Zespół Mostów Gliwice, 2.03.2013

Katedra Dróg i Mostów

Wydział Budownictwa

Politechnika Śląska

Komunikacyjne Obiekty Inżynierskie

Temat nr 5

Wykonał:

inż. Krzysztof Jędrzejczak

Konsultował:

dr inż. Teresa Matuszkiewicz

Studia II stopnia

Semestr II

Rok akademicki: 2012/2013

Obliczenia statyczne ustroju nośnego

1. Dane

   1. Schemat statyczny

Przekrój podłużny stanowi belka ciągła dwuprzęsłowa o rozpiętości pojedynczego przęsła wynoszącą 28,5 metra.

Rys.1. Schemat statyczny [m]

1. Przekrój poprzeczny

Rys. 2. Przekrój poprzeczny [wymiary w metrach]

1. Klasa obciążenia

Obciążenie obiektu mostowego przypisano do klasy obciążenia A (wg PN-85/S-10030)

1. Zestawienie obciążeń

   1. Obciążenia stałe konstrukcyjne (g)

Rys. 3. Wymiary skrajnego dźwigara [m]

Rodzaj obciążenia	Ciężar jednostkowy [kN/m^3]	Powierzchnia [m^2]	Obciążenie zastępcze [kN/mb]
Płyta żelbetowa i dźwigar	24,0	1,82	43,7

Tabela 1. Zestawienie obciążeń – ciężar własny konstrukcji

Obciążenie stałe konstrukcyjne obliczeniowe:

g₀= g· γ_f= 43,7 · 1,2= 52,4 [kN/mb]

1. Obciążenia stałe niekonstrukcyjne (Δg)

L.p	Rodzaj obciążenia	Ciężar jednostkowy [kN/m^3]	Powierzchnia [m^2]	Obciążenie zastępcze [kN/mb]
1	Warstwy asfaltu MMA	23,0	0,15	3,45
2	Izolacja przeciwwodna	15,0	0,05	0,75
3	Krawężnik betonowy	24,0	0,09	2,16
4	Kapa chodnikowa	24,0	0,65	15,6
5	Prefabrykat gzymsowy	24,0	0,04	0,96
6	Bariera SP06	-	-	0,70
7	Poręcz mostowa	-	-	0,65

Razem: 24,27

Tabela 2: Zestawienie obciążeń – ciężar elementów niekonstrukcyjnych

Obciążenie stałe niekonstrukcyjne obliczeniowe:

Δg₀= Δg· γ_f= 24,27 · 1,5= 36,40 [kN/mb]

1. Obciążenie użytkowe

   1. Obliczenie współczynnika dynamicznego

φ = 1,35 – 0,005· L

gdzie: L- rozpiętość teoretyczna przęsła = 28,5 [m]

φ = 1,35 – 0,005· 28,5= 1,21

1. Obciążenie taborem samochodowym

Na podstawie tabeli 3 (PN-85/S-10030) dla klasy obciążenia A określono:

- mnożnik= 1,0

- obciążenie q= 4,00 [kN/m²]

- obciążenie K= 800 [kN]

- nacisk na oś= 200 [kN]

1. Obciążenie tłumem pieszych q_t:

Na podstawie PN-85/S-10030 przyjęto: q_t= 2,50 [kN/m²]

1. Podział poprzeczny obciążeń metodą sztywnej poprzecznicy

Siła jednostkowa: P=1,0

Liczba dźwigarów: n= 5

Rozstaw osiowy dźwigarów: b_o= 2,90 [m]

Obliczenie rzędnych linii wpływu według wzoru:

$$R_{i} = \frac{P}{n_{i}} + P*e_{i}*\frac{b_{i}}{\sum_{}^{}{b_{k}}^{2}}$$

gdzie:

P – siła jednostkowa

e – mimośród działania siły jednostkowej

n – ilość dźwigarów

b_i = odległość i-tego dźwigara od osi środka obrotu

b_k = odległość skrajnego dźwigara od osi środka obrotu

$$\sum_{}^{}\ {b_{k}}^{2} = {5,80}^{2} + ( - {5,80)}^{2} = 67,28\ m^{2}$$

Dla poszczególnych dźwigarów obliczono:

