Numer ćw.:	Nazwa wydziału:	Ocena:
Ćw. 3	Wydział Inżynierii Elektrycznej i Komputerowej
Grupa stud. / grupa lab.
11M	Nazwa przedmiotu:
Data wykonania ćw.:	Polowe modelowanie układów elektromagnetycznych
23.05.2011	Temat ćw:	Podpis:
Data oddania sprawozdania:	Wyznaczanie indukcyjności własnych i wzajemnych uzwojeń w przetworniku elektromechanicznym
Skład zespołu:
Krzysztof Dziurda

1. Cele ćwiczenia:

• Sporządzenie modelu przetwornika cylindrycznego cztero-uzwojeniowego o liniowym obwodzie magnetycznym

• Wykonanie obliczeń polowych

• Wykreślenie linii pola magnetycznego

Rys.1 Model przetwornika cylindrycznego cztero-uzwojeniowego o liniowym obwodzie magnetycznym

Rys.2 Schemat indukcyjności uzwojeń Rys.3 Schemat zastępczy indukcyjności stojana i wirnika typu T

Macierz indukcyjności własnych i wzajemnych

$$\begin{bmatrix} \begin{matrix} L_{s1} & L_{s1s2} \\ L_{s2s1} & L_{s2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} L_{s1r1} & L_{s1r2} \\ L_{s2r1} & L_{s2r2} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} L_{r1s1} & L_{r1s2} \\ L_{r2s1} & L_{r2s2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} L_{r1} & L_{r1r2} \\ L_{r2r1} & L_{r2} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$$

L_s1s2 = L_s2s1;    L_s1r1 = L_r1s1;    L_s1r2 = L_r2s1;    L_s2r1 = L_r1s2;    L_s2r2 = L_r2s2;    L_r1r2 = L_r2r1;

L_s = L_s1 = L_s2;    L_r = L_r1 = L_r2;    L_sr = L_s1r1 = L_s2r2;

L_s1s2 = L_r1r2 = 0;    L_s2r1 = L_s1r2 = 0;

Macierz indukcyjności upraszcza się do postaci: Wektor strumieni:

$\begin{bmatrix} \begin{matrix} L_{s} & 0 \\ 0 & L_{s} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} L_{\text{sr}} & 0 \\ 0 & L_{\text{sr}} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} L_{\text{sr}} & 0 \\ 0 & L_{\text{sr}} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} L_{r} & 0 \\ 0 & L_{r} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} \Psi_{1} \\ \Psi_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_{11} & L_{12} \\ L_{21} & L_{22} \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} i_{1} \\ i_{2} \\ \end{bmatrix}$

gdzie mamy 3 niewiadome:

L_s - indukcyjność stojana

L_r - indukcyjność wirnika

L_sr - indukcyjność wzajemna między stojanem, a wirnikiem

Prąd stojana na cewce 2-4:

i_s1 = 2 A

Strumień stojana na cewce 2-4:

Ψ_s1 = 0.1230931076116 Wb

Indukcyjność stojana na cewce 2-4:

$$L_{s} = L_{s1} = \frac{\Psi_{s1}}{i_{s1}} = \frac{0.1230931076116\ \text{Wb}}{2\ A} = 61,54655\ mH \approx 61,5\ mH$$

Prąd wirnika na cewce 2-4:

i_r1 = 2 A

Strumień wirnika na cewce 2-4:

Ψ_s1r1 = 0.01208068432805 Wb

Strumień wirnika na cewce 2-4:

Ψ_r1 = 0.001235737256668 Wb

Indukcyjność wirnika:

$$L_{r} = L_{r1} = \frac{\Psi_{r1}}{i_{r1}} = \frac{0.001235737256668\text{\ Wb}}{2\ A} = 0,61787\ mH \approx 0,62\ mH$$

Indukcyjność wzajemna cewki 2-4:

$$L_{\text{sr}} = L_{s1r1} = \frac{\Psi_{s1r1}}{i_{r1}} = \frac{0.01208068432805\text{\ Wb}}{2\ A} = 6,04\text{\ mH}$$

Indukcyjność wzajemna cewki 2-4:

L_sr^′ = n • L_sr = 60, 4 mH

Indukcyjność wirnika po sprowadzeniu na stronę stojana:

L_r^′ = L_r • n² = L_r1 • n² = 0, 61787 mH • 100 ≈ 61, 8 mH

Przekładnia zwojowa cewek:

$$n = \frac{N_{1}}{N_{2}} = \frac{100}{10} = 10$$

gdzie:

