1. Wektor w kartezjańskim układzie współrzędnych. Dodawanie wektorów.

2. Wektory: położenia, prędkości, przyspieszenia – definicje.

3. I zasada dynamiki. Inercjalne układy odniesienia.

Pierwsza zasada wydaje się być szczególnym przypadkiem drugiej. Przypisujemy jej jednak wielką wagę ze względów historycznych (przełamanie dogmatu Arystotelowskiego, że wszystkie ciała muszą się zatrzymać gdy nie ma sił zewnętrznych) oraz dlatego, że zawiera ważne prawidło fizyczne: istnienie inercjalnego układu odniesienia. Pierwsza zasada dynamiki stwierdza, że jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne to istnieje taki układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Taki układ nazywamy układem inercjalnym.Każdy ruch musi być opisany względem pewnego układu odniesienia. Układy inercjalne są tak istotne bo we wszystkich takich układach ruchami ciał rządzą dokładnie te sama prawa. Większość omawianych zagadnień będziemy rozwiązywać właśnie w inercjalnych układach odniesienia. Zazwyczaj przyjmuje się, że są to układy, które spoczywają względem gwiazd stałych ale układ odniesienia związany z Ziemią w większości zagadnień jest dobrym przybliżeniem układu inercjalnego.Ponieważ przyspieszenie ciała zależy od przyspieszenia układu odniesienia (obserwatora), w którym jest mierzone więc druga zasada dynamiki jest słuszna tylko, gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym. Inaczej mówiąc, prawa strona równania F = ma zmieniałaby się w zależności od przyspieszenia obserwatora.Zauważmy, że pierwsza zasada nie wprowadza żadnego rozróżnienia między ciałami spoczywającymi i poruszającymi się ze stałą prędkością. Każdy z tych stanów może być naturalnym stanem ciała gdy nie ma żadnych sił. Nie ma różnicy pomiędzy sytuacją gdy nie działa żadna siła i przypadkiem gdy wypadkowa wszystkich sił jest równa zeru.

4. Pęd punktu materialnego.

Masa

Definicja o charakterze operacyjnym (recepta na postępowanie). Nieznaną masę m porównujemy ze wzorcem masy 1 kg. Umieszczamy pomiędzy nimi sprężynę i zwalniamy ją. Masy, które początkowo spoczywały polecą w przeciwnych kierunkach z prędkościami v₀ i v.

Nieznaną masę m definiujemy jako

(4.1)

$$\frac{\mathbf{m}\mathbf{2}}{\mathbf{m}\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}\mathbf{1}}{\mathbf{a}\mathbf{2}}$$

Pęd

Pęd ciała definiujemy jako iloczyn jego masy i jego prędkości wektorowej.

(4.2)

(Intuicyjnie, ta wielkość ma istotne znaczenie np. przy opisie zderzeń gdzie liczy się zarówno prędkość jak i masa.)

Siła

Jeżeli na ciało o masie m działa pojedyncza siła F₁, to definiujemy ją jako zmianę w czasie pędu ciała.

(4.3a)

po rozwinięciu

Dla ciała o stałej masie

(4.3b)

5. II zasada dynamiki.

Wiemy już, że ta zasada jest słuszna gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym. Siła w drugiej zasadzie dynamiki jest siłą wypadkową (trzeba brać sumę wektorową wszystkich sił). Zastanówmy się jaka jest różnica między definicją siły, a drugą zasadą dynamiki? Czy F = ma nie powinno być prawdziwe z definicji, a nie dlatego, że jest to podstawowe prawo przyrody?

Różnica pomiędzy równaniami (4.3b) i (4.4) polega na tym, że w tym drugim występuje siła wypadkowa. To jest ważna różnica!!! Oznacza to, że w tym równaniu jest zawarta dodatkowa informacja (którą trzeba sprawdzić doświadczalnie), a mianowicie addytywność masy i wektorowe dodawanie sił. Chociaż wydaje się to banalne, że połączenie mas m₁ i m₂ daje przedmiot o masie m = m₁ + m₂ to jak każde twierdzenie w przyrodzie musi być sprawdzone doświadczalnie. Istnieją wielkości fizyczne, które nie są addytywne np. kąty (nieprzemienne dodawanie) czy objętości mieszanin (np. woda i alkohol). Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siła wypadkowa jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej

Współczynnik proporcjonalności jest równy odwrotności masy ciała.

