data 29.04.2013

SPRAWOZDANIE Z LABORATORIUM

METOD NUMERYCZNYCH

Ćwiczenie nr 3

Temat: Aproksymacja i Interpolacja

Wydział: EEiA

rok akademicki: 2012/2013 semestr: IV

Grupa: 4C5

Dzień: czwartek godz. 14¹⁵-16⁰⁰

Kubiak Łukasz 171367

Leśnik Przemysław 171374

1. Interpolacja

a)

y(x)=e^-x/2sin(x) xє(-3,5)

function wykresbledu(x0,x1,n)

% x0-poczatek przedzialu

% x1-koniec przedzialu

% n-ilosc wezlów

X=[-3:(5+3)/30:5];

Y=sin(X).*exp(-X/2);

W=polyfit(X,Y,30);

%obliczenie bledu interpolacji

for i=1:1000

X(i)=-3+i*(5+3)/1000;

blad(i)=polyval(W,(X(i)))-sin(X(i))*exp(-(X(i)/2));

end

plot(X,blad,'-');

wykres błędu dla wielomianu stopnia 30

b) $\mathbf{y}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{1 +}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}}$ xє(-4,7)

function wykresbledu2(x0,x1,n)

% x0-pocz?tek przedzia?u

% x1-koniec przedzia?u

% n-ilo?? w?z?ów

X=[-4:(7+4)/25:7];

for i=1:length(X)

Y(i)=((1+X(i)^2)^0.5);

end

W=polyfit(X,Y,25);

%obliczenie b??du interpolacji

for i=1:1000

X(i)=-4+i*(7+4)/1000;

blad(i)=polyval(W,(X(i)))-((1+X(i)^2)^0.5);

end

plot(X,blad,'-');

wykres błędu dla wielomianu stopnia 25

2.Aproksymacja

function aprox

x=[0:0.2:2];

y=0.75*exp(x)+0.7391;

p1=0;

p2=0;

f=0;

for i=1:length(x)

p1(i)=exp(x(i));

p2(i)=1;

end

A=[p1*p1' p1*p2'; p2*p1' p2*p2'];

v=[p1*y'; p2*y'];

Q=inv(A)*v;

a=Q(1)

b=Q(2)

X=[0:0.01:2];

for i=1:length(X)

f(i)=a*exp(X(i))+b;

end

plot(X,f,'-'),xlabel('x'),ylabel('y');

for i=1:length(x)

p1(i)x(i))^2;

p2(i)=x(i);

p3(i)=1;

end

A=[p1*p1' p1*p2' p1*p3'; p2*p1' p2*p2' p2*p3'; p3*p1' p3*p2' p3*p3'];

v=[p1*y'; p2*y'; p3*y']; Q=inv(A)*v; a=Q(1)

b=Q(2)

c=Q(3)

X=[0:0.01:2];

for i=1:length(X)

f(i)=a*(X(i))^2+b*X(i)+c;

end

hold on

plot(X,f,'-r'),xlabel('x'),ylabel('y');

plot(x,y,'*');

hold off

Wykres aproksymacji średniokwadratowej

Wnioski:

1. Z interpolacji wynika że im więcej węzłów tym wyznaczony błąd jest znacznie mniejszy. Z wykresów wynika, że maksymalna norma błędu jest najmniejsza dla interpolacji wielomianami stopnia w okolicy 30.

Z wykresu wynika, że dokładniejsza jest aproksymacja wielomianem stopnia drugiego.