$$R_{1} = \frac{1}{5} + 1*\left( - 5,80 \right)*\frac{5,80\ }{67,28} = - 0,30$$

$$R_{2} = \frac{1}{5} + 1*\left( - 2,90 \right)*\frac{2,90\ }{67,28} = 0,07$$

R₃ = 0, 33

$$R_{4} = \frac{1}{5} + 1*\left( - 2,90 \right)*\frac{- 2,90\ }{67,28} = 0,33$$

$$R_{5} = \frac{1}{5} + 1*\left( - 5,80 \right)*\frac{- 5,80}{67,28} = 0,70$$

Rys. 4. Obciążenie siłą jednostkową P=1 kN

1. Schemat obciążeń

Rys. 5. Linia wpływu rozkładu poprzecznego – dźwigar numer 1

1. Obciążenie zastępcze działające na dźwigar numer 1:

$$K_{\text{zk}} = \frac{K}{8}*\left( \eta_{1} + \eta_{2} \right)*\ \varphi = \frac{800}{8}*\left( 0,30 + 0,43 \right)*1,21 = 88,33\ kN$$

$$q_{\text{zk}} = q*F_{1} = 4,0*2,45 = 9,80\ \frac{\text{kN}}{m}$$

$$q_{\text{tzk}} = q_{t}*F_{2} = 2,5*1,12 = 2,80\ \frac{\text{kN}}{m}$$

1. Zestawienie obciążeń na pas 1

Lp.	Rodzaj obciążenia	Symbol	Wartość obciążenia zastępczego
1.	Obc. stałe konstrukcyjne	g	43,70 kN/m
2.	Obc. stałe niekonstrukcyjne	Δg	24,27 kN/m
3.	Obc. taborem samochodowym – skupione	Kzk	88,33 kN
4.	Obc. taborem samochodowym – rozłożone	qzk	9,80 kN/m
5.	Obc. tłumem pieszych	qtzk	2,80 kN/m

Tabela 3: Zestawienie obciążeń na pas 1

1. Wyznaczenie sił wewnętrznych

   1. Schemat statyczny

Przyjęty schemat statyczny to dwuprzęsłowa belka ciągła.

Rozpiętość pojedynczego przęsła wynosi 28,5 metra.

Rys. 5. Schemat statyczny z zaznaczonymi przekrojami

Obliczenia zostaną wykonane dla następujących przekrojów:

- przekrój podporowy A-A

- przekrój w środku przęsła B-B

- przekrój podporowy C-C.

1. Przekrój przęsłowy B-B: linia wpływu momentów zginających wraz obciążeniami:

Rys. 7. Linia wpływu momentów zginających w przekroju B-B

1. Przekrój podporowy C-C: linia wpływu momentów zginających wraz z obciążeniami:

Rys. 8. Linia wpływu momentów zginających w przekroju podporowym C-C

1. Przekrój podporowy A-A: linia wpływu sił tnących i obciążenia:

Rys. 9. Linia wpływu sił tnących w przekroju A-A

1. Przekrój podporowy C-C: linia wpływu sił tnących i obciążenia:

Rys. 10. Linia wpływu sił tnących w przekroju C-C

1. Obliczenia statyczne

Obliczenia statyczne wykonano w programie Soldis.

Zestawienie maksymalnych wartości sił wewnętrznych

1. Momenty zginające

Przekrój	M(g) (γf = 1.2)	M(Δg) (γf = 1.5)	M(qzk) (γf = 1.5)	M(qtzk) (γf = 1.3)	M(Kzk) (γf = 1.5)	Wartość charakt.	Wartość obliczeniowa
B – B	2495,77 (2994,92)	1386,09 (2079,14)	559,70 (839,55)	159,91 (207,88)	2575,51 (3863,26)	7176,98 kNm	9984,75 kNm
C – C	-4436,92 (-5324,30)	-2464,16 (-3696,24)	- 995,00 (-1492,50)	-284,29 (-369,08)	-2878,83 (-4318,25)	- 11059,20 kNm	-15200,17 kNm

Tabela 4 – Zestawienie maksymalnych wartości momentów zginających

1. Siły tnące

Przekrój	T(g) (γf = 1.2)	T(Δg) (γf = 1.5)	T(qzk) (γf = 1.5)	T(qtzk) (γf = 1.3)	T(Kzk) (γf = 1.5)	Wartość charakt.	Wartość obliczeniowa
A – A	467,04 (560,45)	259,40 (389,60)	174,56 (231,84)	49,87 (64,83)	727,74 (1091,61)	1678,61 kN	2338,33 kN
C – C	778,41 (934,09)	432,31 (648,45)	174,56 (231,84)	49,87 (64,83)	727,74 (1091,61)	2162,89 kN	2970,82 kN

Tabela 5- Zestawienie maksymalnych wartości sił tnących

Do dalszych obliczeń przyjęto następujące wartości:

