Politechnika Poznańska Wydział Maszyn Roboczych i Transportu LABORATORIUM Automatyka
Temat: Dobór nastaw regulatora typu PID
Kierunek: Transport rok: III
L.p.
1.
Data wykonania ćwiczenia 14.05.2014

1. Dane:

   • czas każdej symulacji to 250 [s]

   • k₁ = 0,4

   • k₂ = 5

   • k₃ = 7 (liczba liter w imieniu)

   • T₁ = k2 = 5

   • T₂ = 20

   • T₃ = 8 (liczba liter w nazwisku)

   • T₄ = k₃ = 6

2. Obliczenia krytycznej wartości współczynnika wzmocnienia k_p, stosując kryterium Hurwitza:

1. Transmitancja zastępcza:

$$G_{z}\left( s \right) = \frac{{2*k}_{p}*\left( T_{4}*s + 1 \right)}{\left( T_{1}*s + 1 \right)\left( T_{2}*s^{2} + T_{3}*s + 1 \right)\left( T_{4}*s + 1 \right) + k_{1}*k_{2}*k_{3}{*k}_{p}}$$

1. Równanie charakterystyczne:

(T₁*s+1)(T₂*s²+T₃*s+1)(T₄*s+1) + k₁ * k₂ * k₃*k_p = 0

a₄s⁴ + a₃s³ + a₂s² + a₁ * s + a₀ = 0

(a₀ → x * k_p+y)

1. Obliczenia

(T₁*s+1)(T₂*s²+T₃*s+1)(T₄*s+1) + k₁ * k₂ * k₃*k_p = 0

(5s+1)(20s²+8s+1)(7s+1) + 0, 4 * 5 * 7*k_p = 0

(5s+1)(20s²+8s+1)(7s+1) + 14k_p = 0

• Wymnażanie 2 pierwszych nawiasów:

100s³ + 40s² + 5s + 20s² + 8s + 1 = 0

• Wymnożenie 2 pozostałych nawiasów:

(100s³+40s²+5s+20s²+8s+1) * (7s+1) = 700s⁴ + 280s³ + 35s² + 140s² + 56s² + 7s + 100s³ + 40s² + 5s + 20s² + 8s + 1 = 700s⁴ + 520s³ + 151s² + 20s + 1

• Otrzymane współczynniki:

  • a₄ = 700

  • a₃ = 520

  • a₂ = 151

  • a₁ = 20

  • a₀ = 14k_p + 1

• Sprawdzenie warunku Hurwitza:

₂ > 0

$$_{2} = \left| \begin{matrix} 520 & 700 \\ 20 & 151 \\ \end{matrix} \right| = a_{2}{*a}_{3} - a_{1}*a_{4} = 151*520 - 20*700 = 78520 - 14000 = 64520$$

₃ > 0

$$\left| \begin{matrix} 520 & 700 & 0 \\ 20 & 151 & 520 \\ 0 & 14kp + 1 & 20 \\ \end{matrix} \right|$$

Drugi warunek Hurwitza jest spełniony

• Otrzymujemy wyznacznik W:

• a₃ * a₂ * a₁ + a₁ * a₀ * 0 + 0 * a₄ * a₃ − (0 * a₂ * 0 + a₃ * a₀ * a₃ + a₁ * a₄ * a₁ )

(520*151*20) − (520*(14k_p+1)*520+20*700*20) = 1570400 − (270400*(14k_p+1)+280000)

=1570400 − (3785600k_p + 270400 + 280000)

1020000 − 3785600k_p = 0

1020000 = 3785600k_p

$$k_{p} = \frac{1020000}{3785600}$$

k_p=0,27

1. Obliczenia optymalnego nastawu regulatorów metodą:

Wyznaczenie Tosc

Tosc=32

1. Dla regulatora typu P:

   1. k_p = 0, 5 * k_kr = 0, 5 * 0, 27 = 0, 135

2. Dla regulatora typu PI:

   1. k_p = 0, 45 * k_kr = 0, 45 * 0, 27 = 0, 1215

   2. T_i = 0, 85 * T_osc = 0, 5 * 32 = 27, 2

   3. $\mathbf{K}_{\mathbf{i}} = \frac{k_{p}}{T_{i}} = \frac{0,1215}{27,2} = 0,0044$

3. Dla regulatora typu PI:

   1. k_p = 0, 6 * k_kr = 0, 6 * 0, 27 = 0, 162

   2. T_i = 0, 5 * T_osc = 0, 5 * 32 = 16

   3. $\mathbf{K}_{\mathbf{i}} = \frac{k_{p}}{T_{i}} = \frac{0,162}{16} = 0,01$0

   4. T_d = 0, 12 * T_osc = 0, 12 * 32 = 3,84

   5. K_d = k_p * T_d = 0, 162 * 3, 84 = 0, 62

1. Sprawdzenie poprawność obliczeń w aplikacji XCOS

1. k_p < k_r , dla kr = 0,5:

k_p = k_r , dla kr = 0,27

1. k_p > k_r , dla kr = 0,1:

1. Schemat blokowy, w którym wykorzystano 3 regulatory P, PI, PID, oraz ich charakterystyka z przedstawieniem wartości 1/k3, czyli 0,142857

Czarna linia-Regulator P

Czerwona linia-Regulator Pi

Niebieska linia-Regulator PiD

Zielona linia –Wartości stałe 0 i 0,142857

1. Wnioski

Obliczając krytyczną wartość współczynnika wzmocnienia regulatora k_kr=0.27, zauważamy, że przy tej wartości układ znajduje się na granicy stabilności czyli występują niegasnące oscylacje. Kiedy te wartości zmniejszamy k_p<k_kr to układ jest stabilny. Z kolei gdy je zwiększamy, następuje wzrost amplitudy i układ jest niestabilny.

W czasie symulacji w Xcos sprawdzone zostały odpowiedzi układu na wymuszenia skokowe dla trzech regulatorów(P,PI,PID). W przypadku regulatora zawierającego człon całkujący (PI i PID) sygnał na wyjściu ustalił się na poziomie 1/k₃=0.142857. Dzieje się tak ponieważ człon całkujący sprowadza uchyb do zera. Jeżeli ten sygnał porównamy z sygnałem regulatora typu P to zobaczymy że wartość 1/k₃ nie została osiagnięta