Tw Taylora f:(a,b)->R klasy C­­ⁿ⁺¹ [a,b]c(α,β). Wtedy istn. cϵ(a,b),że f(b)=f(a)-f’(a)/1! (b-a)+…+…

F-cja analityczna f:( α,β)->R kl C^niesk.. Jeżeli istn M>0 Vxϵ(α,β) VnϵN |fⁿ(x)|≤M to f jest analityczna. D: |Rn(x)|≤M xⁿ⁺¹/(n+1)!

Całka Riemanna

Suma d L(f,P)=∑_i=1ⁿ Δs_i , całka d _∫_a^b fdx=Sup L(f,P)

Całkow. F-cji ciągłych (Tw R) każda f-cja ciągła f:[a,b]->R jest R-całk. D: zał f:[a,b]->R, ust ε>0, f jedn,ciąg. .. ist n (b-a)/n <δ. Niech P: , M_i =supf(x), m_i ; U(f,P)-L(f,P).. x_i^’, x_i^’’ | x_i^’- x_i^’’|< δ =>

Podst. Tw rach całk. f:[a,b]-R ciągła oraz F:[a.b]-R okr wzorem F(x)= ∫_a^xf(t)dt. Wtedy f różn na [a,b] oraz Vxϵ[a,b] F’(x)=f(x) D: ust xϵ[a,b]. (F(x+h)-F(x)) /h =.. z tw. Całk o wart śr. Istn c_nϵ[x,x+h] ∫_x^x+h fdt = f(c_n)(x+h-x) h->0, to c_n->x. f ciągła w x, f(cn)->f(x). lim (F(x+h)-F(x))/h = f(x) =>

Calk części f,g:[a,b]->R C¹. Wtedy ∫_a^b f’gdx = fg|_a^b = ∫_a^b fg’dx

Całk podstaw. ƥ:[a,b]->R kl C¹ oraz Vxϵ[a,b] ƥ’(x)=0. Wtedy dla dowolnej f-kcji ciągłej f:[ ƥ(a), ƥ(b)]->R zachodzi ∫ (od ƥ(a) do ƥ(b)) f(x)dx = ∫_a^b (f◦ ƥ)(t)∙ ƥ(t)dt D: ƥ’(x)=0 więc ƥ ścisle monot. Zał że ƥ rosnąca, Niech F(s)= ∫(od ƥ (a) do s) f(x)dx, Vsϵ[ƥ(a), ƥ(b)] F’(s)=f(s). G(z)= ∫_a^z (f◦ ƥ)(z)∙ ƥ(z)dz , Vzϵ[a,b] G’(z)=(f◦ ƥ)(z)∙ ƥ’(z)= f(ƥ (z))∙ ƥ (z). (F◦ ƥ)’(z)=F’(ƥ (z))∙ ƥ’(z)=f(ƥ (z))∙ ƥ’(z). istn cϵR Vzϵ[a,b] G(z)-(F◦ ƥ)(z)=c. dla z=a G(a)=F(ƥ (a))∙ ƥ’(a)+c=c => c=0. Zatem G(z)=F◦ ƥ (z)=F(ƥ (z)). Dla z=b G(b)=F(ƥ (b))

Całk sumy szeregu funkcyjnego ∑_n=1^niesk.f_n =f jest jedn zb oraz Vn f_n:[a,b]->R jest R-całk. Wtedy f tez jest R-całk oraz ∫_a^bfdx= ∑_n=1^niesk. ∫_a^b f_n D: s_n:[a,b]->R. S_n=f₁+.. s_n=>>f, s_n R-cał oraz ∫_a^bs_n dx=∑_i=1ⁿ ∫_a^b f_ndx

Nier Schwarza dla dowolnych a₁,…,a_n b₁,…,b_n Zach (∑_i=1^ka_ib_i)^2 ≤ ∑_i=1^ka_i^2 ∑_i=1^kb_i^2 D: (a_ix-b_i)²≥0 …

F-cje ciągłe (przestrz metryczne) (X,ρx)(Y,ρy), x₀ϵX, f:X->Y,f ciągła w x₀

(H) V x_ncX x_n—ρxx₀ => f(x_n)—ρyf(x₀)

(C) Vε>0 istn δ>0 VxϵX ρ_x(x,x₀)<δ => ρy(f(x),f(x₀))<ε

D: (C)->(H) ust ciąg x_n t,że x_n—ρxx₀ ..

