CZĘŚĆ TEORETYCZNA

Ciąg poligonowy – w geodezji, zbiór punktów osnowy geodezyjnej połączonych odcinkami, w którym pomierzone zostały wszystkie długości boków oraz kąty wierzchołkowe i który stanowi szczególny rodzaj sieci kątowo-liniowej. Inaczej – wielobok otwarty lub zamknięty, w którym zostały pomierzone kąty wierzchołkowe i długości boków. Mogą one występować pojedynczo lub tworzyć sieci poligonowe. Pomiar kątów oraz długości pozwala na obliczenie współrzędnych prostokątnych punktów załamania ciągu. Długość ciągu poligonowego osnowy pomiarowej nie powinna przekraczać 3000 metrów

Ciągi poligonowe ze względu na sposób nawiązania dzieli się na:

• dwustronnie nawiązany

• jednostronnie nawiązany

Ciągi poligonowe ze względu na kształt wieloboku dzieli się na:

• zamknięte

• otwarte

Ciąg poligonowy zamknięty – rodzaj ciągu poligonowego. Konstrukcja geometryczna, wykorzystywana do określania współrzędnych geodezyjnych punktów ciągu, w której pomierzono wszystkie boki oraz wszystkie kąty. Dwa wierzchołki ciągu są punktami osnowy geodezyjnej wyższego rzędu (posiada wyznaczone wcześniej współrzędne). W ciągu zamkniętym pierwszy i ostatni punkt pokrywa się, co sprawia, że ciąg ten ma kształt wielokąta.

Ciąg poligonowy zamknięty spełnia dwa następujące warunki geometryczne:

• suma kątów wierzchołkowych (wewnętrznych) wynosi (n-2)x180 stopni, gdzie n oznacza liczbę wierzchołków ciągu

• suma przyrostów współrzędnych równa się zeru, ponieważ pierwszy i ostatni punkt ciągu pokrywają się, czyli po pełnym obiegu ciągu znajdujemy się w punkcie wyjściowym.

Ciągów poligonowych zamkniętych należy unikać i zawsze starać się nawiązywać ciąg dwustronnie. Ciąg zamknięty ma tę przewagę nad ciągiem jednostronnie nawiązanym, że zapewnia, podobnie jak ciąg dwustronnie nawiązany, sprawdzian wewnętrznej zgodności (zerowanie się sumy przyrostów współrzędnych, suma kątów równa wartości teoretycznej, zależnej od ich ilości), i tym samym umożliwia wyrównanie błędów pomiaru oraz wykrycie błędów grubych (pomyłek) w pomiarze. Konstrukcja ta często używana jest w celach dydaktycznych. Długość ciągu poligonowego osnowy pomiarowej nie powinna przekraczać 3000 metrów

Ciąg poligonowy zamknięty dwustronnie nawiązany
1. Punkt znany
2. Punkt wyznaczany
3. Mierzony kąt lewy
4. Mierzona długość

Ciąg poligonowy otwarty – rodzaj ciągu poligonowego. Konstrukcja geometryczna, wykorzystywana do określania współrzędnych geodezyjnych punktów ciągu, w którym wyznaczane punkty poligonowe są jednostronnie lub obustronnie połączone z punktami nawiązania za pośrednictwem elementów nawiązujących: boków i kątów nawiązania.

Bok nawiązania jest odcinkiem zawartym pomiędzy punktem nawiązania danego ciągu a najbliższym punktem poligonowym, zaś kąt nawiązania jest kątem mierzonym na najbliższym punkcie nawiązania. Jego jedno ramię stanowi bok nawiązania, a drugie ramię to bok kierunkowy (orientacyjny) utworzony przez punkt nawiązania (wierzchołek tego kąta) i sąsiedni punkt osnowy wyższej klasy lub rzędu w stosunku do danego ciągu poligonowego.

Nawiązanie ciągu poligonowego zawierające obydwa elementy nawiązujące nosi nazwę nawiązania pełnego. Jako obowiązującą regułę dla ciągów otwartych należy przyjąć pełne nawiązanie obustronne. Przy ciągach otwartych osnowy pomiarowej długość ciągu poligonowego nie powinna przekraczać 3000 metrów.

