Teoria Obwodów - Laboratorium
Temat: Badanie czwórników
ćwiczenie wykonali:
Kordian Urbaniak
Michał Szymański
Tomasz Wierzba

1. Podstawowe pojęcia.

Czwórnikiem nazywamy element mający dwie pary uporządkowanych zacisków, z których jedną parę nazywamy wejściem, a drugą wyjściem czwórnika.

Schemat czwórnika:

Rozróżniamy trzy podstawowe układy połączeń czwórników:

- połączenia łańcuchowe:

1 2 3

1’

- połączenia równoległe:

- połączenie szeregowe

Rozróżniamy równania czwórników, które określają związki między prądami i napięciami na wejściu i wyjściu czwórnika. Są to dwa równania liniowe mające współczynniki zależne od parametrów czwórnika. Równania te mogą mieć różną postać, najważniejsze z nich to:

Postać impedancyjna; zmienne U₁ i U₂ są zależne od I₁, I₂

; z₁₁, z₁₂ z₂₁, z₂₂ – parametry impedancyjne

Postać admitancyjna; zmienne I₁ i I₂ są zależne od U₁, U₂

; y₁₁, y₁₂ y₂₁, y₂₂ – parametry admitancyjne

Postać łańcuchowa prosta; zmienne U₁ i I₁ są zależne od U₂, I₂

; A, B, C, D – parametry łańcuchowe

Postać mieszana zwana hybrydową; zmienne U₁ i I₂ są zależne od U₂, I₁

; h₁₁, h₁₂ h₂₁, h₂₂ – parametry hybrydowe

Do opisu czwórników pasywnych najczęściej stosuje się postać łańcuchową, Przy opisie czwórników aktywnych (zwłaszcza tranzystora) stosuje się postać hybrydową.

1. Tabele pomiarów i obliczenia:

Wartości rezystancji (elementów) czwórników:

R₁=1 [Ω] R₂=2 [Ω] R₃=1 [Ω]

Czwórnik typu Π:

$\mathbf{Z}_{\mathbf{\text{we}}\mathbf{0}} = \frac{U_{10}}{I_{10}} = \frac{A}{C} = \frac{12}{16} = 0,75\mathbf{\ \lbrack\Omega\rbrack}$

$\mathbf{Z}_{\mathbf{\text{wez}}} = \frac{U_{1z}}{I_{1z}} = \frac{B}{D} = \frac{12}{18} = \mathbf{0,(6)}\mathbf{\ \lbrack\Omega\rbrack}$

$\mathbf{Z}_{\mathbf{c}} = \sqrt{\frac{B}{C}} = \sqrt{\frac{2,5}{1,429}} = \mathbf{1,32\lbrack\Omega\rbrack}\ $

Lp.	Stan jałowy	Stan zwarcia
	U10[V]	I10[mA]
1.	12,018	10,019
2.	24,013	20,067

$$\mathbf{A} = \frac{U_{10}}{U_{20}} = \frac{12,018}{7,011} = \frac{24,013}{14,043} = \mathbf{1,71}$$

$$\mathbf{B} = \frac{U_{1Z}}{I_{2Z}} = \frac{12,018}{4,797} = \frac{24,013}{9,605} = \mathbf{2,5}$$

$$\mathbf{C} = \frac{I_{10}}{U_{20}} = \frac{10,019}{7,011} = \frac{20,067}{14,043} = \mathbf{1,429}$$

$$\mathbf{D} = \frac{I_{1Z}}{I_{2Z}} = \frac{12,809}{4,797} = \frac{25,645}{9,605} = \mathbf{2,67}$$

Parametry admitancyjne:

Schemat czwórnika typu Π:

Macierz admitancyjna:

$\begin{bmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} U_{1} \\ U_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{1} \\ I_{2} \\ \end{bmatrix}$

Równania admitancyjne:

y₁₁U₁ + y₁₂U₂ = I₁

y₂₁U₁ + y₂₂U₂ = I₂

U₂=0

$y_{11} = \frac{I_{1}}{U_{1}}$ $y_{12} = \frac{I_{2}}{U_{1}}$

Z powyższego schematu układamy równanie na prąd I₁, z którego wyznaczymy parametr y₁₁:

$I_{1} = \frac{U_{1}}{\frac{1}{R_{1}}} + \frac{U_{1}}{\frac{1}{R_{2}}}$

I₁ = U₁R₁ + U₁R₂          /:U₁

$\mathbf{y}_{\mathbf{11}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{= 1,5 + 2,5 = 4\ \lbrack S\rbrack}$

Z powyższego schematu układamy równanie na prąd I₂, z którego wyznaczymy parametr y₁₂:

$I_{2} = \frac{U_{1}}{\frac{1}{R_{2}}}$

I₂ = U₁R₂          /:U₁

$\mathbf{y}_{\mathbf{12}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{= 2,5\ \lbrack S\rbrack}$

U₁=0

$y_{21} = \frac{I_{1}}{U_{2}}$ $y_{22} = \frac{I_{2}}{U_{2}}$

Z powyższego schematu układamy równanie na prąd I₂, z którego wyznaczymy parametr y₂₂:

$I_{2} = \frac{U_{2}}{\frac{1}{R_{3}}} + \frac{U_{2}}{\frac{1}{R_{2}}}$

I₁ = U₂R₃ + U₂R₂          /:U₂

$\mathbf{y}_{\mathbf{22}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{U}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{= 3,5 + 2,5 = 6\ \lbrack S\rbrack}$

Z powyższego schematu układamy równanie na prąd I₁, z którego wyznaczymy parametr y₂₁:

$I_{1} = \frac{U_{2}}{\frac{1}{R_{2}}}$

I₁ = U₂R₂          /:U₂

$\mathbf{y}_{\mathbf{21}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{U}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{= 2,5\ \lbrack S\rbrack}$

Czwórnik typu T:

$\mathbf{Z}_{\mathbf{\text{we}}\mathbf{0}} = \frac{U_{10}}{I_{10}} = \frac{A}{C} = \frac{12}{2,4} = \frac{1,429}{0,286} = \mathbf{5\ \lbrack\Omega\rbrack}$

$\mathbf{Z}_{\mathbf{\text{wez}}} = \frac{U_{1z}}{I_{1z}} = \frac{B}{D} = \frac{12}{4,052} = \frac{5,083}{1,716} = \mathbf{2,96\ \lbrack\Omega\rbrack}$

$\mathbf{Z}_{\mathbf{c}} = \sqrt{\frac{B}{C}} = \sqrt{\frac{5,083}{0,286}} = \mathbf{4,22\lbrack\Omega\rbrack}\ $

Lp.	Stan jałowy	Stan zwarcia
	U10[V]	I10[mA]
1.	12	2,4
2.	24,04	4,81

$\mathbf{A} = \frac{U_{10}}{U_{20}} = \frac{12}{8,395} = \frac{24,04}{16,823} = \mathbf{1,429}$

$\mathbf{B} = \frac{U_{1Z}}{I_{2Z}} = \frac{12}{2,361} = \frac{24,04}{4,729} = \mathbf{5,083}$

$\mathbf{C} = \frac{I_{10}}{U_{20}} = \frac{2,4}{8,395} = \frac{4,81}{16,823} = \mathbf{0,286}$

$\mathbf{D} = \frac{I_{1Z}}{I_{2Z}} = \frac{4,052}{2,361} = \frac{8,115}{4,729} = \mathbf{1,716}$

Obliczenie parametrów admitancyjnych:

Schemat czwórnika typu T:

Macierz admitancyjna:

$\begin{bmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} U_{1} \\ U_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{1} \\ I_{2} \\ \end{bmatrix}$

Równania admitancyjne:

y₁₁U₁ + Y₁₂U₂ = I₁

y₂₁U₁ + y₂₂U₂ = I₂

U₂=0

$y_{11} = \frac{I_{1}}{U_{1}}$ $y_{12} = \frac{I_{2}}{U_{1}}$

Obliczam metodą potencjałów węzłowych:

$V\left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} \right) = \frac{U_{1}}{R_{1}}$

$V\left( \frac{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}{R_{1}R_{2}R_{3}} \right) = \frac{U_{1}}{R_{1}}$

$\mathbf{V} = \frac{U_{1}}{R_{1}}*\frac{R_{1}R_{2}R_{3}}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}} = \frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}$

Zależność na prądy gałęziowe I₁ i I₂:

$\mathbf{I}_{\mathbf{1}} = \frac{U_{1}}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{\frac{1}{R_{2}R_{3}}}{\frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}}} = \frac{U_{1}}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{\frac{1}{R_{2}R_{3}}}{\frac{R_{2 +}R_{3}}{R_{2}R_{3}}}} = \frac{U_{1}}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2} + R_{3}}}\mathbf{=}\frac{U_{1}}{\frac{R_{2} + R_{3} + R_{1}}{R_{1}R_{2} + R_{1}R_{3}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{)}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}$

$I_{2} = \frac{V}{R_{2}} = \frac{U_{1}R_{2}R_{3}}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}*\frac{1}{R_{2}}$

$\mathbf{I}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}\mathbf{\text{\ \ }}$

Przystępujemy do obliczania parametrów:

$I_{1} = \frac{U_{1}(R_{1}R_{2} + R_{1}R_{3})}{R_{2} + R_{3} + R_{1}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /:U_{1}$

$\mathbf{y}_{\mathbf{11}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1,5*2,5 + 1,5*3,5}}{\mathbf{2,5 + 3,5 + 1,5}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{7,5}}\mathbf{= 1,2\ \lbrack S\rbrack}$

$I_{2} = \frac{U_{1}R_{3}}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /:U_{1}\ $

$\mathbf{y}_{\mathbf{12}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3,5}}{\mathbf{17,75}}\mathbf{= 0,2\ \lbrack S\rbrack}$

U₁=0

$y_{21} = \frac{I_{1}}{U_{2}}$ $y_{22} = \frac{I_{2}}{U_{2}}$

Obliczam metodą potencjałów węzłowych:

$V\left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} \right) = \frac{U_{2}}{R_{2}}$

$V\left( \frac{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}{R_{1}R_{2}R_{3}} \right) = \frac{U_{2}}{R_{2}}$

$\mathbf{V} = \frac{U_{2}}{R_{2}}*\frac{R_{1}R_{2}R_{3}}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}} = \frac{\mathbf{U}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}$

Zależność na prądy gałęziowe I₁ i I₂:

$I_{1} = \frac{V}{R_{1}} = \frac{U_{2}R_{1}R_{3}}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}*\frac{1}{R_{1}}$

$\mathbf{I}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}\mathbf{\text{\ \ }}$

$\mathbf{I}_{\mathbf{2}} = \frac{U_{2}}{\frac{1}{R_{2}} + \frac{\frac{1}{R_{1}R_{3}}}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{3}}}} = \frac{U_{2}}{\frac{1}{R_{2}} + \frac{\frac{1}{R_{1}R_{3}}}{\frac{R_{3 +}R_{1}}{R_{1}R_{3}}}} = \frac{U_{2}}{\frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3} + R_{1}}}\mathbf{=}\frac{U_{2}}{\frac{R_{3} + R_{1} + R_{2}}{R_{1}R_{2} + R_{1}R_{3}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{)}}{\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}$

Przystępujemy do obliczania parametrów:

$I_{1} = \frac{U_{2}R_{3}}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /:U_{2}$

$\mathbf{y}_{\mathbf{21}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{U}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3,5}}{\mathbf{17,75}}\mathbf{= 0,2\ \lbrack S\rbrack}$

$I_{2} = \frac{U_{2}(R_{2}R_{3} + R_{2}R_{1})}{R_{3} + R_{1} + R_{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /:U_{2}\ $

$\mathbf{y}_{\mathbf{22}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{U}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2,5*3,5 + 2,5*1,5}}{\mathbf{3,5 + 1,5 + 1,5}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{12,5}}{\mathbf{7,5}}\mathbf{= 1,67\ \lbrack S\rbrack}$

1. Wnioski:

Z wyliczonych parametrów łańcuchowych i parametrów admitancyjnych można stwierdzić, że badane czwórniki typu Π i T, nie są symetryczne. Ten fakt opisują zależności:

• dla parametrów łańcuchowych:

A=D

• dla parametrów admitancyjnych:

y₁₁=y₂₂

Te zależności nie są spełnione, więc oba czwórniki nie są symetryczne.

Czwórniki też mogą być odwracalne. Tą własność można zbadać z następującego równania:

AD-BC=1

Te równanie jest prawdziwe, więc oba czwórniki są odwracalne.