Ekstr lokalne (prz metr) AcR^k, x⁰ϵint(A), f:A->R. Jeśli f ma ekstr lok w x⁰ oraz D_if(x⁰) są określ, to D_if(x⁰)=0 D: zał f_i ma min w x⁰, x⁰ϵint A więc istn δ>0 K(x⁰,δ)cA , niech g:( x_i-δ, x_i+ δ) g(t)= f(x₁⁰,…x_i-1⁰,t,…x_k⁰). Wtedy g’(x_i⁰)=D_if(x₀). g różn i ma min w x_i⁰ . istn δ1<δ Vx ϵ kuli f(x⁰)≤f(x). ρ(x,x⁰)=∑^k_{i=1 j=1} sqrt[ (x_j⁰-x_j⁰)²-(t-x_i⁰)² ] =|t-x_i⁰|<δ1. g(t) ≥ g(x_i⁰) g ma min. g’(x_i⁰)=D_if(x⁰)

Schwarza o symetrii ⦰≠G^otwcR², f:G->R. D₁ f(x,y), D₂ f(x,y) określ. Jeśli D₁₂f(x,y) jest określ a G i ciągła w <x₀,y₀>ϵG wtedy D₂₁ f(x₀,y₀) określ oraz D₂₁ f(x₀,y₀) = D₁₂ f(x₀,y₀) D:A= D₁₂ f(x₀,y₀); Vε>0 |lim (D₁ f(x₀,y₀+t) - D₁ f(x₀,y₀) ) /t - A| <ε. D₁₂ f ciagła w (x₀,y₀), więc istn δ>0 V<x,y>ϵ K(<x,y>,δ) | D₁₂ f(x₀) - D₁₂ f(x₀,y₀) |< ε. Niech P prost o wierzch.. istn (x’,y’)ϵint P Δ(f,P)/ht = D₁₂ f(x,y) | Δ(f,P)/ht – A|<ε |f(x₀+h,y₀+t)-….. ust h. t->0 to f(x₀+h,y₀+t)-f(x₀+h+,y₀)/ht -> D₂ f(x₀+h,y₀)/h. zatem | (D₂ f(x₀+h,y₀)-D₂ f(x₀,y₀) ) /h -A|≤ε stąd lim (D₂f(x­₀+h,y₀)-D₂f(x₀,y₀) )/h =A . D₂f..=D₂₁f(x₀,y₀)

Tw Fubiniego zał,że I=[a,b], J=[c,d] f:IxJ->R ciągła. Wtedy ƥ:I->R ƥ(x)= ∫_c^df_x(y)Dy i Ѱ:J->R , Ѱ(x)= ∫_a^bƥ^y(x)dx są ciągłe oraz ∫_IxJ f(x,y)d(x,y) = ∫_a^b ƥ(x)dx = ∫_c^d ƥ(y)Dy D:1) ƥ jc? Ust ε>0 |f(x)-f(x’)|= |∫_c^d f(x,y)dy - ∫_c^df(x’,y)dy|=… ≤ … f jest jc, więc Vx,x’ϵI Vy,y’ϵJ …. < ε/d-c zał |x-x’|<δ wtedy V yϵJ |f(x,y)-f(x’,y)|< ε/d-c. zatem ∫_c^d |f(x,y)-f(x’,y)|dy < ∫_c^d ε/d-c Dy = ε 2)zał Mij=supf, Mj(f_x)=supf_x , Mi(ƥ)=supƥ . L(f,PxQ) = ∑∑mij Δsij =… Niech xϵsi wtedy mij≤mj(f_x).. ∑mijΔtj ≤∑mj(f_x)Δtj= L(f_x,Q) ≤ dolna ∫_c^df_x(y)Dy=ƥ(x) . otrzymaliśmy L(f,PxQ)≤∫_a^bƥ(x)dx. Zatem ∫_IxJ f(x,y)d(x,y) ≤ ∫_a^bƥ(x)dx (dla górnej sumy na odwrót) stąd ∫_IxJ f(x,y)d(x,y) = ∫_a^b ƥ(x)dx

Tw Taylora f:(a,b)->R klasy C­­ⁿ⁺¹ [a,b]c(α,β). Wtedy istn. cϵ(a,b),że f(b)=f(a)-f’(a)/1! (b-a)+…+…

F-cja analityczna f:( α,β)->R kl C^niesk.. Jeżeli istn M>0 Vxϵ(α,β) VnϵN |fⁿ(x)|≤M to f jest analityczna. D: |Rn(x)|≤M xⁿ⁺¹/(n+1)!