- przekrój przęsłowy B-B: 9985 kNm

- przekrój podporowy C-C: -15200 kNm oraz 2971 kN

- przekrój podporowy A-A: 2338 kN

Obliczenia wytrzymałościowe ustroju nośnego

1. Dane do wymiarowania

Dane materiałowe:

Beton C30/37 (B35)	Rb= 25,0 MPa	Eb= 34,6 GPa
Stal AIII34GS	Ra= 340 MPa	Ea= 210,0 GPa

$$n = \frac{E_{a}}{E_{b}} = \frac{210,0}{34,6} = 6,10$$

Dane geometryczne:

h= 2,0 m

b_o= 0,5 m

t= 0,18 m

przyjęto otulinę zbrojenia: a₁= 0,05 m

h₁ = h − a₁ = 2, 00 − 0, 05 = 1, 95 m

b₁= 2,05 m

b₂= 1,20 m

1. Obliczenie szerokości współpracującej płyty

$$\frac{t}{h} = \frac{0,18}{2,00} = 0,09\ \ \ \ \ \frac{b_{0}}{l} = \frac{0,5}{12,1} = 0,041\ \ \ \ \ \frac{b_{1}}{l} = \frac{2,05}{12,1} = 0,171\ \ \ \rightarrow \lambda_{1} = 0,85$$

$$\frac{t}{h} = \frac{0,18}{2,00} = 0,09\ \ \ \ \ \frac{b_{0}}{l} = \frac{0,5}{12,1} = 0,041\ \ \ \ \ \frac{b_{2}}{l} = \frac{1,20}{12,1} = 0,100\ \ \ \rightarrow \lambda_{2} = 1,0$$

b_m = λ₁ * b_m1 + λ₂ * b_m2 + b₀ = 0, 85 * 2, 05 + 1, 0 * 1, 20 + 0, 50 = 3, 45 m

Rys. 1. Szerokości współpracujące płyty

1. Wymiarowanie zbrojenia podłużnego

   1. Przekrój B-B (przęsłowy)

M_B-B= 9985 kNm

Wysokość strefy ściskanej:

$$x = \frac{n*R_{b}}{n*R_{b} + R_{a}} \bullet h_{1} = \frac{6,10*25,0}{6,10*25,0 + 340}*1,95 = 0,60\ m$$

Obliczenie zbrojenia:

$$A_{a} = \frac{M}{R_{a}(h_{1} - \frac{x}{3})} = \frac{9985}{340 \bullet 10^{3}*(1,95 - \frac{0,60}{3})} = 167,8*10^{- 4}m^{2}$$

Stąd przyjęto: 21 ø 32

$$A_{a1} = 21\pi{(0.032}^{2}*\frac{1}{4}) = 169*10^{- 4}m^{2}$$

Ilość prętów w rzędzie (dla przyjętej otuliny a₁= 0,05 m):

$$\frac{b - 2a}{2*\varnothing} + 1 = \frac{0,50 - 2 \bullet 0,05}{2*0,032} + 1 \cong 7$$

Sprawdzenie teowości przekroju:

$$x_{\text{rz}} = \frac{R_{a}*A_{a1}}{R_{b}*b_{m}} = \frac{340*169\ *10^{- 4}}{25*3,45} = 0,066\ m < 0,180\ m$$

→x_rz < t  → przekroj pozornie teowy

Wysokość rzeczywistej strefy ściskanej:

$$x_{\text{rz}} = \frac{nA_{a}}{b_{m}}\left( \sqrt{1 + \frac{2bh_{1\text{rz}}}{nA_{a}}} - 1 \right) = \frac{6,10*169*10^{- 4}}{3,45}\left( \sqrt{1 + \frac{2*3,45*1,95}{6,10*169*10^{- 4}}} - 1 \right) = 0,313\ m$$

Sprawdzenie naprężeń:

$$\sigma_{\text{bmax}} = \frac{2M}{b_{m}x_{\text{rz}}\left( h_{1\text{rz}} - \frac{x_{\text{rz}}}{3} \right)} = \frac{2 \bullet 9985 \bullet 10^{- 3}}{3,45 \bullet 0,313 \bullet \left( 1,95 - \frac{0,313}{3} \right)} = 10,5\ \text{MPa} < R_{b} = 25,0\ \text{MPa}$$

$$\sigma_{\text{amax}} = \frac{M}{A_{a}\left( h_{1\text{rz}} - \frac{x_{\text{rz}}}{3} \right)} = \frac{9985 \bullet 10^{- 3}}{169 \bullet 10^{- 4} \bullet \left( 1,95 - \frac{0,313}{3} \right)} = \ \ \ \ 320,1\ \text{MPa} < R_{a} = 340\ \text{MPa}$$

Warunki nośności dla przekroju B-B zostały spełnione.

