Sieci wysokościowe regionalne, krajowe i kontynentalne oparte są na pomiarze przyrostu geopotencjału wzdłuż ciągów niwelacyjnych. Punkty wysokościowe zagęszczane są lokalnymi sieciami niwelacyjnymi, tachimetrycznymi i GPS. Sieci zagęszczające zakładane są dla celów katastralnych, inwestycyjnych, badania deformacji obiektów inżynieryjnych, terenów eksploatacji górniczej i badania ruchów tektonicznych. Z reguły liczba pomierzonych przewyższeń jest większa od liczby przewyższeń potrzebnych dla jednoznacznego wyznaczenia wysokości punktu. Oznacza to niejednoznaczność wyników pomiarów na podstawie różnych zestawów wybranych przewyższeń. Niejednoznaczność ta usuwana jest przez wyrównanie spostrzeżeń, czyli wprowadzenia poprawek do wyników obserwacji w granicach błędu średniego pomiaru. Wyrównanie przeprowadzone jest metodą najmniejszych kwadratów.

Przykładowa sieć niwelacyjna

1 3 4

2

dane są wysokości h[m] punktów dowiązania 1,2 i ich macierz kowariancji błędu [mm] oraz wysokości przybliżone punktów 3,4

6	-2	0	0
-2	4	0	0
0	0	10^5	0
0	0	0	10^5

1 100.000

punkt: 2 h: 102.000 C_h

3 101.000

• 101.000

pomierzone przewyższenia Δh [m] i ich błędy średnie m_Δh [mm]

od: do Δh m_Δh C_Δh

3
4
2
3
1,000
-0,004
1,000
-1,002
2
2
2
3
4	0		0		0
0	4		0		0
0	0		4		0
0	0		0		9
1
3
4
2

Elementy przekątne macierzy błędu punktów dowiązania- kwadraty błędów wysokości oraz elementy pozaprzekątne- kowariancje błędu wysokości znane są po wcześniejszym wyrównaniu sieci dowiązania. Błędy średnie niwelacji obliczane są wg zależności:

m_Δh = m_km√L,

gdzie m_km- jest błędem niwelacji jednego kilometra ciągu , a L- długość ciągu w [km]

Równania poprawek

Różnice zaobserwowanych przewyższeń i przewyższeń obliczonych z wysokości przybliżonych punktów początkowych i końcowych ciągu Δh-Δh₀ przedstawione są są jako funkcje poprawek dh_p, dh_k do wysokości przybliżonych punktów początkowych P i końcowych K,

Δh-Δh₀= dh_p- dh_k

po dodaniu poprawki ze względu na błąd przypadkowy pomiaru Δh+v_Δh otrzymujemy równanie obserwacyjne przewyższenia

v_Δh=dh_q-dh_p-(Δh-Δh₀)

Układ obserwacyjny v=Adh-dΔh zawiera macierz współczynników A przy poprawkach dh- elementach wektora dh oraz wektor różnic przewyższeń dΔh=Δh-Δh₀

dΔh_i=[Δh_i-(h_doi-h_odi)]*10³

-1 0 1 0 0

0 0 -1 1 -4

A= 0 1 0 -1 dΔh= 0

0 -1 1 0 -2

Metoda najmniejszych kwadratów

rozwiązaniem układu obserwacyjnego v=Adh-dΔh metoda najmniejszych kwadratów

v^TPv+dh^TQdh = min jest dh=C_hA^TPdΔh, gdzie Ch=(A^TPA+Q)^-1 jest macierzą kowariancji błędu h natomiast P,Q są macierzami wagowymi wektorów v,dh

macierze wagowe- odwrotności macierzy kowariancji błędu obserwacji P=C_Δh^-1 i wysokości punktów Q=C_h^-1

