Wyrażając wariancję zmiennych losowych przez błędy średnie, otrzymamy

(1.78)

Powyższy wzór rozciąga się również na dowolną ilość składników tak dla sumy, jak i dla różnicy.

W przypadku gdy błedy średnie poszczególnych wielkości są sobie równe, to znaczy, mx = my = ..... m0 , wówczas prawo przenoszenia się błędów przybiera dla n składników szczególną formę

(1.79)

Oznacza to, że błąd sumy n spostrzeżeń, z których każde jest obarczone błędem średnim m0, rośnie proporcjonalnie do pierwiastka z ilości składników. Z wzoru (1.79) korzystamy często dla obliczenia wagi sumy spostrzeżeń, a mianowicie dla obliczenia wagi funkcji F równej pF

(1.80)

C. Błąd średni funkcji liniowej

Niech będą określone z pomiarów bezpośrednich wielkości X, Y, Z o znanych błędach średnich mx, my, mZ. Na ich podstawie wyznaczamy niewiadomą daną równaniem

F = aX + bY + cZ

gdzie: a, b, c są znanymi dowolnymi współczynnikami. Poszukujemy błędu średniego tej funkcji. Przyjmując, że aX, bY i cZ są wielokrotnościami funkcji, więc na mocy (1.76) ostatecznie otrzymamy

(1.81)

D. Błąd funkcji o dowolnej postaci

Najogólniejszy przypadek powyższych rozważań zajdzie,kiedy funkcję F = F(X, Y, Z) mamy wyznaczyć na podstawie bezpośrednio pomierzonych wielkości X, Y, Z o znanych błędach średnich mx, my, mZ. Zakłada się, że funkcja

F = f(X, Y, Z,...)

jest rozwijalna w szereg Taylora w okolicy punktu, który reprezentuje przybliżenie szukanych wartości, a wyrazy wyższych potęg nadwyżek nad wartościami przybliżonymi są dla danych celów bez znaczenia. Nadwyżki te, jako bardzo małe zmiany argumentów spostrzeżeń, odpowiadają wartościom błędów. Jeżeli podaną funkcję zamienimy na postać liniową, to otrzyma się funkcję

z której, po przeniesieniu wyrazu wolnego na lewą stronę, otrzymamy różniczkę zupełną

dF =

Stosując wzór na błąd średni funkcji liniowej ostatecznie napiszemy

,

gdzie różniczki nieskończenie małę zastąpiono błędami o skończonych wartościach (np. dx = X-X0 = x = mx itp.).

Oznaczając pochodne cząstkowe

dojdziemy do wzoru

(1.82)

Wzór (1.82) można wyprowadzić bezpośrednio z twierdzenia o wariancji. Dla rozpatrywanej funkcji F należy uwzględnić, że wariancja stałej c =
równa się zeru oraz, że wariancja iloczynu stałej przez zmienną losową jest równa kwadratowi stałej razy wariancja zmiennej losowej.

1

30

---