PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA im. Stanisława Wojciechowskiego w Kaliszu
Laboratorium Wytrzymałości Materiałów Sprawozdanie z ćwiczenia nr………	Nazwisko i imię:
	Grupa:
	Data oddania sprawozdania:
Temat ćwiczenia:

1. Wprowadzenie

2. Cel ćwiczenia

3. Schematy i opisy stanowiska

4. Metodyka pomiarów i obliczeń

5. Wyniki obliczeń oraz wykresy

6. Wnioski własne z przeprowadzonego ćwiczenia

1. Wprowadzenie

Jednym z prostych przypadków wytrzymałości materiałów jest swobodne skręcanie.

W celu opisania zjawisk zachodzących w tym przypadku przyjmujemy do analizy wał o długości l i przekroju okrągłym o promieniu r, na powierzchni którego narysowano siatkę kwadratowa (rys. 1a).

Jeżeli analizowany wał obciążyć na końcach dwoma momentami o równej wartości M lecz zwrotach przeciwnych i dodatkowo działających w płaszczyźnie prostopadłej do osi pręta to wszystkie siły wewnętrzne sprowadzają sie do wewnętrznego momentu skręcającego o wartości Ms=M. Wynika to wprost z warunku równowagi. Na podstawie zmian siatki znajdującej sie na powierzchni wału (rys.1b) możemy stwierdzić że:

1. Tworzące, które były równoległe do osi pręta, po deformacji zmieniają sie

w linie śrubowe o kacie nachylenia γ jednakowym na całej długości pręta,

2. Przekroje końcowe pręta pozostają nadal płaskie, przy czym ani długość l, ani średnica pręta nie ulega zmianie,

3. Linie obwodowe pozostają nadal płaskie i zachowują kształt kołowy,

4. Narysowany na końcowym przekroju pręta promień obraca sie o kat ϕ, zwany katem skręcenia pręta, pozostając nadal prostym.

Przedstawione obserwacje pozwalają przyjąc za obowiązującą hipoteze płaskich przekrojów. Dodatkowo można przyjąć tezę, że stan naprężeń w pręcie skręcanym jest analogiczny do stanu czystego ścinania. Naprężenia styczne są prostopadłe do promieni pomyślanych w przekrojach poprzecznych pręta i zwiększają sie proporcjonalnie: wartości zerowej w osi pręta do wartości maksymalnej τmax dla punktów położonych przy zewnętrznej powierzchni pręta (rys. 2a). Spełniona jest zależność:

$\frac{\mathbf{\tau}}{\mathbf{\tau}_{\mathbf{\max}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\rho}}{\mathbf{r}}$ (1)

Gdzie: ρ - dowolny promień, r – promień zewnętrzny.

Korzystając z przeprowadzonych obserwacji, można opisać stan odkształceń skręcanych prętów kołowych (rys. 2b). Opisując geometrie powierzchniowego wycinka wału o długości dx można wyprowadzić następującą zależność:

$\mathbf{\gamma = \ \rho*\ }\frac{\mathbf{\text{dφ}}}{\mathbf{\text{dx}}}$ (2)

Kąt γ jest kątem odkształcenia postaciowego na zewnętrznej powierzchni pręta okrągłego o promieniu ρ i może zostać wyrażony przez naprężenie ścinające za pomocą prawa Hooke'a dla ścinania:

$\mathbf{\gamma =}\frac{\mathbf{\tau}}{\mathbf{G}}$ (3)

Współczynnik proporcjonalności G jest nazywany modułem odkształcenia postaciowego lub modułem Kirchhoffa. Podobnie jak moduł sprężystości podłużnej E, moduł odkształcenia postaciowego ma wymiar naprężeń [MPa]. Dowodzi sie, że pomiędzy modułem ścinania G, modułem Younga E oraz liczbą Poissona ν zachodzi związek:

$\mathbf{\tau}_{\mathbf{\max}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{E}}{\mathbf{2(1 +}\mathbf{\ }\mathbf{\nu)}}$ (4)