1. Przekrój C-C (podporowy):

M_C-C = 15200 kNm

Wysokość strefy ściskanej:

$$x = \frac{n*R_{b}}{n*R_{b} + R_{a}} \bullet h_{1} = \frac{6,10*25,0}{6,10*25,0 + 340}*1,95 = 0,60\ m$$

Obliczenie zbrojenia:

$$A_{a} = \frac{M}{R_{a}(h_{1} - \frac{x}{3})} = \frac{15200}{340 \bullet 10^{3}*(1,95 - \frac{0,60}{3})} = 255,4*10^{- 4}m^{2}$$

Stąd przyjęto: 32 ø 32

$$A_{a1} = 32\pi{(0.032}^{2}*\frac{1}{4}) = 257*10^{- 4}m^{2}$$

Ilość prętów w rzędzie (dla przyjętej otuliny a₁= 0,05 m):

$$\frac{b - 2a}{2*\varnothing} + 1 = \frac{0,50 - 2 \bullet 0,05}{2*0,032} + 1 \cong 7$$

Wysokość rzeczywistej strefy ściskanej:

$$x_{\text{rz}} = \frac{nA_{a}}{b_{m}}\left( \sqrt{1 + \frac{2bh_{1\text{rz}}}{nA_{a}}} - 1 \right) = \frac{6,10*257*10^{- 4}}{3,45}\left( \sqrt{1 + \frac{2*3,45*1,95}{6,10*257*10^{- 4}}} - 1 \right) = 0,380\ m$$

Sprawdzenie naprężeń:

$$\sigma_{\text{bmax}} = \frac{2M}{b_{m}x_{\text{rz}}\left( h_{1\text{rz}} - \frac{x_{\text{rz}}}{3} \right)} = \frac{2 \bullet 15200 \bullet 10^{- 3}}{3,45 \bullet 0,380 \bullet \left( 1,95 - \frac{0,380}{3} \right)} = 12,8\ \text{MPa} < R_{b} = 25,0\ \text{MPa}$$

$$\sigma_{\text{amax}} = \frac{M}{A_{a}\left( h_{1\text{rz}} - \frac{x_{\text{rz}}}{3} \right)} = \frac{15200 \bullet 10^{- 3}}{257 \bullet 10^{- 4} \bullet \left( 1,95 - \frac{0,380}{3} \right)} = \ \ \ \ 323,1\ \text{MPa} < R_{a} = 340\ \text{MPa}$$

Warunki nośności dla przekroju C-C zostały spełnione.

1. Wymiarowanie zbrojenia poprzecznego

Maksymalna siła poprzeczna: V_max= 2971 kN

Średnia wartość naprężenia ścinającego w betonie:

$$_{b} = \frac{V}{b*z} = \frac{2971*10^{- 3}}{0,5*0.85*1,95} = 3,58\ MPa$$

Wartości obliczeniowych wytrzymałości betonu C30/37 (B35) na ścinanie:

τ_R = 0, 32 MPa

τ_{b max} = 4, 43 MPa

Stąd:

τ_R < τ_b < τ_{b max}

0, 32 MPa  <  3, 58 MPa  < 4, 43 MPa

Przekroje należy zazbroić ze względu na ścinanie.

Stopień zbrojenia podłużnego:

$$\mu = \frac{A_{a}}{b*h_{1}} = \frac{0,0169 + 0,0257}{0,5*1,95} = 0,044$$

1. Przekrój A-A:

Maksymalna siła poprzeczna w przekroju A-A: V_A-A= 2338 kN

Siła poprzeczna przenoszona przez beton:

$${V}_{b} = \tau_{R}\left( 1 + 50\mu \right) \bullet 0.85bh_{1}\left( 1 + \frac{M_{0}}{M_{\max}} \right) =$$

$$= 0,32 \bullet \left( 1 + 50*0,044 \right) \bullet 0,85 \bullet 0,5 \bullet 1,95*(1 + \frac{2338}{2971}) = 1516\ kN$$

Siła poprzeczna przenoszona przez strzemiona:

V_w = V_A − V_b = 2338 − 1516 = 822 kN

Zakłada się, że strzemiona mają przenieść połowę siły poprzecznej:

Max(0,5•V_A=0,5•2338=1169 kN<V_w 822 kN) → przyjeto 1169 kN

Przyjęto strzemiona 4-cięte ø 12 ze stali A-II:

A_aw = 0, 25 • 0, 10² • π • 4 = 0, 0452m²

R_aw = 295 MPa

Rozstaw strzemion:

$$s = \frac{A_{\text{aw}} \bullet R_{\text{aw}} \bullet 0,85h_{1}}{V_{w}} = \frac{0,0452 \bullet 295 \bullet 0,85 \bullet 1,95}{1169 \bullet 10^{- 3}} = 0,189\ m$$

Przyjęto rozstaw strzemion s= 190 mm.

