1. Cel projektu.

Celem projektu jest stworzenie w programie Micro-Cap sieci elektroenergetycznej składającej się z linii napowietrznej, dwóch linii kablowych, dwóch transformatorów, obciążenia oraz doprowadzonego napięcia celem sprawdzenia działania tej sieci oraz symulowanie zjawisk dodatkowych na które należy zwracać uwagę podczas budowy takiej sieci (np. skok napięcia spowodowany uderzeniem pioruna).

1. Zakres projektu

W projekcie zostaną wykonane następujące części:

• utworzenie struktury sieci elektroenergetycznej składającej się z:

  • linii napowietrznej,

  • dwóch transformatorów,

  • dwóch linii kablowych,

  • obciążenia,

• dokonanie pomiarów parametrów utworzonej sieci,

• utworzenie modelu obwodowego Głównego Punktu Zasilającego wykonanego w programie Micro-Cap,

• zasymulowanie działania połączonego obwodu (wykonanie wykresów, pomiar napięć i prądów płynących itp.),

1. Parametry sieci

GPZ U_n = 110 kV S_zw = 2500 MVA

Linia napowietrzna 110 kV l = 35 + 35 km

R₀ = 0,06 Ω / km

L₀ = 1,3 mH / km

C₀ = 8,69 µF / km

Transformator 110 / 15 kV

S_T = 20 MVA i_% = 0,8 %

Linia kablowa 15 kV l = 50 km

R₀ = 0,24 Ω / km

L₀ = 1,2 mH / km

C₀ = 9,7 µF / km

Transformator 15 / 0,4 kV

S_T = 800 kVA i_% = 1.6 %

Linia kablowa 0.4 kV l = 100 km

R₀ = 0,64 Ω / km

L₀ = 0.46 mH / km

C₀ = 0.16 µF / km

Obciążenie

P = 70 kW cosφ_ind = 0.6 cosφ = 0.8

1. Struktura sieci

Rys. 1. Struktura sieci - schemat

1. Model obwodowy GPZ

   Model obwodowy układu składa się z linii transmisyjnych (T1, T2, T3 oraz linii zrealizowanej za pomocą schematu zastępczego), źródła zasilającego (V1), transformatorów (K1, K2), cewki (L1) oraz obciążenia.

   

   Rys. 2. Model obwodowy GPZ

2. Optymalne obliczenia wybranych parametrów

1. Główny punkt zasilający

Posiadając dane napięcie nominalne które wynosi U_n = 110 kV obliczamy jakie występuje napięcie fazowe dla przedstawionego schematu (rys. 2) korzystając ze wzoru:

$$U_{f} = \ \frac{U_{n}}{\sqrt{3}}$$

wynika stąd że:

$$U_{f} = \ \frac{110\ \times 10^{3}}{\sqrt{3}}\ \approx 63.5\ \times 10^{3} = 63.5\ kV$$

napięcie fazowe wynosi 63.5 kV.

Model idealnego źródła napięcia wymaga podania wartości napięcia maksymalnego U_max, które możemy obliczyć korzystając ze wzoru:

$$U_{\max} = \ U_{f}\ \times \ \sqrt{2}$$

$$U_{\max} = \ 63.5\ \times 10^{3}\ \times \ \sqrt{2}\ \approx 90\ \times 10^{3} = 90\ kV$$

Napięcie maksymalne wynosi zatem 90 kV

Dzięki powyższym parametrom możemy zaprojektować obwód wejściowy składający się ze źródła zasilania, rezystora i cewki (rys. 3).

Rys. 3. Obwód wejściowy składający się ze źródła napięcia

sinusoidalnego, rezystora oraz cewki

Ustalamy w nim następujące parametry:

Częstotliwość F = 50 Hz

Amplituda A = 90k

Pozostałe parametry przyjmą wartość 0 (zero)

Zakładamy że jest to idealne źródło napięcia sinusoidalnego, w którym rezystancja wewnętrzna wynosi zero.