Na podstawie powyższych równań otrzymuje się zależność opisującą maksymalne naprężenia ścinające:

$\mathbf{\tau}_{\mathbf{\max}}\mathbf{= G}\frac{\mathbf{\text{dφ}}}{\mathbf{\text{dx}}}\mathbf{r}$ (5)

Podstawiając (5) do (1) otrzymujemy zależność naprężeń stycznych τ od promienia ρ:

$\mathbf{\tau}_{\mathbf{\max}}\mathbf{= G}\frac{\mathbf{\text{dφ}}}{\mathbf{\text{dx}}}\mathbf{\rho}$ (6)

Zapisując warunki równowagi w postaci sumy momentów względem osi symetrii pręta dla wyodrębnionego elementu uzyskuje się zależność pomiędzy momentem skręcającym Ms i kątem skręcenia ϕ. Siła tnąca działająca na element o powierzchni dF (rys. 2a) wynosi τ·dF, a moment tej siły względem osi pręta jest równy τ·ρdF. Po zsumowaniu tego elementarnego momentu po całym polu przekroju poprzecznego uzyskuje sie moment całkowity w przekroju pręta, który

musi być zrównoważony przez moment zewnętrzny M=Ms czyli:

∫_Fρ *  τ * dF −  M_s=0 (7)

Podstawiając (6) mamy:

$\int_{\mathbf{F}}^{}{\mathbf{\rho}^{\mathbf{s}}\mathbf{*G}\frac{\mathbf{\text{dφ}}}{\mathbf{\text{dx}}}\mathbf{dF - \ }\mathbf{M}_{\mathbf{s}}\mathbf{= 0}}$ (8)

Po wprowadzeniu oznaczenia:

I_o= ∫_Fρ²dF (9)

Gdzie: I_o jest to biegunowy moment bezwładności kołowego przekroju poprzecznego otrzymujemy:

$\frac{\mathbf{\text{dφ}}}{\mathbf{\text{dx}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{s}}}{\mathbf{G}\mathbf{I}_{\mathbf{o}}}$ (10)

Dla rury o promieniu wewnętrznym r, i zewnętrznym R, moment ten wynosi:

$\mathbf{I}_{\mathbf{0}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\pi*(}\mathbf{R}^{\mathbf{4}}\mathbf{- \ }\mathbf{r}^{\mathbf{4}}\mathbf{)}}{\mathbf{32}}$ (11)

Podstawiając (10) do (6) otrzymujemy:

$\mathbf{\tau = \ }\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{s}}}{\mathbf{I}_{\mathbf{o}}}\mathbf{*\ \rho}$ (12)

Jest to zależność naprężen ścinających od odległości ρ od środka przekroju pręta. Ponieważ zarówno moment Ms, jak i biegunowy moment bezwładności Io są stałe więc rozkład naprężeń tnących jest liniową funkcją odległości od środka symetrii wałka. Największe naprężenia ścinające w obrębie przekroju poprzecznego pręta okrągłego występują dla ρ = r i wynoszą:

$\mathbf{\tau}_{\mathbf{\max}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{s}}}{\mathbf{I}_{\mathbf{0}}}\mathbf{\text{\ r}}$ (13)

Lub

$\mathbf{\tau}_{\mathbf{\max}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{s}}}{\mathbf{W}_{\mathbf{o}}}$ (14)

Gdzie:

$\mathbf{W}_{\mathbf{o}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{r}}$ (15)

Nazywany jest wskaźnikiem wytrzymałości na skręcanie. Dla przekroju rurowego wynosi:

$\mathbf{W}_{\mathbf{0}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\pi*(}\mathbf{R}^{\mathbf{3}}\mathbf{- \ }\mathbf{r}^{\mathbf{3}}\mathbf{)}}{\mathbf{16}}$ (16)

Kąt skręcenia ϕ można wyznaczyć przez całkowanie wyrażenia (8):

$\mathbf{\varphi = \ }\int_{\mathbf{0}}^{\mathbf{l}}{\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{s}}}{\mathbf{G}\mathbf{I}_{\mathbf{0}}}\mathbf{\text{dx}}}$ (17)

Ogólny warunek wytrzymałościowy pręta skręcanego ma postać:

$\mathbf{\tau}_{\mathbf{\max}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{\text{s\ max}}}}{\mathbf{W}_{\mathbf{o}}}\mathbf{\ \leq}\mathbf{k}_{\mathbf{s}}$ (18)

Gdzie: k_s – naprężenia dopuszczalne na skręcanie, M_{s max} – maksymalny moment skręcający.

