Wcięcia

1. Wstęp

Zadanie geodezyjne polegające na wyznaczeniu współrzędnych jednego punktu za pomocą obserwacji kątowych, liniowych lub kątowych i liniowych,

w nawiązaniu do istniejących w terenie punktów o znanych współrzędnych, nazywane jest wcięciem. Punkt wyznaczony za pomocą wcięcia to punkt wcięty, a punkty o znanych współrzędnych, do których nawiązujemy wcięcie to punkty nawiązania.

Położenie nowego punktu na płaszczyźnie odniesienia jest określone za pomocą współrzędnych x i y. Do ich jednoznacznego wyznaczenia niezbędne jest wykonanie dwóch obserwacji: dwóch kątów lub dwóch odległości, albo jednego kąta i jednej odległości.

Mierząc obydwa kąty o wierzchołkach w punktach nawiązania realizujemy kątowe wcięcie w przód (rys 4 i 5). Mierząc obydwa przylegające do siebie kąty o wierzchołkach w punkcie wyznaczanym i ramionach skierowanych do trzech punktów nawiązania, realizujemy wcięcia wstecz (rys 6). W wyniku pomiaru jednego kąta w punkcie nawiązania, a drugiego w punkcie wyznaczanym, powstaje wcięcie kombinowane (rys7). Mierząc dwie długości od punktów nawiązania do punktu wyznaczanego realizujemy wcięcie liniowe (rys8). W przypadku pomiaru jednego kąta w punkcie wyznaczanym oraz pomiaru jednej długości boku powstaje wcięcie kątowo-liniowe (rys9).

2. Wcięcie kątowe w przód

Na podstawie danych współrzędnych punktów nawiązania A i B obliczamy azymut i długość odcinka AB.

tg φ _AB = ( Δ y _AB ) / ( Δ x _AB )

c = √ (Δ²y_AB + Δ²x_AB )

Na podstawie twierdzenia sinusów znajdujemy długość a i b. Po obliczeniu azymutów φ₁ i φ₂ dla boków AC i BC obliczymy dwukrotnie, dla kontroli rachunku, współrzędne punktu C korzystając ze wzorów:

Y_B = y_A + Δ y_AB = y_A + d_AB sin α_AB

X_B = x_A + Δ x_AB = x_A +d_AB cos α_AB

Jeśli mamy dane współrzędne punktów A i B oraz wartości azymutów A_BC i A_AC to możemy obliczyć współrzędne punktu C ze wzorów:

Δ x_AB Δ y_AB

Δ x_AC = 1 tgA_BC

tgA_BC - tgA_AC

Δ y_AC = Δ x_AC * tgA_AC

x_C = x_A + Δ x_AC

y_C = y_A + Δ y_AC

Lub też korzystając z form od razu obliczyć szukane współrzędne:

X_B Y_B X_A Y_A

F= -1 ctg α 1 ctg β

X_C = F₍₁₎

Y_C = F₍₂₎

X_C = (X_B ctg α + Y_B + X_A cgt β - Y_A ) / (ctg α + ctg β )

Y_C = (-X_B + Y_B ctg α + X_A + Y_A cgt β) / (ctg α + ctg β )

3. Wcięcie kątowe wstecz

Mając dane współrzędne punktów A, B, C oraz kąty α ₁ i α ₂ możemy obliczyć współrzędne punktu W stosując wzory wcięcia wstecz. gdzie α ₁ to kat AWB

i α ₂ to kąt AWC (warunkiem rozwiązania tego zadania jest to, aby trzy punkty nawiązania i punkt nowo wyznaczany nie leżały na tym samym okręgu, gdyż istnieje nieskończona ilość takich położeń punktu P_i na okręgu dla których zachodzą równości kątów MP_iC = α , CP_iN = β ).

Δ x_AB Δ y_AB Δ x_AC Δ y_AC

F= ctg α ₁ 1 ctg α ₂ -1

f₁ = Δ x_AB - Δ y_AB ctg α ₁

f₂ = Δ x_AB ctg α₁ + Δ y_AB

F₀ = Δ x_AB - Δ y_AB ctg α ₁ - Δ x_AC + Δ y_AC ctg α ₂

f₁ f₂

Δ x_AW = F₀ 1

Δ x_AW = ( f₁ - f₂*F₀ ) / (F₀² +1)

Δ y_AW = - F₀ * Δ x_AC

x_W = x_A + Δ x_AW

y_W = y_A + Δ y_AW

4. Wcięcie liniowe

Współrzędne punktu W obliczamy wykorzystując formę

X_B Y_B X_A Y_A

F= -4P Cd₂ 4P Cd₁

d₃ = √ (x_A - x_B)² +(y_A - y_B)²

Cd₁ = d₃² + d₂² - d₁²

Cd₂ = d₃² - d₂² + d₁²

Cd₃ = -d₃² + d₂² + d₁²

P =¹/₄ √( Cd₁ * Cd₂ + Cd₁ * Cd₃ + Cd₂ * Cd₃ )

X_W = F₍₁₎

Y_W = F₍₂₎

X_W = (X_B Cd₂+ 4PY_B + X_A Cd₁- 4PY_A ) / (Cd₂ + Cd₁)

Y_W = (-4PX_B + Y_B Cd₂ + 4PX_A + Y_A Cd₁) / (Cd₂ + Cd₁)

5. Wcięcie kombinowane

Obliczenie konstrukcji punktów wyznaczanych wcięciem kombinowanym w przypadku konstrukcji przedstawianych we wstępie sprowadza się do wcięcia w przód. W obu wypadkach znane są trzy elementy trójkąta ABP, gdzie A i B są to punkty dane, a P jest to punkt wyznaczany. Na podstawie trzech znanych elementów trójkąta ABP obliczamy wielkości kątów α i β o wierzchołkach w punktach nawiązania A i B. Współrzędne punktu P wyznaczamy wcięciem w przód z bazy AB za pomocą kątów α i β (patrz wyżej).