Na tej podstawie dokonamy pomiaru rezystancji oraz indukcyjności. Skorzystamy w tym celu ze wzorów na reaktancję indukcyjną X_L cewki wynikającą ze wzoru na moc w układzie trójfazowym:

S = 3 * U_f * I_f

uwzględniając wzór na prąd fazowy:

$$I_{f} = \ \frac{U_{f}}{X_{s}}$$

otrzymujemy wzór na moc:

$$S = \ \frac{3\ \bullet \ U_{f}^{2}}{X_{L}}$$

Dokonujemy przekształceń i otrzymujemy wzór na reaktancję indukcyjną:

$$X_{L} = \ \frac{3\ \bullet \ U_{f}^{2}}{S}$$

Po podstawieniu do wzoru:

$$X_{L} = \ \frac{3\ \bullet \ \left( 63.5\ \bullet 10^{3} \right)^{2}}{2500\ \bullet \ 10^{6}} = \ \frac{3\ \bullet 4032,25\ \bullet \ 10^{6}}{2500\ \bullet \ 10^{6}} = 4,84\ \Omega$$

Wartość reaktancji indukcyjnej cewki wynosi 4.84 Ω.

Znając wartość reaktancji indukcyjnej cewki możemy obliczyć wartość rezystancji oraz indukcyjność cewki:

R = 0.1 * 4.84 = 0.484Ω

Wartość rezystancji wynosi 0.48 Ω

Aby obliczyć indukcyjność korzystamy ze wzoru:

$$L = \ \frac{X_{L}}{\omega}\ = \ \frac{X_{L}}{2\pi f}$$

$$L = \ \frac{4,84}{2 \bullet \ \pi\ \bullet 50}\ = \ \frac{4,84}{314}\ = \ 0,015\ H$$

Wartość indukcyjności wynosi 0,015 H

Rys. 4. Przebiegi napięć oraz płynącego prądu dla obwodu wejściowego

Podczas symulacji działania powyższego obwodu możemy zobaczyć w jaki sposób zmienia się napięcie na jego poszczególnych elementach oraz prąd prąd w nim płynący.

Doprowadzając do układu napięcie sinusoidalne v(1) sprawdzamy jakie charakterystyki prądowo-czasowe, napięciowo-czasowe występują. Możemy stwierdzić, że w obwodzie z cewką idealną napięcie V(L1) wyprzedza prąd I(V1) o kąt fazowy φ = π / 2, czyli o kąt 90 stopni.

Wykresy wskazują ponadto że, amplituda sygnału wejściowego wynosi
ok. 90 kV zatem nasze obliczenia zostały wykonane prawidłowo.

2. Transformator 110/15 kV - (K1)

Do układu musimy dołączyć po linii napowietrznej transformator.

Rys. 5. Symbol graficzny transformatora

Podane parametry:

S_T = 20 MVA i_% = 0,8 %

Jest to transformator przeznaczony dla lini 110/15kV, zatem na wejściu występuje napięcie międzyfazowe U_pwe = 110kV, a na wyjściu chcemy uzyskać napięcie międzyfazowe U_pwy = 15kV.

Wykonujemy stosowne obliczenia:

$$U_{f10} = \ \frac{110\ kV}{\sqrt{3}} = \ 63.5\ kV$$

$$U_{f20} = \ \frac{15\ kV}{\sqrt{3}} = 8.66\ kV$$

$$S = \ \sqrt{3}\ \bullet \ U_{\text{pwe}}\ \bullet \ I_{\text{pwe}}$$

Przekształcamy powyższy wzór i otrzymujemy:

$$I_{\text{pwe}} = \ \frac{S}{\sqrt{3}\ \bullet \ U_{\text{pwe}}} = \ \frac{\sqrt{3}S}{3U_{\text{pwe}}}$$

$$I_{\text{pwe}} = \ \frac{\sqrt{3}\ \bullet \ 20\ \bullet \ 10^{6}}{3\ \bullet \ 110\ \bullet \ 10^{3}} = \ \frac{34.6\ \bullet 10^{3}}{330} = 0.105\ \bullet \ 10^{3} = 105\ A$$

Oblicenie prądu I₁₀ uzwojenia wtórnego transformatora stanowiący 0.8 % prądu wejściowego:

I₁₀ =  I_pwe  •  I_% = 105  •  0.8%=105  • 0.008 = 0.84 A

prąd I₁₀ wynosi 0.84 A.