Całka Riemanna

Suma d L(f,P)=∑_i=1ⁿ Δs_i , całka d _∫_a^b fdx=Sup L(f,P)

Całkow. F-cji ciągłych (Tw R) każda f-cja ciągła f:[a,b]->R jest R-całk. D: zał f:[a,b]->R, ust ε>0, f jedn,ciąg. .. ist n (b-a)/n <δ. Niech P: , M_i =supf(x), m_i ; U(f,P)-L(f,P).. x_i^’, x_i^’’ | x_i^’- x_i^’’|< δ =>

Podst. Tw rach całk. f:[a,b]-R ciągła oraz F:[a.b]-R okr wzorem F(x)= ∫_a^xf(t)dt. Wtedy f różn na [a,b] oraz Vxϵ[a,b] F’(x)=f(x) D: ust xϵ[a,b]. (F(x+h)-F(x)) /h =.. z tw. Całk o wart śr. Istn c_nϵ[x,x+h] ∫_x^x+h fdt = f(c_n)(x+h-x) h->0, to c_n->x. f ciągła w x, f(cn)->f(x). lim (F(x+h)-F(x))/h = f(x) =>

Calk części f,g:[a,b]->R C¹. Wtedy ∫_a^b f’gdx = fg|_a^b = ∫_a^b fg’dx

Całk podstaw. ƥ:[a,b]->R kl C¹ oraz Vxϵ[a,b] ƥ’(x)=0. Wtedy dla dowolnej f-kcji ciągłej f:[ ƥ(a), ƥ(b)]->R zachodzi ∫ (od ƥ(a) do ƥ(b)) f(x)dx = ∫_a^b (f◦ ƥ)(t)∙ ƥ(t)dt D: ƥ’(x)=0 więc ƥ ścisle monot. Zał że ƥ rosnąca, Niech F(s)= ∫(od ƥ (a) do s) f(x)dx, Vsϵ[ƥ(a), ƥ(b)] F’(s)=f(s). G(z)= ∫_a^z (f◦ ƥ)(z)∙ ƥ(z)dz , Vzϵ[a,b] G’(z)=(f◦ ƥ)(z)∙ ƥ’(z)= f(ƥ (z))∙ ƥ (z). (F◦ ƥ)’(z)=F’(ƥ (z))∙ ƥ’(z)=f(ƥ (z))∙ ƥ’(z). istn cϵR Vzϵ[a,b] G(z)-(F◦ ƥ)(z)=c. dla z=a G(a)=F(ƥ (a))∙ ƥ’(a)+c=c => c=0. Zatem G(z)=F◦ ƥ (z)=F(ƥ (z)). Dla z=b G(b)=F(ƥ (b))

Całk sumy szeregu funkcyjnego ∑_n=1^niesk.f_n =f jest jedn zb oraz Vn f_n:[a,b]->R jest R-całk. Wtedy f tez jest R-całk oraz ∫_a^bfdx= ∑_n=1^niesk. ∫_a^b f_n D: s_n:[a,b]->R. S_n=f₁+.. s_n=>>f, s_n R-cał oraz ∫_a^bs_n dx=∑_i=1ⁿ ∫_a^b f_ndx

Nier Schwarza dla dowolnych a₁,…,a_n b₁,…,b_n Zach (∑_i=1^ka_ib_i)^2 ≤ ∑_i=1^ka_i^2 ∑_i=1^kb_i^2 D: (a_ix-b_i)²≥0 …

F-cje ciągłe (przestrz metryczne) (X,ρx)(Y,ρy), x₀ϵX, f:X->Y,f ciągła w x₀

(H) V x_ncX x_n—ρxx₀ => f(x_n)—ρyf(x₀)

(C) Vε>0 istn δ>0 VxϵX ρ_x(x,x₀)<δ => ρy(f(x),f(x₀))<ε

D: (C)->(H) ust ciąg x_n t,że x_n—ρxx₀ ..

