CAŁKA NIEOZNACZONA

Jeżeli funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale P, to całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale P nazywamy zbiór funkcji {F(x)+C,CϵR} i oznaczamy jako

∫f(x)dx, ∫f(x)dx=F(x)+C

f(x) – funkcja podcałkowa

x – zmienna całkowania

dx – różniczka zmiennej całkowania

f(x)dx – wyrażenie podcałkowe

C – stała całkowania.

Całka nieoznaczona danej funkcji jest jedną z jej funkcji pierwotnych, a więc zawsze funkcją różniczkowalną.

Całka nieoznaczona danej funkcji nie jest jednoznacznie określoną funkcją, gdyż jest ona określona z dokładnością do stałej.

Tożsamości całki nieoznaczonej:

- pochodna każdej funkcji pierwotnych funkcji f jest równa funkcji podcałkowej

- całka nieoznaczona pochodnej funkcji jest sumą tej funkcji i dowolnej stałej.

CAŁKA OZNACZONA

Oznaczamy przez ∂n długość największego z przedziałów przejściowych.

Niech n→∞ i przy tym niech ∂n→0. Jeżeli istnieje granica ciągu (∂n)nϵN niezależna od sposobu podziału przedziału [a,b] na części i doboru punktów ᶓ1,ᶓ2…ᶓn to granicę taką nazywamy całką oznaczoną Riemanna funkcji f na przedziale [a,b] i oznaczamy jako

∫^b_a f(x)dx

Funkcję f nazywamy całkowalną w przedziale [a,b] jeżeli istnieje całka ∫^b_a f(x)dx.

Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym, to jest w tym przedziale całkowalna.

Jeżeli funkcja jest ograniczona w przedziale domkniętym i ma w nim co najwyżej skończoną ilość punktów nieciągłości, to jest w tym przedziale całkowalna.

Interpretacja geometryczna:

Pole trapezu krzywoliniowego D pozostaje w ścisłym związku z pojęciem całki oznaczonej, gdyż

IDI=lim(∂n(∆n)→0,(ᶓi),n→∞) ∂n

gdy f(x)>=0, czyli pole figury D to granica ciągu (∂n)nϵN, a więc granica ciągu pól figur schodkowych.

Można zatem pole IDI wyrazić używając symbolu całki oznaczonej. IDI=∫^b_a f(x)dx

Jeżeli f jest funkcją ciągłą na przedziale domkniętym [a,b] i f(x)=<0 dla xϵ[a,b]. ID’I=-∫^b_a f(x)dx

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE

Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie postaci F(x,ƴ(x),ƴ’(x)…ƴ^n(x))=0 w którym przynajmniej jedna pochodna występuje istotnie, natomiast x i ƴ(x) mogą występować lecz nie muszą.

W równaniu różniczkowym zwyczajnym niewiadomą jest ƴ(x), która jest oczywiście funkcją zmiennej x. Funkcja ƴ jest funkcją tylko i wyłącznie jednej zmiennej.

Rząd najwyższej pochodnej szukanej funkcji występującej w równaniu nazywamy rzędem równania różniczkowego.

Jeżeli funkcja F występująca w równaniu różniczkowym zwyczajnym jest wielomianem stopnia k zmiennych y,y’,y’’, to liczbę k nazywamy stopniem równania różniczkowego zwyczajnego.

Równanie różniczkowe stopnia pierwszego nazywamy równaniem liniowym.

CAŁKI NIEWŁAŚCIWE

I rodzaju:

Całkę Riemanna zdefiniowaną w klasie funkcji, która spełnia dwa założenia

- f są ograniczone

- g są określone w przedziale ograniczonym

Są to całki, które albo funkcja podcałkowa jest nieograniczona w otoczeniu, albo przedział całkowania jest niewłaściwy.

Np. całka funkcji całkowalnej w przedziale [a,b), (a,b].

II rodzaju:

-całka funkcji całkowalnej dla x>a

-całka funkcji całkowalnej dla x<b

WYZNACZNIK

Wyznacznik macierzy A definiujemy w zależności od jej stopnia n

n=1 Ia11I=a11

n=2 Ia11_a21 a12_a22I=a11a22-a21a12

n>=3

Ia11_a21_..._a1n a12_a22_..._a2n … a1n_a2n_..._annI =ai1AiJ^D+ai2Ai2^D+…+ainAin^D =a1JA1J^D+a2JA2J^D +…+anJAnJ^D

Własności:

1.Jeżeli wiersz(kolumna) macierzy składa się z samych zer, to jej wyznacznik jest równy 0

2.Jeżeli w macierzy dwa wiersze(kolumny) są proporcjonalne, to wyznacznik jest równy 0.

3.Zmiana kolejności sąsiednich wierszy(kolumn) macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika tej macierzy.

4. det A^T= det A

5.Wspólny czynnik w wierszu(kolumnie) wyznacznika można wyłączyć przed wyznacznik.