Aby obliczyć indukcyjność pierwotną przekształcamy podane poniżej wzory na prąd wejściowy I_o oraz reaktancję indukcyjną cewki L1:

$$I_{10} = \ \frac{U_{f10}}{X_{L1}}$$

X_L1 =  ωL₁

ω = 2πf

$$L_{1} = \ \frac{U_{f10}}{2\pi fI_{10}}\ $$

Obliczamy dzięki niemu indukcyjność L₁:

$$L_{1} = \ \frac{63.5\ \bullet \ 10^{3}}{2\ \bullet \ \pi\ \bullet 50\ \bullet 0.84}\ = \ \frac{63.5\ \bullet \ 10^{3}}{263.76}\ = 240,7\ H$$

Ponieważ transformator posiada dwa uzwojenia (dwie cewki) występuje zjawisko sprzężenia magnetycznego cewek. Mamy wówczas do czynienia ze zjawiskiem indukowania się w danym elemencie indukcyjnym napięcia od zmiennego pola magnetycznego wytworzonego w innym elemencie. Należy wtedy uwzględnić indukcyjność wzajemną M cewek definiowaną jako stosunek strumienia magnetycznego wytworzonego w cewce pierwszej i skojarzonego z cewką drugą do prądu płynącego w cewce pierwszej. Wzór na indukcyjność wzajemną M wyraża się wzorem:

$$M = k\sqrt{L_{1}L_{2}}$$

gdzie:

k - wartość współczynnika sprzężenia uzwojeń (cewki pierwszej z cewką drugą)

Współczynnik sprzężenia k może być zawarty w granicach od zera do jedności (0 - 1). Gdy k = 1 mówimy, że sprzężenie cewek jest idealne, a gdy k = 0, brak jest sprzężenia.

W dotychczasowych rozwiązaniach przyjmujemy, że współczynnik sprzężenia jest bliski jedności, czyli zakładamy, że jego wartość wynosi:

k = 0.999

W kolejnym kroku należy obliczyć wartość indukcyjności L₂. W celu policzenia tej wartości przekształcamy wzór na indukcyjność wzajemną i otrzymujemy:

$$L_{2}\ = \ \frac{M^{2}\ \bullet \ k^{2}}{L_{1}}$$

Przy założeniu, że współczynnik k w przybliżeniu wynosi 1 wzór upraszcza się do postaci:

$$L_{2}\ = \ \frac{M^{2}}{L_{1}}$$

W celu obliczenia indukcyjności drugiej cewki potrzebna jest wartość indukcyjności wzajemnej.

$$M = \ \frac{X_{m}}{\omega} = \ \frac{X_{m}}{2\pi f}$$

gdzie:

X_m - reaktancja wzajemna cewek, opisana wzorem:

$$X_{m} = \ \frac{U_{f20}}{I_{10}}$$

$$X_{m} = \ \frac{8.66\ \bullet 10^{3}}{0.84} = 10.3\ \bullet \ 10^{3} = 10.3\ k\Omega$$

$$M = \ \frac{10.3\ \bullet \ 10^{3}}{314} = 32.8\ H$$

powracając do wzoru na indukcyjność cewki L₂ obliczamy jej wartość:

$$L_{2} = \ \frac{\left( 32.8 \right)^{2}}{240.7} = 4.47\ H$$

Obliczyliśmy zatem już wszystkie niezbędne parametry transformatora.

indukcyjność pierwotna: L₁ = 240.7 H

indukcyjność wtórna: L₂ = 4.47 H

współczynnik sprzężenia uzwojeń: k = 0.999

Wyliczone dane należy wprowadzić do programu. Proces wpisywania danych przedstawiony został na rysunku 6.

Rys. 6. Wpisywanie danych dla transformatora (okno programu Micro-Cap 9).

1. Transformator 15 / 0.4kV

Drugi z transformatorów znajduje się w układzie za linią kablową. Zasilany jest napięciem wejściowym międzyfazowym wynoszącym U_pwe = 15 kV. Chcemy uzyskać napięcie wyjściowe międzyfazowe wynoszące U_pwy = 0.4 kV. Podobnie jak w przypadku poprzedniego transformatora wykonujemy stosowne obliczenia: indukcyjności pierwotnej (L₁), indukcyjności wtórnej (L₂), przy wartości współczynnika sprzężenia uzwojeń: k = 0.999