Ekstr lokalne (prz metr) AcR^k, x⁰ϵint(A), f:A->R. Jeśli f ma ekstr lok w x⁰ oraz D_if(x⁰) są określ, to D_if(x⁰)=0 D: zał f_i ma min w x⁰, x⁰ϵint A więc istn δ>0 K(x⁰,δ)cA , niech g:( x_i-δ, x_i+ δ) g(t)= f(x₁⁰,…x_i-1⁰,t,…x_k⁰). Wtedy g’(x_i⁰)=D_if(x₀). g różn i ma min w x_i⁰ . istn δ1<δ Vx ϵ kuli f(x⁰)≤f(x). ρ(x,x⁰)=∑^k_{i=1 j=1} sqrt[ (x_j⁰-x_j⁰)²-(t-x_i⁰)² ] =|t-x_i⁰|<δ1. g(t) ≥ g(x_i⁰) g ma min. g’(x_i⁰)=D_if(x⁰)

Schwarza o symetrii ⦰≠G^otwcR², f:G->R. D₁ f(x,y), D₂ f(x,y) określ. Jeśli D₁₂f(x,y) jest określ a G i ciągła w <x₀,y₀>ϵG wtedy D₂₁ f(x₀,y₀) określ oraz D₂₁ f(x₀,y₀) = D₁₂ f(x₀,y₀) D:A= D₁₂ f(x₀,y₀); Vε>0 |lim (D₁ f(x₀,y₀+t) - D₁ f(x₀,y₀) ) /t - A| <ε. D₁₂ f ciagła w (x₀,y₀), więc istn δ>0 V<x,y>ϵ K(<x,y>,δ) | D₁₂ f(x₀) - D₁₂ f(x₀,y₀) |< ε. Niech P prost o wierzch.. istn (x’,y’)ϵint P Δ(f,P)/ht = D₁₂ f(x,y) | Δ(f,P)/ht – A|<ε |f(x₀+h,y₀+t)-….. ust h. t->0 to f(x₀+h,y₀+t)-f(x₀+h+,y₀)/ht -> D₂ f(x₀+h,y₀)/h. zatem | (D₂ f(x₀+h,y₀)-D₂ f(x₀,y₀) ) /h -A|≤ε stąd lim (D₂f(x­₀+h,y₀)-D₂f(x₀,y₀) )/h =A . D₂f..=D₂₁f(x₀,y₀)

Tw Fubiniego zał,że I=[a,b], J=[c,d] f:IxJ->R ciągła. Wtedy ƥ:I->R ƥ(x)= ∫_c^df_x(y)Dy i Ѱ:J->R , Ѱ(x)= ∫_a^bƥ^y(x)dx są ciągłe oraz ∫_IxJ f(x,y)d(x,y) = ∫_a^b ƥ(x)dx = ∫_c^d ƥ(y)Dy D:1) ƥ jc? Ust ε>0 |f(x)-f(x’)|= |∫_c^d f(x,y)dy - ∫_c^df(x’,y)dy|=… ≤ … f jest jc, więc Vx,x’ϵI Vy,y’ϵJ …. < ε/d-c zał |x-x’|<δ wtedy V yϵJ |f(x,y)-f(x’,y)|< ε/d-c. zatem ∫_c^d |f(x,y)-f(x’,y)|dy < ∫_c^d ε/d-c Dy = ε 2)zał Mij=supf, Mj(f_x)=supf_x , Mi(ƥ)=supƥ . L(f,PxQ) = ∑∑mij Δsij =… Niech xϵsi wtedy mij≤mj(f_x).. ∑mijΔtj ≤∑mj(f_x)Δtj= L(f_x,Q) ≤ dolna ∫_c^df_x(y)Dy=ƥ(x) . otrzymaliśmy L(f,PxQ)≤∫_a^bƥ(x)dx. Zatem ∫_IxJ f(x,y)d(x,y) ≤ ∫_a^bƥ(x)dx (dla górnej sumy na odwrót) stąd ∫_IxJ f(x,y)d(x,y) = ∫_a^b ƥ(x)dx

Tw Taylora f:(a,b)->R klasy C­­ⁿ⁺¹ [a,b]c(α,β). Wtedy istn. cϵ(a,b),że f(b)=f(a)-f’(a)/1! (b-a)+…+…

F-cja analityczna f:( α,β)->R kl C^niesk.. Jeżeli istn M>0 Vxϵ(α,β) VnϵN |fⁿ(x)|≤M to f jest analityczna. D: |Rn(x)|≤M xⁿ⁺¹/(n+1)!