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie modułu sprężystości postaciowej G materiału próbki o przekroju kołowym, poprzez pomiar kąta skręcenia.

1. Schemat stanowiska pomiarowego

Gdzie: 1 – korpus skręcarki, 2- nieważka nić z obciążeniami, 3 – próbka, 4- uchwyt napędowy, 5- urządzenie do wyznaczania kąta skręcenia próbki, 6 – koło skrętne o promieniu R.

1. Metodyka obliczeń (dane oraz obliczenia w protokole)

Obliczanie średniego przyrostu wskazań czujnika:

$$\mathbf{}\mathbf{x}_{\mathbf{s}\mathbf{r}}\mathbf{= \ }\frac{\sum_{}^{}\left| \mathbf{x} \right|}{\mathbf{n}}$$

x_sr - średni przyrost wskazań czujnika pomiędzy kolejnymi obciążeniami,

x - przyrost wskazań czujnika pomiędzy kolejnymi obciążeniami,

n – ilość przyrostów pomiędzy obciążeniami.

Wyznaczanie średniego przyrostu kąta skręcenia pomiędzy obciążeniami:

$$\mathbf{}\mathbf{\varphi}_{\mathbf{s}\mathbf{r}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{}\mathbf{x}_{\mathbf{s}\mathbf{r}}}{\mathbf{r}}$$

φ_sr - średni przyrost kąta skręcenia pomiędzy obciążeniami [rad],

r – odległość osi skręcanej próbki od osi wrzeciona czujnika.

Sprawdzenie, czy maksymalne naprężenia są mniejsze niż k_s = 80 [MPa]:

$$\mathbf{\tau}_{\mathbf{\max}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{\text{s\ max}}}}{\mathbf{W}_{\mathbf{o}}}$$

Gdzie:

M_{s max} – maksymalny moment skręcający podczas badania,

W_o – wskaźnik wytrzymałości na skręcanie:

$$\mathbf{W}_{\mathbf{0}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\pi*(}{\mathbf{D}_{\mathbf{z}}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}{\mathbf{d}_{\mathbf{w}}}^{\mathbf{3}}\mathbf{)}}{\mathbf{16}}$$

Wyznaczanie biegunowego momentu bezwładności:

$\mathbf{I}_{\mathbf{0}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\pi*(}\mathbf{\text{Dz}}^{\mathbf{4}}\mathbf{- \ }\mathbf{\text{dw}}^{\mathbf{4}}\mathbf{)}}{\mathbf{32}}$

Obliczanie modułu odkształcenia postaciowego:

$$\mathbf{G = \ }\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{s}}\mathbf{*l}}{\mathbf{I}_{\mathbf{0}}\mathbf{*\ }\mathbf{\varphi}_{\mathbf{sr}}}$$

Tabela pomiarowa :

Lp	Q [N]	Ms [Nm]	Wskazania czujnika [mm]	Przyrost wskazań czujnika |∆x| pomiędzy kolejnymi obciążeniami
1	0	0	0	0
2	9,81	0.981	0,373	0,373
3	19,62	1,962	0,809	0,436
4	29,43	2,943	1,280	0,471
5	19,62	1,962	0,909	0,371
6	9,81	0,981	0,381	0,528
7	0		0,015	0,366
	∑|x|= 1,843356

Pozostałe dane:

Ścianka rury= 0,8 mm

D_z=15,5 mm=0,0155 m

D_w=13,9 mm= 0,0139 m

L=55,25 mm= 0,05525 m

r= 87,75 mm=0,08775 m

R= 100 mm= 0,1 m

Obliczenia:

Obliczanie średniego przyrostu wskazań czujnika:

$$\mathbf{}\mathbf{x}_{\mathbf{s}\mathbf{r}}\mathbf{= \ }\frac{\sum_{}^{}\left| \mathbf{x} \right|}{\mathbf{n}}$$

n=6

$\sum_{}^{}\left| x \right|$=1,843356

$$\mathbf{}\mathbf{x}_{\mathbf{s}\mathbf{r}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{1,843356}}{\mathbf{6}}\mathbf{= 0,307226}$$

Wyznaczanie średniego przyrostu kąta skręcenia pomiędzy obciążeniami:

$$\mathbf{}\mathbf{\varphi}_{\mathbf{s}\mathbf{r}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{}\mathbf{x}_{\mathbf{s}\mathbf{r}}}{\mathbf{r}}$$

r=87,75 mm

$\mathbf{}\mathbf{\varphi}_{\mathbf{s}\mathbf{r}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{0,307226}}{\mathbf{87,75}}\mathbf{= 0,00350115}$ rad

Sprawdzenie, czy maksymalne naprężenia są mniejsze niż k_s = 80 [MPa]:

$\mathbf{\tau}_{\mathbf{\max}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{s}\mathbf{\ }\mathbf{\max}}}{\mathbf{W}_{\mathbf{o}}}$≤ks

Ms_max=2,943

$$\mathbf{W}_{\mathbf{0}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\pi*(}{\mathbf{D}_{\mathbf{z}}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}{\mathbf{d}_{\mathbf{w}}}^{\mathbf{3}}\mathbf{)}}{\mathbf{16}}$$

D_z=0,0155 m

D_w=0,0139 m

$\mathbf{W}_{\mathbf{0}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\pi*}\left( \left( \mathbf{0,0155} \right)^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\left( \mathbf{0,0139} \right)^{\mathbf{3}} \right)}{\mathbf{16}}\mathbf{=}$0,000000203 m³

$$\mathbf{\tau}_{\mathbf{\max}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{2,943}}{\mathbf{0,000000203}}\mathbf{=}\mathbf{14497536,95\ Pa}$$

τ_max=14, 50 MPa  ≤ 80 MPa

Warunek spełniony

Wyznaczanie biegunowego momentu bezwładności:

$\mathbf{I}_{\mathbf{0}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\pi*(}\mathbf{\text{Dz}}^{\mathbf{4}}\mathbf{- \ }\mathbf{\text{dw}}^{\mathbf{4}}\mathbf{)}}{\mathbf{32}}$

D_z=0,0155 m

D_w=0,0139 m

$\mathbf{I}_{\mathbf{0}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\pi*(}\mathbf{(0,0155)}^{\mathbf{4}}\mathbf{- \ }\mathbf{(0,0139)}^{\mathbf{4}}\mathbf{)}}{\mathbf{32}}\mathbf{= 2,00076*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 9}}$ m⁴

Obliczanie modułu odkształcenia postaciowego:

$$\mathbf{G = \ }\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{s}}\mathbf{*l}}{\mathbf{I}_{\mathbf{0}}\mathbf{*\ }\mathbf{\varphi}_{\mathbf{sr}}}$$

M_s=0,981

L=0,5525

I₀= 2, 00076 * 10⁻⁹

φ_sr= 0, 00350115

$\mathbf{G = \ }\frac{\mathbf{0,981*0,5525}}{\mathbf{2,00076*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 9}}\mathbf{*}\mathbf{0,00350115}\mathbf{\ }}$=77373891280 Pa

G ≈ 77,37 GPa

5.Wnioski

Przeprowadzone ćwiczenie miało na celu zbadanie modułu sprężystości postaciowej G. Otrzymany wynik jest wiekszy niż powinien ponieważ moduł ten wynosi 27 GPa. Natomiast naprężenia maksymalne są mniejsze od 80 Mpa co jest dobrym wynikiem.