6. Wcięcie wielokrotne

Jak wiadomo, do jednoznacznego wyznaczenia punktu geodezyjnego niezbędne jest wykonanie dwóch obserwacji. Różnicę między liczbą obserwacji wykonanych w celu wyznaczenia punktu a liczbą obserwacji niezbędnych do jego wyznaczenia nazywamy liczbą obserwacji nadliczbowych. Wcięcie, w którym występują obserwacje nadliczbowe nazywamy wcięciem wielokrotnym.

W praktyce geodezyjnej wcięcia, w których obserwacje nadliczbowe nie występują, mogą być wykorzystywane tylko do wyznaczenia współrzędnych przybliżonych. Wcięciem wielokrotnym w przód nazywamy wcięcie, w którym występują tylko elementy wcięcia w przód, przy czym ich liczba przekracza dwa. Podobnie wielokrotnym wcięciem wstecz lub wielokrotnym wcięciem liniowym nazywamy wcięcia, w których występują tylko elementy wcięcia wstecz lub tylko elementy wcięcia linowego o liczbie większej od dwóch. Wielokrotnym wcięciem kombinowanym jest wcięcie złożone z większej od dwóch liczby elementów, przy czym mogą to być elementy wcięcia w przód, wstecz lub wcięcia linowego.

7. Wyznaczenia grupy punktów

Wyznaczenie współrzędnych grupy punktów złożonej z kilku punktów w dowiązaniu do punktów danych, za pomocą pomierzonych elementów kątowych, liniowych lub liniowych i kątowych, z reguły realizujemy obecnie z wyrównaniem obserwacji. Oznacza to, że w konstrukcji geometrycznej sieci geodezyjnej złożonej z grupy punktów wyznaczanych muszą wystąpić obserwacje nadliczbowe, czyli że liczba obserwacji musi być większa od podwojonej liczby punktów wyznaczanych w danej grupie. Na początku XX wieku były stosowane sposoby wyznaczenia współrzędnych grup punktów bez wyrównania. Powstało wówczas wiele różnych sposobów rozwiązania takich zadań. Przedstawię najciekawsze z nich. Należy podkreślić, że obecnie w Polsce współrzędne w ten sposób wyznaczane mogą być wykorzystywane tylko jako wielkości przybliżone do wyrównania obserwacji metodą pośredniczącą.

8. Zadanie Hansena

Zadanie to polega na wyznaczeniu współrzędnych dwóch nowych punktów P

i Q w nawiązaniu do dwóch danych punktów A i B, za pomocą kątów α , β , α` , β` . Współrzędne punktów P i Q wyznaczmy wykorzystując kąty pomocnicze φ i ψ. Suma tych kątów jest znana i wynosi

φ + ψ = 180º - ( α + β )

W celu wyznaczenia ich różnicy przyjmiemy, że nieznana odległość między punktami P i Q wynosi np. b = 1 km . Przy tym założeniu obliczymy długości odcinków p_o i q_o , a następnie ułożymy proporcję

sin φ - sin ψ q_o - p_o 1- tg μ

sin φ + sin ψ q_o + p_o 1- tg μ

którą rozwijamy

2 sin ¹/₂ (φ - ψ) cos ¹/₂ (φ + ψ) tg 45º - tg μ

2 cos ¹/₂ (φ - ψ) sin ¹/₂ (φ + ψ) 1+ tg 45º tg μ tg (45º - μ)

Skąd

tg ¹/₂ (φ - ψ) = tg ¹/₂ (φ + ψ) tg (45º - μ)

Za pomocą kątów φ i ψ obliczymy z bazy AB wcięciem w przód współrzędne punktu P. Podobnie wyznaczymy współrzędne punktu Q wykorzystując kąty

(180º - α - α ` - φ ) oraz (180º - β - β ` - ψ ).

Z rysunku 10.56a wynika, że gdy kierunek PQ przejdzie przez punkt B, to

β = β` = 0, a gdy przejdzie on przez punkt A, to α = α `= 0. W obydwu tych przypadkach wielkość

sin(α + α`)sinβ` sin φ 1

sin(β + β`)sinα` sin ψ tg μ

stanie się nieoznaczona, a zadanie Hansena nierozwiązalne. Jeśli wszystkie cztery punkty będą usytuowane na tej samej prostej, to zadanie to będzie również nierozwiązalne.

9. Zadanie Mareka

Zadanie Mareka jest uogólnieniem zadaniem Hansena. Z każdego z dwóch widocznych punktów P i Q są widoczne po dwa różne punkty dowiązania A i B oraz A` i B` tak, że można pomierzyć kąty α i β oraz α` i β`. Wykorzystując kąty (180º - α ) oraz (180º - β ) obliczamy współrzędne punktu pomocniczego P` wcięciem w przód z bazy AB, podobnie wyznaczamy współrzędne drugiego punktu pomocniczego Q`. Na podstawie współrzędnych punktów A, B, P` oraz A`, B`, Q` obliczamy wartości kątów γ, δ, γ`, δ`. Z rysunku 10.57 wynika, że

ε = δ φ = γ ε` = δ ` φ` = γ`

Za pomocą kątów γ, δ, γ`, δ` obliczymy wcięciami w przód z baz AB i A`B` współrzędne punktów P i Q.

1

---