Całka Riemanna

Suma d L(f,P)=∑_i=1ⁿ Δs_i , całka d _∫_a^b fdx=Sup L(f,P)

Całkow. F-cji ciągłych (Tw R) każda f-cja ciągła f:[a,b]->R jest R-całk. D: zał f:[a,b]->R, ust ε>0, f jedn,ciąg. .. ist n (b-a)/n <δ. Niech P: , M_i =supf(x), m_i ; U(f,P)-L(f,P).. x_i^’, x_i^’’ | x_i^’- x_i^’’|< δ =>

Podst. Tw rach całk. f:[a,b]-R ciągła oraz F:[a.b]-R okr wzorem F(x)= ∫_a^xf(t)dt. Wtedy f różn na [a,b] oraz Vxϵ[a,b] F’(x)=f(x) D: ust xϵ[a,b]. (F(x+h)-F(x)) /h =.. z tw. Całk o wart śr. Istn c_nϵ[x,x+h] ∫_x^x+h fdt = f(c_n)(x+h-x) h->0, to c_n->x. f ciągła w x, f(cn)->f(x). lim (F(x+h)-F(x))/h = f(x) =>

Calk części f,g:[a,b]->R C¹. Wtedy ∫_a^b f’gdx = fg|_a^b = ∫_a^b fg’dx

Całk podstaw. ƥ:[a,b]->R kl C¹ oraz Vxϵ[a,b] ƥ’(x)=0. Wtedy dla dowolnej f-kcji ciągłej f:[ ƥ(a), ƥ(b)]->R zachodzi ∫ (od ƥ(a) do ƥ(b)) f(x)dx = ∫_a^b (f◦ ƥ)(t)∙ ƥ(t)dt D: ƥ’(x)=0 więc ƥ ścisle monot. Zał że ƥ rosnąca, Niech F(s)= ∫(od ƥ (a) do s) f(x)dx, Vsϵ[ƥ(a), ƥ(b)] F’(s)=f(s). G(z)= ∫_a^z (f◦ ƥ)(z)∙ ƥ(z)dz , Vzϵ[a,b] G’(z)=(f◦ ƥ)(z)∙ ƥ’(z)= f(ƥ (z))∙ ƥ (z). (F◦ ƥ)’(z)=F’(ƥ (z))∙ ƥ’(z)=f(ƥ (z))∙ ƥ’(z). istn cϵR Vzϵ[a,b] G(z)-(F◦ ƥ)(z)=c. dla z=a G(a)=F(ƥ (a))∙ ƥ’(a)+c=c => c=0. Zatem G(z)=F◦ ƥ (z)=F(ƥ (z)). Dla z=b G(b)=F(ƥ (b))

Całk sumy szeregu funkcyjnego ∑_n=1^niesk.f_n =f jest jedn zb oraz Vn f_n:[a,b]->R jest R-całk. Wtedy f tez jest R-całk oraz ∫_a^bfdx= ∑_n=1^niesk. ∫_a^b f_n D: s_n:[a,b]->R. S_n=f₁+.. s_n=>>f, s_n R-cał oraz ∫_a^bs_n dx=∑_i=1ⁿ ∫_a^b f_ndx

Nier Schwarza dla dowolnych a₁,…,a_n b₁,…,b_n Zach (∑_i=1^ka_ib_i)^2 ≤ ∑_i=1^ka_i^2 ∑_i=1^kb_i^2 D: (a_ix-b_i)²≥0 …

F-cje ciągłe (przestrz metryczne) (X,ρx)(Y,ρy), x₀ϵX, f:X->Y,f ciągła w x₀

(H) V x_ncX x_n—ρxx₀ => f(x_n)—ρyf(x₀)

(C) Vε>0 istn δ>0 VxϵX ρ_x(x,x₀)<δ => ρy(f(x),f(x₀))<ε

D: (C)->(H) ust ciąg x_n t,że x_n—ρxx₀ ..