Powyżej przedstawiono tok postępowania przy obliczaniu ilości potrzebnego zbrojenia strefy przypodporowej A-A. Pozostałe przekroje obliczono przy użyciu arkusza kalkulacyjnego Exel a wyniki przedstawiono w tabeli nr

Lp.	Przekrój	Wartość siły tnącej [kN]	Rozstaw strzemion [mm]
1.	A-A	VA = 2338	190
2.	A-A	V0.8A = 1870	240
3.	A-A	V0.6A = 1403	270
4.	C-C	V0.6C = 1783	250
5.	C-C	V0.8C = 2377	190
6.	C-C	VC = 2971	150

Tabela nr 6. Rozstaw strzemion

Dodatkowo w przekroju B-B i okolicach tego przekroju wprowadzono strzemiona jako elementy usztywniające w rozstawie co 30 cm (w bezpośrednim rejonie przekroju B-B) oraz w rozstawie co 25 (tuż po zakończeniu się przekrojów A-A i C-C).

1. Sprawdzenie stanu granicznego użytkowania dźwigara

   1. Sprawdzenie konstrukcji ze względu na stany graniczne zarysowania

Wysokość strefy współpracującej:

h_eff = a + ⌀ + 20 + 7, 5⌀=51 + 32 + 20 + 7, 5 • 32 = 343mm

$$h_{\text{eff}} = \min\begin{Bmatrix} h - x = 1,0 - 0,380 = 0,620\ m \\ 200\ \text{mm} \\ \end{Bmatrix} = 0,20\ m$$

Rozstaw osiowy prętów: s= 67 mm

$$\chi = 1 - 0,5\frac{h_{\text{eff}}}{h - x} = 1 - 0,5\frac{0,20}{1 - 0,380} = 0,839$$

Graniczne rozwarcie rys: w_k= 0,2 mm

Średni rozstaw rys:

s_R = 1, 27 • χs + 60 mm = 1, 27 • 0, 839 • 67 + 60 = 131 mm

Sprawdzenie warunku naprężeń: Mk= 7180 kNm

$$\sigma_{\text{ared}} = \frac{w_{k}E_{a}}{s_{R}} = \frac{0,2 \bullet 210 \bullet 10^{3}}{131} = 320,6\ \text{MPa}$$

$$\sigma_{\text{amax}} = \frac{M_{k}}{A_{a} \bullet \left( h_{1} - \frac{x}{3} \right)} = \frac{7180 \bullet 10^{- 3}}{0,04 \bullet \left( 1,95 - \frac{0,380}{3} \right)} = 98,44\text{MPa} < \sigma_{\text{ared}} = 320,6\ \text{MP}a$$

Warunek został spełniony.

1. Sprawdzenie konstrukcji ze względu na stan graniczny ugięcia.

Ugięcie dopuszczalne dla mostu belkowego w układzie ciągłym z żelbetu wynosi:

$$f = \frac{L}{800} = \frac{28,5}{800} = 0,035625\ m = 35,62\ \text{mm}$$

Maksymalny moment charakterystyczny od obciążeń ruchomych wynosi:

M_kSGU = q_z + q_zt + K_z = 560 + 160 + 2575 = 3295 kNm

Współczynnik zmniejszenia sztywności:

k_f = 1, 33 dla ρ = 2.0%

$$I_{b} = \frac{b*h^{3}}{12} = \frac{0,5*{2,0}^{3}}{12} = 0,334\ m^{4}$$

Wartość ugięcia od obciążenia ruchomego z uwzględnieniem współczynnika sztywności:

$$f_{c} = \frac{5}{48}*\frac{M_{\text{kSGU}}*L^{2}}{E_{b}*I_{b}}*k_{f} = \frac{5}{48}*\frac{3295*{28,5}^{2}}{3,5*10^{- 6}*0,334}*1,33 = 31,71\ mm$$

f_c = 31, 71 mm < 35, 62 mm = f  → warunek spełniony

KONIEC OBLICZEŃ