N₁ – liczba zwojów stojana

N₂ – liczba zwojów wirnika

Rys.2 Natężenie pola indukcji Rys. 3 Rozkład strumienia pola

magnetycznej B magnetycznego przy i_s1 = 2A;     i_r1 = −20A

Prądy stojana i wirnika na cewce 2-4:

i_s1 = 2A;     i_r1 = −20A

Strumień stojana na cewce 2-4

Ψ_s1 = 0.002295171179649 Wb

Strumień wirnika na cewce 2-4

Ψ_r1 = −0.0002792016276969 Wb

Obliczenie indukcyjności rozproszeń stojana i wirnika:

$$L_{\text{σs}} = \frac{\Psi_{s1}}{i_{s1}} = \frac{0.002295171179649\ \text{Wb}}{2\ A} = 1,14759\ mH \approx 1,1\ mH$$

$$L_{\text{σr}} = \frac{\Psi_{r1}}{i_{r1}} = \frac{- 0.0002792016276969\ \text{Wb}}{- 20\ A} = 0,01396\ mH \approx 0,014\ mH$$

Sprowadzenie indukcyjności rozproszenia wirnika na stronę stojana:

L_σr^′ = L_σr • n² = 0, 014mH • 100 = 1, 4 mH

Energia pola dla i_r = i_s • n

E(i_s, i_r=i_sn) = 0.4883162783422 J

Energia pola dla i_r = −i_s • n

E(i_s, i_r=−i_sn) = 0.005087187492938 J

Indukcyjność wzajemna wg wzoru:

$$L_{\text{sr}} = \frac{E\left( i_{s},{\text{\ \ }i}_{r} = i_{s}n \right) - E\left( i_{s},{\text{\ \ }i}_{r} = - i_{s}n \right)\ }{2i_{s}i_{r}} = \frac{0.4883162783422\ J - 0.005087187492938\ J}{2 \bullet 2A \bullet 20A}$$

L_sr = 6, 04mH

Macierz indukcyjności własnych i wzajemnych:

$$\begin{bmatrix} \begin{matrix} L_{s} & 0 \\ 0 & L_{s} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} L_{\text{sr}} & 0 \\ 0 & L_{\text{sr}} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} L_{\text{sr}} & 0 \\ 0 & L_{\text{sr}} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} L_{r} & 0 \\ 0 & L_{r} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 61,5 & 0 \\ 0 & 61,5 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 6,04 & 0 \\ 0 & 6,04 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 6,04 & 0 \\ 0 & 6,04 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0,62 & 0 \\ 0 & 0,62 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}\text{mH}$$

Macierz indukcyjności własnych i wzajemnych po sprowadzeniu na stronę stojana:

$$\begin{bmatrix} \begin{matrix} L_{s} & 0 \\ 0 & L_{s} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} {L_{\text{sr}}}^{'} & 0 \\ 0 & {L_{\text{sr}}}^{'} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} {L_{\text{sr}}}^{'} & 0 \\ 0 & {L_{\text{sr}}}^{'} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} {L_{r}}^{'} & 0 \\ 0 & {L_{r}}^{'} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 61,5 & 0 \\ 0 & 61,5 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 60,4 & 0 \\ 0 & 60,4 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 60,4 & 0 \\ 0 & 60,4 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 62 & 0 \\ 0 & 62 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}\text{mH}$$

Indukcyjność główna obliczona z 3 wzorów:

L_s = L_σs + L_μ ⇒ L_μ = L_s − L_σs

L_r^′ = L_σr^′ + L_μ ⇒ L_μ = L_r^′ − L_σr^′

L_μ = L_sr • n

L_μ = L_s − L_σs = 61, 54655 mH − 1, 14759 mH = 60, 39896 mH ≈ 60, 4 mH

L_μ = L_r^′ − L_σr^′ = 61, 8mH − 1, 4 mH = 60, 4 mH

L_μ = L_sr • n = 6, 04mH • 10 = 60, 4 mH

Z powyższych 3 wzorów obliczamy L_μ i uśredniamy wyniki :

$$L_{\mu sr} = \frac{60,4\ mH + 60,4\ mH + 60,4\ mH}{3} = 60,4\ mH$$

Macierz indukcyjności sprowadzonych na stronę stojana z podziałem na indukcyjność główną i indukcyjności rozproszeń:

$$\begin{bmatrix} \Psi_{1} \\ \Psi_{2} \bullet n \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_{\delta 1} + L_{\mu} & L_{\mu} \\ L_{\mu} & L_{\delta 2} + L_{\mu} \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} i_{1} \\ i_{2} \\ \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix} \begin{matrix} L_{\mu} + L_{\text{σs}} & \ 0\ \ \\ 0\ \ & L_{\mu} + L_{\text{σs}} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} L_{\mu}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } & \ \ \ 0 \\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & \text{\ \ \ \ }L_{\mu} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} L_{\mu}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ } & \ \ \ 0 \\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ & \text{\ \ \ \ }L_{\mu} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} L_{\mu} + {L_{\text{σr}}}^{'} & 0 \\ 0 & L_{\mu} + {L_{\text{σr}}}^{'} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 61,5 & 0 \\ 0 & 61,5 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 60,4 & 0 \\ 0 & 60,4 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 60,4 & 0 \\ 0 & 60,4 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 62 & 0 \\ 0 & 62 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}\text{mH}$$