Ekstr lokalne (prz metr) AcR^k, x⁰ϵint(A), f:A->R. Jeśli f ma ekstr lok w x⁰ oraz D_if(x⁰) są określ, to D_if(x⁰)=0 D: zał f_i ma min w x⁰, x⁰ϵint A więc istn δ>0 K(x⁰,δ)cA , niech g:( x_i-δ, x_i+ δ) g(t)= f(x₁⁰,…x_i-1⁰,t,…x_k⁰). Wtedy g’(x_i⁰)=D_if(x₀). g różn i ma min w x_i⁰ . istn δ1<δ Vx ϵ kuli f(x⁰)≤f(x). ρ(x,x⁰)=∑^k_{i=1 j=1} sqrt[ (x_j⁰-x_j⁰)²-(t-x_i⁰)² ] =|t-x_i⁰|<δ1. g(t) ≥ g(x_i⁰) g ma min. g’(x_i⁰)=D_if(x⁰)

Schwarza o symetrii ⦰≠G^otwcR², f:G->R. D₁ f(x,y), D₂ f(x,y) określ. Jeśli D₁₂f(x,y) jest określ a G i ciągła w <x₀,y₀>ϵG wtedy D₂₁ f(x₀,y₀) określ oraz D₂₁ f(x₀,y₀) = D₁₂ f(x₀,y₀) D:A= D₁₂ f(x₀,y₀); Vε>0 |lim (D₁ f(x₀,y₀+t) - D₁ f(x₀,y₀) ) /t - A| <ε. D₁₂ f ciagła w (x₀,y₀), więc istn δ>0 V<x,y>ϵ K(<x,y>,δ) | D₁₂ f(x₀) - D₁₂ f(x₀,y₀) |< ε. Niech P prost o wierzch.. istn (x’,y’)ϵint P Δ(f,P)/ht = D₁₂ f(x,y) | Δ(f,P)/ht – A|<ε |f(x₀+h,y₀+t)-….. ust h. t->0 to f(x₀+h,y₀+t)-f(x₀+h+,y₀)/ht -> D₂ f(x₀+h,y₀)/h. zatem | (D₂ f(x₀+h,y₀)-D₂ f(x₀,y₀) ) /h -A|≤ε stąd lim (D₂f(x­₀+h,y₀)-D₂f(x₀,y₀) )/h =A . D₂f..=D₂₁f(x₀,y₀)

Tw Fubiniego zał,że I=[a,b], J=[c,d] f:IxJ->R ciągła. Wtedy ƥ:I->R ƥ(x)= ∫_c^df_x(y)Dy i Ѱ:J->R , Ѱ(x)= ∫_a^bƥ^y(x)dx są ciągłe oraz ∫_IxJ f(x,y)d(x,y) = ∫_a^b ƥ(x)dx = ∫_c^d ƥ(y)Dy D:1) ƥ jc? Ust ε>0 |f(x)-f(x’)|= |∫_c^d f(x,y)dy - ∫_c^df(x’,y)dy|=… ≤ … f jest jc, więc Vx,x’ϵI Vy,y’ϵJ …. < ε/d-c zał |x-x’|<δ wtedy V yϵJ |f(x,y)-f(x’,y)|< ε/d-c. zatem ∫_c^d |f(x,y)-f(x’,y)|dy < ∫_c^d ε/d-c Dy = ε 2)zał Mij=supf, Mj(f_x)=supf_x , Mi(ƥ)=supƥ . L(f,PxQ) = ∑∑mij Δsij =… Niech xϵsi wtedy mij≤mj(f_x).. ∑mijΔtj ≤∑mj(f_x)Δtj= L(f_x,Q) ≤ dolna ∫_c^df_x(y)Dy=ƥ(x) . otrzymaliśmy L(f,PxQ)≤∫_a^bƥ(x)dx. Zatem ∫_IxJ f(x,y)d(x,y) ≤ ∫_a^bƥ(x)dx (dla górnej sumy na odwrót) stąd ∫_IxJ f(x,y)d(x,y) = ∫_a^b ƥ(x)dx

Tw Taylora f:(a,b)->R klasy C­­ⁿ⁺¹ [a,b]c(α,β). Wtedy istn. cϵ(a,b),że f(b)=f(a)-f’(a)/1! (b-a)+…+…

F-cja analityczna f:( α,β)->R kl C^niesk.. Jeżeli istn M>0 Vxϵ(α,β) VnϵN |fⁿ(x)|≤M to f jest analityczna. D: |Rn(x)|≤M xⁿ⁺¹/(n+1)!

