Reguła falsi i metoda siecznych:
Reguła falsi
jest to metoda fałszywego założenia liniowości funkcji. Przyjmujemy założenia:
-w przedziale <a;b> równanie ma jeden pierwiastek
-f jest klasy C^2 i 1 oraz 2 pochodna maja staly znak na przedziale. Zalozenia te SA potrzebne do oszacowania bledu i umożliwiają ustalenie stalego punktu iteracji.
Jeżeli druga pochodna nie zmienia znaku w rozpatrywanym przedziale to to ten koniec przedziali w którym f”f>0 nazywamy stałym pkt. Iteracji-wszytkie cięciwy przechodzą przez ten pkt. Proces iteracyjny kończymy gdy dwa kolejne przybliżenia roznia się o mniej niż zadane ε
Na funkcję y = f(x) nakładane są następujące ograniczenia:
W przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek.
Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: f(a)f(b) < 0.
Pierwsza i druga pochodna istnieją i mają na tym przedziale stałe znaki.
Nazwa metody pochodzi od łacińskich słów: regula1 znaczące zarówno linię prostą, jak i regułę i falsus, fałszywy — metoda bazuje na fałszywym twierdzeniu (regule), że na pewnym przedziale funkcja jest liniowa. Można więc tę nazwę przetłumaczyć zarówno jako "fałszywa linia prosta" jak i "fałszywa reguła" i obydwa te tłumaczenia mają w tym kontekście sens.
metoda siecznych
jest ulepszoną wersja reguły falsi. Ulepszenie polega na zrezygnowania z żadania aby funkcja f(x) miała w punktach wytyczających następną cięciwie rózne znaki, natomiast do wyznaczenia (n+1) będziemy korzystali zawsze z pinktow xn i xn-1 mamy wówczas
Zaleta tej metody jest jej szybka zbieżność, niestety nie możemy jej stosować gdy początkowe przybliżenia nie leżą dostatecznie blisko pierwiastka. W metodzie tej znaczenie ma maksymalna graniczna dokładność, gdy roznica xn+1 - xn jest tego samego rzędu co oszacowanie błędu jakim jest obarczona to następne przybliżenie może być już całkowicie błedne
Metoda siecznych (interpolacji liniowej, Eulera) polega na przyjęciu, że funkcja na dostatecznie małym odcinku <a,b> w przybliżeniu zmienia się w sposób liniowy. Możemy wtedy na odcinku <a,b> krzywą y=f(x) zastąpić sieczną. Za przybliżoną wartość pierwiastka przyjmujemy punkt przecięcia siecznej z osią OX.
Metoda siecznych ma tę zaletę, że do wykonania interpolacji za jej pomocą nie potrzebna jest znajomość pochodnych funkcji. Z drugiej strony, gdy wybierzemy zbyt mały przedział [a,b] metoda ta może nie być zbieżna W powyższym przypadku na zmianę będziemy otrzymywali pierwiastki równe 0,5 lub 1. można ją otrzymać z metody Newtona, aproksymując pochodną f'(xn) za pomocą ilorazu (fn-fn-1)/(xn-xn-1), gdzie fn oznacza f(xn). Geometrycznie rzecz biorąc, w tej metodzie xn+1 wyznacza się jao odciątą punktu przecięcia siecznej przechodzącej przez punkty (xn-1, fn-1) i (xn , fn) z osią x-ów. Metoda siecznych wymaga dwóch przybliżeń początkowych.Regula falsi: jest wariantem metody siecznych, w którym prowadzi się sieczną przez punkty (xn , fn) i (xn' , fn'), gdzie n' jest największym wskaźnikiem mniejszym od n i takim, że fnfn'<0. Początkowe przybliżenie x0,x1 trzeba wybrać tak aby spełniać warunek f0f1<0. Metoda jest zawsze zbieżna do funkcji ciągłych f(x)
Na czym polega metoda Regula Falsi i metoda siecznych?
Polega na budowaniu siecznych.
Różnice między tymi metodami.
-W metodzie siecznej jest wszystko jedno gdzie są te funkcje w których te
sieczne chcemy prowadzić.
-W metodzie Regula Falsi dbamy o duzy mianownik, punkty między którymi
budujemy sieczną zmieniającego znaku.
Obie te metody są wolniej zbierzne od metody reguły Newtona.
Twierdzenie o pierwiastkach:jeżeli mamy przedział <a;b> taki, że:f(a) i f(b) mają przeciwne znakif”(x) jest ciągła i nie zmienia znaku na przedziale
styczne do krzywej y=f(x) poprowadzone w pkt o odciętych a i b przecinają oś OX wewnątrz przedziału <a;b> , wówczas równanie f(x)=0 ma dokładnie jeden pierwiastek na przedziale <a;b>Liczba k jest r-krotnym (r≥2) pierwiastkiem równania f(x)=0 wtedy i tylko wtedy gdy jest (r-1) krotnym pierwiastkiem równania f'(x)=0 daflacja jest to usuniecie już znalezionych pierwiastkow
deflacja- usunięcie już znalezionych pierwiastków. (przez podzielenie go przez (x-a) a -ten pierwiastek) - następne pierwiastki
znajdziemy z coraz większym błędem, ponieważ znaleziony pierwiastek nie był wyznaczony dokładnie(ale przynajmniej na pewno nie trafimy w ten sam). Dlatego jeśli zależy nam na dokładności konkretnych pierwiastków a stosujemy deflacje, to te ważniejsze staramy sie znalezc najpierw. Przy 1 krotnym pierwiastku pochodna różna od 0 , przy wielokrotnych = 0.
Metody uniknięcia deflacji.
a) metoda Maehly'ego - nie zapisałem i nie wiem czy to nazwisko jest poprawnie napisane
b) metoda Lehmera-Shura - pokrywanie powierzchni płaszczyzny okręgami- metoda wolna
c)metoda Bairstowa - znajdzie współczynnik trójmianu kwadratowego którego dzieli bez reszty
METODA BAIRSTOWA
wykorzystywana jest do znalezienia przybliżonych wartości pierwiastków zespolonych wielomianu f(x)=anxn+...+a0 o współczynnikach rzeczywistch. Metoda ta unika arytmetyki zespolonej. Opiera się na twierdzeniu:
* TW.
Zera rzeczywistego wielomianu kwadratowego x2-px-r są zerami danego wielomianu rzezywistego f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian f(x) można podzielić bez reszty przez x2-px-r.
METOA LEHMERA_SCHURA
Metoda Lehmera-Schura umożliwia obliczenie zer wielomianu o współczynnikach zespolonych .Wynikiem tych obliczeń jest okrąg na płaszczyźnie zespolonej o założonym promieniu , zawierającym co najmniej jedno zero wielomianu . Środek tego okręgu jest przybliżanym zerem .Chcąc wyznaczyć kolejne zero , należy wykonać deflację wielomianu i do otrzymanego w taki sposób wielomianu niższego stopnia ponownie zastosować metodę Lehmera-Schura.