Stosujemy podobne wzory jak przy pierwszym transformatorze:

$$U_{f10} = \ \frac{15\ kV}{\sqrt{3}} = 8.66\ kV$$

$$U_{f20} = \ \frac{0.4\ kV}{\sqrt{3}} = 230\ V$$

Kolejno obliczamy wartość prądu występująca na wyjściu linii kablowej będącego prądem wejściowym transformatora. Wprowadzamy podane parametry transformatora (S_T = 800 kVA, i_% = 1.6 %) i podstawiamy do wzoru

$$I_{\text{pwe}} = \ \frac{\sqrt{3}S}{3U_{\text{pwe}}} = \ \frac{\sqrt{3}\ \bullet \ 800\ \bullet \ 10^{3}}{3\ \bullet \ \ 15\ \bullet 10^{3}} = \ \frac{1385.64}{45} = 31\ A$$

Prąd wejściowy transformatora strony pierwotnej stanowi 1.6% prądu I_pwe. W ten sposób otrzymujemy:

I₁₀ =  I_pwe • 1.6%=31  • 0.016 = 0.496 A

Prąd wejściowy I₁₀ wynosi 0.496A.

$$L_{1} = \ \frac{U_{f10}}{2\pi fI_{10}} = \ \frac{8.66 \bullet 10^{3}}{2 \bullet \pi \bullet 50 \bullet 0.496} = \ \frac{8.66 \bullet 10^{3}}{155.7} = 55.6\ H$$

wartość reaktancji wzajemnej cewek:

$$X_{m} = \ \frac{U_{f20}}{I_{10}} = \ \frac{230}{0.496} = 463.7\ \Omega\ $$

Posługując się poniżej podanym wzorem obliczamy wartość indukcji wzajemnej cewek L₁ i L₂:

$$M = \ \frac{X_{m}}{\omega} = \ \frac{X_{m}}{2\pi f} = \ \frac{463.7}{314} = 1.5\ H$$

$$L_{2}\ = \ \frac{M^{2}}{L_{1}} = \ \frac{\left( 1.5 \right)^{2}}{55.6} = 40\ mH$$

Parametry drugiego transformatora odpowiednio wynoszą:

indukcyjność pierwotna: L₁ = 55.6 H

indukcyjność wtórna: L₂ = 40 mH

współczynnik sprzężenia uzwojeń: k = 0.999

Podobnie jak przy pierwszym transformatorze wprowadzamy dane do programu (Rys.7).

Rys. 7. Wpisywanie danych dladrugiego transformatora (okno programu Micro-Cap 9).

1. Linia napowietrzna 110kV

   Kolejnym omówionym elementem naszej sieci jest linia napowietrzna 110kV.

   

Rys. 7. Symbol graficzny linii – TLine.

Linia ta w naszym modelu znajduje się między GPZ, a pierwszym z transformatorów i ma ona długość l = 35 + 35 km. Tworzymy ja przez umieszczenie dwóch linii napowietrznych (jedna za drugą) o długości 35km każda.

Tworzymy nowy model linii wybierając opcję Lossy (oznacza to że wybrany komponent nie jest idealny, zachowuje się jak rzeczywisty, występują w nim pewne straty). Wpisujemy również wartości podane w naszym modelu (Rys. 8).

Rys. 8. Wprowadzenie wartości dla linii napowietrznej.

1. Linia kablowa 15 kV

Na wyjściu pierwszego transformatora otrzymujemy napięcie międzyfazowe wynoszące 15 kV i jest to zarazem napięcie występujące na kolejnym elemencie dołączonym do sieci, a dokładniej linii kablowej. Linia ta posiada następujące parametry (3):

długość linii: l = 50 km

rezystancja: R₀ = 0.24 Ω / km

indukcyjność: L₀ = 1.2 mH / km

pojemność: C₀ = 9.7 µF / km

Rys. 9. Wprowadzenie wartości dla linii kablowej.

1. Linia kablowa 0.4 kV

   Linia kablowa 0.4 kV to kolejny element układu, znajdujący się tuż za drugim transformatorem(15 / 0.4 kV). Jej parametry to:

długość linii: l = 100 km

rezystancja: R₀ = 0.64 Ω / km

indukcyjność: L₀ = 0.46 mH / km

pojemność: C₀ = 0.16 µF / km

W tym przypadku zamiast użycia elementu TLine linię kablowa została zamodelowana przy użyciu elementów R, L, C. Schemat zastępczy linii kablowej pokazany jest na Rysunku 10.