Całka Riemanna

Suma d L(f,P)=∑_i=1ⁿ Δs_i , całka d _∫_a^b fdx=Sup L(f,P)

Całkow. F-cji ciągłych (Tw R) każda f-cja ciągła f:[a,b]->R jest R-całk. D: zał f:[a,b]->R, ust ε>0, f jedn,ciąg. .. ist n (b-a)/n <δ. Niech P: , M_i =supf(x), m_i ; U(f,P)-L(f,P).. x_i^’, x_i^’’ | x_i^’- x_i^’’|< δ =>

Podst. Tw rach całk. f:[a,b]-R ciągła oraz F:[a.b]-R okr wzorem F(x)= ∫_a^xf(t)dt. Wtedy f różn na [a,b] oraz Vxϵ[a,b] F’(x)=f(x) D: ust xϵ[a,b]. (F(x+h)-F(x)) /h =.. z tw. Całk o wart śr. Istn c_nϵ[x,x+h] ∫_x^x+h fdt = f(c_n)(x+h-x) h->0, to c_n->x. f ciągła w x, f(cn)->f(x). lim (F(x+h)-F(x))/h = f(x) =>

Calk części f,g:[a,b]->R C¹. Wtedy ∫_a^b f’gdx = fg|_a^b = ∫_a^b fg’dx

Całk podstaw. ƥ:[a,b]->R kl C¹ oraz Vxϵ[a,b] ƥ’(x)=0. Wtedy dla dowolnej f-kcji ciągłej f:[ ƥ(a), ƥ(b)]->R zachodzi ∫ (od ƥ(a) do ƥ(b)) f(x)dx = ∫_a^b (f◦ ƥ)(t)∙ ƥ(t)dt D: ƥ’(x)=0 więc ƥ ścisle monot. Zał że ƥ rosnąca, Niech F(s)= ∫(od ƥ (a) do s) f(x)dx, Vsϵ[ƥ(a), ƥ(b)] F’(s)=f(s). G(z)= ∫_a^z (f◦ ƥ)(z)∙ ƥ(z)dz , Vzϵ[a,b] G’(z)=(f◦ ƥ)(z)∙ ƥ’(z)= f(ƥ (z))∙ ƥ (z). (F◦ ƥ)’(z)=F’(ƥ (z))∙ ƥ’(z)=f(ƥ (z))∙ ƥ’(z). istn cϵR Vzϵ[a,b] G(z)-(F◦ ƥ)(z)=c. dla z=a G(a)=F(ƥ (a))∙ ƥ’(a)+c=c => c=0. Zatem G(z)=F◦ ƥ (z)=F(ƥ (z)). Dla z=b G(b)=F(ƥ (b))

Całk sumy szeregu funkcyjnego ∑_n=1^niesk.f_n =f jest jedn zb oraz Vn f_n:[a,b]->R jest R-całk. Wtedy f tez jest R-całk oraz ∫_a^bfdx= ∑_n=1^niesk. ∫_a^b f_n D: s_n:[a,b]->R. S_n=f₁+.. s_n=>>f, s_n R-cał oraz ∫_a^bs_n dx=∑_i=1ⁿ ∫_a^b f_ndx

Nier Schwarza dla dowolnych a₁,…,a_n b₁,…,b_n Zach (∑_i=1^ka_ib_i)^2 ≤ ∑_i=1^ka_i^2 ∑_i=1^kb_i^2 D: (a_ix-b_i)²≥0 …

F-cje ciągłe (przestrz metryczne) (X,ρx)(Y,ρy), x₀ϵX, f:X->Y,f ciągła w x₀

(H) V x_ncX x_n—ρxx₀ => f(x_n)—ρyf(x₀)

(C) Vε>0 istn δ>0 VxϵX ρ_x(x,x₀)<δ => ρy(f(x),f(x₀))<ε

D: (C)->(H) ust ciąg x_n t,że x_n—ρxx₀ ..