W trudnych warunkach terenowych dopuszcza się, jednak tylko w ramach osnowy pomiarowej, zakładanie ciągów otwartych nawiązanych jednostronnie, zwanych ciągami wiszącymi. W takim wypadku pomiar ciągu podlega weryfikacji poprzez wykonanie z ostatniego punktu tego ciągu pomiaru kontrolnego na co najmniej jeden szczegół terenowy I grupy dokładnościowej o znanych współrzędnych

Ciąg poligonowy otwarty dwustronnie nawiązany
1 Punkt znany
2 Punkt wyznaczany
3 Mierzony kąt
4 Mierzona długość

Azymut jest to kąt mierzony od kierunku północy (osi X) zgodnie z ruchem wskazówek zegara do kierunku linii. Zawsze ma dodatni znak oraz przyjmuje wartości z przedziału 0^g – 400^g.

Rysunek 1 Azymuty i czwartaki w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych

Do obliczenia azymutu posługujemy się kierunkowym kątem pomocniczym zwanym czwartakiem, który może być zarówno dodatni, jak i ujemny (od -100^g do 100^g). Mierzymy go na prawo lub lewo od osi X, w zależności od ćwiartki układu współrzędnych.

CZĘŚĆ PRAKTYCZNA

Obliczanie ciągu poligonowego zamkniętego

1. Wpisanie danych do formularza obliczeń .

Należy wpisać pomierzone kąty wierzchołkowe , pomierzone długości boków oraz współrzędne punktu dowiązania B i azymut początkowy A_1 − 2, który wynosi odpowiednio :

A₁₋₂=20 +n*1

gdzie n- numer na liście obecności .

1. Obliczenie teoretycznej sumy kątów .

Dla wieloboku zamkniętego o n kątach teoretyczna suma kątów wewnętrznych wynosi :

∑_w=( n−2 )* 200^g

a teoretyczna suma kątów zewnętrznych :

∑_z=( n+2 )* 200^g

Obliczenia do projektu :

∑_αt=( n−2 )* 180=540 

1. Obliczanie praktycznej sumy kątów

Praktyczną sumę kątów ∑_αp uzyskuje się sumując pomierzone kąty .

∑_αp=540°00´10´´

1. Obliczanie odchyłki kątowej ciągu

Odchyłka kątowa ciągu f_α w ciągach poligonowych jest różnica między sumą pomierzonych kątów ∑_αp  a sumą teoretyczną kątów ∑_αt  , zatem :

f_α= ∑_αp - ∑_αt

Wartość odchyłki kątowej f_α  ciągu poligonowego nie powinna przekraczać odchyłki maksymalnej f_αmax , która wynosi :

f_αmax=30″ 

1. Obliczanie poprawek do pomierzonych kątów

Obliczona odchyłka kątowa f_α powinna być podzielona na zmierzone kąty. Każdy pomierzony kąt otrzyma poprawkę V_α:

$$\mathbf{V}_{\mathbf{\alpha}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{f}_{\mathbf{\alpha}}}{\mathbf{n}_{\mathbf{k}}}$$

Obliczone dla omawianego przykładu poprawki V_α do pomierzonych kątów wynoszą :

$$\mathbf{V}_{\mathbf{\alpha}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{10}^{\mathbf{''}}}{\mathbf{5}}\mathbf{= \ }\mathbf{-}\mathbf{2\ }\mathbf{''}$$

1. Obliczanie azymutów boków ciągu poligonowego

Obliczanie azymutów boku ciągu poligonowego rozpoczyna się od obliczenia ze współrzędnych azymutu boku łączącego punkty o znanych współrzędnych . Oznaczając obliczony azymut boku opartego na punktach nawiązania przez A_AB azymuty kolejnych boków oblicza się w oparciu o wyrównane kąty wierzchołkowe . W zależności od przyjętego kierunku obliczeń przyjmuje się określenie „ kąty lewe” lub „ kąty prawe” . Jako kąty lewe przyjmuje się kąty położone po lewej stronie ciągu, idąc w przyjętym kierunku obliczeń . Dla kątów prawych azymut kolejnego boku wynosi :

A_i=A_i−1+200^g−α_i

a dla kątów lewych :

A_i=A_i−1−200^g+α_i

Obliczone azymuty :

A1= 40
A2 =  97°32´58´´
A3=174°47´25´´
A4=269°26´09´´
A5=333°01´55´´

1. Obliczanie przyrostów współrzędnych boków ciągu .

Przyrosty ∆X i ∆Y współrzędnych boku l₁ oblicza się z zależności :