0,25	0	0	0
0	0,25	0	0
0	0	0,25	0
0	0	0	0,11

P=

0,2 0,3 0 0

Q= 0,1 0,3 0 0

• 0 0 0

• 0 0 0

macierz błędu wysokości punktów

3,12 0,16 1,68 0,92

C_h=( A^T*P*A+Q )^-1 ; C_h= 0,16 2,38 1,24 1,81

1,68 1,24 3,52 2,38

0,92 1,81 2,38 4,1

Wyrównanie wysokości punktów

dh= C_h*A^T*P*dΔh -wektor poprawek wysokości

h= h+dh*10^-3 wyrównane wysokości, i =1...nPkt

m_h=√C_hi,i błędy wysokości

100,0004 1,8

h= 101,9997 [m] m_h= 1,5 [mm]

101,0006 1,9

100,9982 2,0

wyrównanie przewyższeń i ich błędy średnie

v= A*dh -dΔh wektor poprawek przewyższeń

C_v=C_Δh-AC_hA^T macierz błędu poprawek

0,2 0,72 -0,38 -0,38 -0,76

v= 1,5 C_v= 0,38 1,14 1,14 1,71

1,5 0,38 1,14 1,14 1,71

3 -0,76 1,71 1,71 5,57

C_Δh= AC_h*A^T macierz błędu wyrównanych przewyższeń

3,28 -0,38 -0,38 0,76

C_Δh -0,38 2,86 -1,14 -1,71

-0,38 -1,14 2,86 -1,71

0,76 -1,71 -1,71 3,43

Δh=Δh+v*10^-3 wyrównane przewyższenie, i=1..nΔh

m_Δhi=√C_Δhi,i błędy wyrównanych przewyższeń

1,0002 1,8

Δh= -0,0025 [m] m_Δh= 1,7 [mm]

1,0015 1,7

-0,9990 1,9

ocena jakości sieci:

ocena jakości sieci przeprowadzona jest w wyniku porównania otrzymanych poprawek obserwacji v_i z błędami średnimi mv_i=√C_vi,i. Poprawki powinny zawierać się wewnątrz zadanych podwojonych (potrojonych) przedziałów błędu średniego (-m_v;m_v), a suma kwadratów poprawek nie powinna przekroczyć wartości oczekiwanej- poprawki powinny zawierać się wewnątrz przedziałów o zadanym poziomie ufności 1-α

Obecnie wyrównanie sieci niwelacyjnych prowadzi się przy użyciu programów komputerowych, które pozwalają na szybkie i efektywne wyrównanie sieci.

Funkcję wyrównania możemy przeprowadzić pisząc algorytm w programie Excel lub dowolnym języku programowania np.: Delphi, C++, czy Turbo Pascal, ale możemy skorzystać z gotowych produktów oprogramowania geodezyjnego np.: Winkalk wykorzystując jedno za składowych zadań programu- wyrównanie do 1000 punktów, baza punktów, możliwość wydruku danych lub wprowadzania ich z zintegrowanych total station, typowym programem wyrównania sieci wysokościowej jest Niw87 gdzie możemy przeprowadzić wyrównanie sieci dowiązane do punktów bezbłędnych, do punktów o znanych błędach średnich lub wyrównać swobodnie. Można użyć także programu Geonet. Można jednak w tym programie wyrównać nawet kilkadziesiąt tysięcy punktów, posiada bazę danych punktów i możliwość wydruku. Jest to program w pełni profesjonalny.

Po wyrównaniu należy sklasyfikować wartość punktów biorąc pod uwagę ich średnie błędy po wyrównaniu i porównując z narzuconymi rygorami z instrukcji geodezyjnej:

Rodzaj osnowy	klasa	m0 [mm/km]
podstawowa	I II	+/- 1,0 +/- 2,0
szczegłowa	III IV	+/- 4 +/- 10
pomiarowa	V	+/- 20

Literatura:

1. Rachunek wyrównawczy i obliczenia geodezyjne Stefan Hausbrandt

2. Teoretyczne podstawy opracowania wyników pomiarów geodezyjnych Włodzimierz Baran

3. www.softline.geo.pl

4. www.geonet.net.pl

5. Notatki z poprzednich semestrów

---