Ekstr lokalne (prz metr) AcR^k, x⁰ϵint(A), f:A->R. Jeśli f ma ekstr lok w x⁰ oraz D_if(x⁰) są określ, to D_if(x⁰)=0 D: zał f_i ma min w x⁰, x⁰ϵint A więc istn δ>0 K(x⁰,δ)cA , niech g:( x_i-δ, x_i+ δ) g(t)= f(x₁⁰,…x_i-1⁰,t,…x_k⁰). Wtedy g’(x_i⁰)=D_if(x₀). g różn i ma min w x_i⁰ . istn δ1<δ Vx ϵ kuli f(x⁰)≤f(x). ρ(x,x⁰)=∑^k_{i=1 j=1} sqrt[ (x_j⁰-x_j⁰)²-(t-x_i⁰)² ] =|t-x_i⁰|<δ1. g(t) ≥ g(x_i⁰) g ma min. g’(x_i⁰)=D_if(x⁰)

Schwarza o symetrii ⦰≠G^otwcR², f:G->R. D₁ f(x,y), D₂ f(x,y) określ. Jeśli D₁₂f(x,y) jest określ a G i ciągła w <x₀,y₀>ϵG wtedy D₂₁ f(x₀,y₀) określ oraz D₂₁ f(x₀,y₀) = D₁₂ f(x₀,y₀) D:A= D₁₂ f(x₀,y₀); Vε>0 |lim (D₁ f(x₀,y₀+t) - D₁ f(x₀,y₀) ) /t - A| <ε. D₁₂ f ciagła w (x₀,y₀), więc istn δ>0 V<x,y>ϵ K(<x,y>,δ) | D₁₂ f(x₀) - D₁₂ f(x₀,y₀) |< ε. Niech P prost o wierzch.. istn (x’,y’)ϵint P Δ(f,P)/ht = D₁₂ f(x,y) | Δ(f,P)/ht – A|<ε |f(x₀+h,y₀+t)-….. ust h. t->0 to f(x₀+h,y₀+t)-f(x₀+h+,y₀)/ht -> D₂ f(x₀+h,y₀)/h. zatem | (D₂ f(x₀+h,y₀)-D₂ f(x₀,y₀) ) /h -A|≤ε stąd lim (D₂f(x­₀+h,y₀)-D₂f(x₀,y₀) )/h =A . D₂f..=D₂₁f(x₀,y₀)

Tw Fubiniego zał,że I=[a,b], J=[c,d] f:IxJ->R ciągła. Wtedy ƥ:I->R ƥ(x)= ∫_c^df_x(y)Dy i Ѱ:J->R , Ѱ(x)= ∫_a^bƥ^y(x)dx są ciągłe oraz ∫_IxJ f(x,y)d(x,y) = ∫_a^b ƥ(x)dx = ∫_c^d ƥ(y)Dy D:1) ƥ jc? Ust ε>0 |f(x)-f(x’)|= |∫_c^d f(x,y)dy - ∫_c^df(x’,y)dy|=… ≤ … f jest jc, więc Vx,x’ϵI Vy,y’ϵJ …. < ε/d-c zał |x-x’|<δ wtedy V yϵJ |f(x,y)-f(x’,y)|< ε/d-c. zatem ∫_c^d |f(x,y)-f(x’,y)|dy < ∫_c^d ε/d-c Dy = ε 2)zał Mij=supf, Mj(f_x)=supf_x , Mi(ƥ)=supƥ . L(f,PxQ) = ∑∑mij Δsij =… Niech xϵsi wtedy mij≤mj(f_x).. ∑mijΔtj ≤∑mj(f_x)Δtj= L(f_x,Q) ≤ dolna ∫_c^df_x(y)Dy=ƥ(x) . otrzymaliśmy L(f,PxQ)≤∫_a^bƥ(x)dx. Zatem ∫_IxJ f(x,y)d(x,y) ≤ ∫_a^bƥ(x)dx (dla górnej sumy na odwrót) stąd ∫_IxJ f(x,y)d(x,y) = ∫_a^b ƥ(x)dx