Rys. 10. Linia kablowa - schemat zastępczy.

1. Obciążenie

Na końcu układu zamieszczamy obciążenie zrealizowane za pomocą szeregowo połączonego rezystora oraz cewki i równolegle połączonego do nich kondensatora (Rys. 11).

Rys. 11. Układ obciążenia

Podanymi parametrami są:

moc czynna P = 70 kW

cosinus mocy biernej cewki cosφ_ind = 0.6

cosinus różnicy mocy biernej cosφ = 0.8

cewki oraz mocy biernej kondensatora

W celu wyznaczenia wszystkich wymaganych parametrów należy posłużyć się trójkątem mocy oraz trójkątem impedancji (Rys. 12).

1. b)

Rys. 12. Trójkąty a) mocy, b) impedancji

Na podstawie trójkątów: mocy oraz impedancji zostaną wyprowadzone odpowiednie wzory. Wynikają z nich również następujące zależności:

$$S = \ \sqrt{P^{2} + \ Q_{L}^{2}}$$

$$Z = \ \sqrt{R^{2} + X_{L}^{2}}$$

$$\text{cosφ}_{\text{ind}} = \frac{P}{S}$$

$$\text{cosφ}_{\text{ind}} = \frac{R}{Z}$$

Po przekształceniu otrzymujemy wzory:

$$Q_{L} = \ \sqrt{S^{2} - \ P^{2}}$$

$$X_{L}\ = \ \sqrt{Z^{2} - \ R^{2}}$$

$$S\ = \ \frac{P}{\text{cosφ}_{\text{ind}}}$$

R =  Z • cosφ_ind

przyjmujemy, że cosφ_ind = 0.6 i w ten sposób obliczamy moc czynną:

$$S = \ \frac{70 \bullet 10^{3}}{0.6} = 116.7\ kVA$$

zatem moc czynna wynosi 116.7 kVA. Przekształcając wzór na moc czynną:

S = UI

otrzymujemy wzór na prąd wejściowy (zakładamy że U = U_f20 = 230V obliczonego dla drugiego transformatora) i obliczamy jego wartość:

$$I = \ \frac{S}{U} = \ \frac{116.7 \bullet 10^{3}}{230} = 507\ A$$

na tej podstawie obliczamy impedancję Z:

$$Z = \ \frac{U}{I} = \ \frac{230}{507} = 0.5\ \Omega$$

R = 0.5 • 0.6 = 0.3 Ω

$$X_{L} = \ \sqrt{\left( 0.5 \right)^{2} - \ \left( 0.3 \right)^{2}} = \ \sqrt{0.25 - 0.09} = \ \sqrt{0.16} = 0.4\ \Omega\ $$

$$Q_{L} = \ \sqrt{\left( 116.7 \bullet 10^{3} \right)^{2} - \ \left( 70 \bullet 10^{3} \right)^{2}} = \ \sqrt{8718 \bullet 10^{6}} = 93\ kvar$$

mając daną reaktancję indukcyjną obliczamy indukcyjność:

$$L = \ \frac{X_{L}}{\omega} = \ \frac{0.4}{314} = 1.3\ mH$$

Kolejnym krokiem jest obliczenie mocy biernej pojemnościowej. Analizujemy kąt cosφ = 0.8 i na podstawie jedynki trygonometrycznej otrzymujemy:

sin²φ +  cos²φ = 1

$$sin\varphi = \ \sqrt{1 - \ \cos^{2}\varphi}$$

po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:

$$sin\varphi = \ \sqrt{1 - \ \left( 0.8 \right)^{2}} = \ \sqrt{0.36} = 0.6$$

korzystamy ze wzoru na tangens kąta:

$$tg\varphi = \ \frac{\text{sinφ}}{\text{cosφ}} = \ \frac{0.6}{0.8} = 0.75$$

ponieważ tangens kąta jest również równy (z trójkąta mocy):

$$tg\varphi = \ \frac{Q_{L} - \ Q_{C}}{P}$$

przekształcając wzór otrzymujemy wzór na moc bierną pojemnościową:

Q_C = Q_L −  P • tgφ

po podstawieniu wartości liczbowych moc bierna pojemnościowa wynosi:

Q_C =  93 • 10³ −  70 • 10³ • 0.6 = 51 kvar