X_i=l_icosA_i

Y_l=l_isinA_i

1. Obliczanie praktycznej sumy przyrostów $\sum_{}^{}p$

Praktyczną sumę przyrostów otrzymuje się sumując obliczone przyrosty .

$$\sum_{}^{}{\mathbf{}\mathbf{Y}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{7}\mathbf{\ }$$

$$\sum_{}^{}{\mathbf{}\mathbf{X}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{3}$$

1. Obliczanie teoretycznej sumy przyrostów $\sum_{}^{}t$

Obliczanie teoretycznej sumy przyrostów w ciągu zamkniętym wynosi :

$$\sum_{}^{}{\mathbf{}\mathbf{Y}}\mathbf{=}\mathbf{0}$$

$$\sum_{}^{}{\mathbf{}\mathbf{X}}\mathbf{=}\mathbf{0}$$

1. Obliczanie odchyłek sum przyrostów :

Różnice pomiędzy obliczonymi a teoretycznymi sumami przyrostów noszą nazwy odchyłek przyrostów . Oznacza się je przez f_x i f_y:

$$\mathbf{f}_{\mathbf{X}}\mathbf{=}\sum_{}^{}{\mathbf{p}\mathbf{}\mathbf{X}}\mathbf{-}\mathbf{\ }\sum_{}^{}{\mathbf{t}\mathbf{}\mathbf{X}}$$

$$\mathbf{f}_{\mathbf{Y}}\mathbf{=}\sum_{}^{}{\mathbf{p}\mathbf{}\mathbf{Y}}\mathbf{-}\mathbf{\ }\sum_{}^{}{\mathbf{t}\mathbf{}\mathbf{Y}}$$

Obliczone odchyłki wynoszą odpowiednio :

f_X=0,03[m]

f_Y=0,07[m]

1. Obliczanie odchyłki liniowej

Odchyłkę liniową ciągu f_l  oblicza się ze wzoru :

$$\mathbf{f}_{\mathbf{l}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{f}_{\mathbf{X}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{F}_{\mathbf{Y}}^{\mathbf{2}}}$$

Obliczona odchyłka liniowa ciągu poligonowego wynosi :

$$\mathbf{f}_{\mathbf{l}}\mathbf{=}\sqrt{{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{7}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{3}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{07}\mathbf{6}\mathbf{\lbrack}\mathbf{m}\mathbf{\rbrack}$$

Maksymalna odchyłka liniową tego ciągu wynosi f_l max=0, 20 [m] , zatem f_l<f_l max.

1. Obliczenia poprawek i wyrównanie przyrostów do sumy teoretycznej

W obliczeniach ciągów poligonowych odchyłki przyrostów rozdziela się proporcjonalnie do długości boków , stosując zależność :

$\mathbf{V}_{{\mathbf{}\mathbf{X}}_{\mathbf{i}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{f}_{\mathbf{X}}\mathbf{l}_{\mathbf{i}}}{\sum_{}^{}\mathbf{l}}$ $\mathbf{V}_{{\mathbf{}\mathbf{Y}}_{\mathbf{i}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{f}_{\mathbf{Y}}\mathbf{l}_{\mathbf{i}}}{\sum_{}^{}\mathbf{l}}$

gdzie : V_Xi, V_Yi- poprawki do obliczonych przyrostów współrzędnych,

l_i - długość i-tego boku ciągu

$\sum_{}^{}l$ - suma długości boków w ciągu

Poprawione obliczone przyrosty współrzędnych :

Przyrosty
∆Y
-0,01
80,96
-0,01
236,84
-0,02
21,97
-0,02
-249,01
-0,01
-90,69

1. Obliczanie współrzędnych ciągu

Współrzędne punktów ciągu poligonowego oblicza się w ten sposób , że do znanych współrzędnych punktu poprzedniego w ciągu dodaje się przyrosty ∆X i ∆Y , otrzymując współrzędne kolejnych punktów :

X_i=X_i−1+X_i

Y_i=Y_i−1+Y_i

Obliczenia współrzędnych ciągu :

X₂ = X₁ + X₂ = 2020, 00 − 31, 38=1988,61 [m]

Resztę współrzędnych zarówno ∆X i ∆Y obliczamy analogicznie jak przykład przedstawiony powyżej .