6. Zasada zachowania pędu.

Zasada zachowania pędu

Przypuśćmy, że suma sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru. Wtedy na podstawie równania (9.3)

Zasada zachowania pędu: Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, całkowity wektor pędu układu pozostaje stały.

Zobaczymy jak ta zasada stosuje się do różnych sytuacji fizycznych. Omówimy teraz pojęcie sił zewnętrznych dla danego układu ‑ jak wybrać układ i jak stosować zasadę zachowania pędu.

Przykład 3

Rozważmy dwa ciała o masach m_A i m_B połączone nieważką sprężyną umieszczone na doskonale gładkim stole. Odciągamy od siebie te ciała na pewną odległość, a następnie puszczamy swobodnie (rysunek). Spróbujmy opisać ruch tych ciał.

Najpierw ustalamy z czego składa się rozważany układ. Przyjmujemy, że tworzą go obie masy + sprężyna. Jeżeli tak to nie działa żadna siła zewnętrzna (działają siły pomiędzy elementami układu czyli siły wewnętrzne). Możemy teraz zastosować zasadę zachowania pędu. Przed zwolnieniem ciał pęd układu (w odniesieniu do stołu) był równy zeru. I taki pozostaje po ich zwolnieniu. Chociaż ciała poruszają się ich pęd może być równy zeru, ponieważ pęd będący wielkością wektorową jest sumą dodatniego pędu ciała A (porusza się w kierunku +x) i ujemnego pędu ciała B (porusza się w kierunku -x). Z zasady zachowania pędu

pęd początkowy = pęd końcowy

0 = m_Av_A + m_Bv_B

Zatem

m_Bv_B = ‑ m_Av_A

lub

v_A = – m_Bv_B/m_A

Np. gdy m_A = 2kg i m_B = 1kg to v_A jest równa połowie v_B i ma zwrot przeciwny.

Zasada zachowania pedu-jeżeli wypadkowa sil zewnętrznych działających na układ jest rowna zeru, to całkowity wektor pedu układu pozostaje staly.

Jeżeli wypadkowa siel zewnętrznych jdzialajacych na układ jest rowna zeru to spelniona jest zasada zachowania pedu.

Gdy 2 ciala zderzaja się to zderzenie może być sprezste lub niesprężyste w zależności od tego czy energia kinetyczna jest zachowana podczas zderzenia czy tez nie. W zderzeniu sprężystym calkowita energia kinetyczna jest zachowana podczas gdy w zderzeniu niesprężystym ciala traca czesc energi kinetycznej. Kiedy 2 ciala lacza się mowimy ze zderzenie jest całkowicie niesprężyste.

W zderzeniu sprężystym calkowita energia kinetyczna jest taka sama po zderzeniu jak przed zderzeniem podczas gdy w zderzeniu niesprężystym ciala traca czesc energii kinetycznej.

7. Nieinercjalne układy odniesienia. Siły bezwładności w ruchu postępowym.

Nieinercjalne układy odniesienia to układ poruszający sie z pewnym przyspieszeniem a względem układu inercjalnego. W układzie tym ciala, na które nie działają sily zewnętrzne, poruszaja się ruchem przyspieszonym. Ruch ciala w ukł. nieinercjalnym jest określony suma sil rzeczywistych(zewnętrznych) działających na to cialo i pozornych sil bezwładności.

Siła bezwładności nazywamy iloczyn mas i przyspieszenia unoszenia(ze znakiem minus) . Działają one na ciala znajdujące się w nieinercjalnych układach odniesienia. F= -ma . Jeżeli w układach nieinercjalnych chcemy zastosowac 2 zas dyn to musimy uwzględnić sily bezwładności. Sile bezwładności nazywamy silami pozornymi bo ich obserwowanie jest związane wyłącznie z wyborem nieinercjalnego układu odniesienia. Przyspieszenie ciala zalezy od przyspieszenia układu odniesienia(przyspieszenia obserwatora), w którym jest mierzone wiec 2zas dyn jest sluszna tylko gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym.

Siły bezwładności

We wstępie wyszczególnione zostały cztery rodzaje sił występujących w przyrodzie. Wszystkie te siły nazywamy siłami rzeczywistymi, ponieważ możemy je zawsze związać z jakimś konkretnym ciałem, możemy podać ich pochodzenie. Czy to samo możemy powiedzieć np. o takich siłach jakich działania "doznajemy" np. przy przyspieszaniu, hamowaniu czy zakręcaniu samochodu?

Przykład 2

Dwaj obserwatorzy opisują ruch kulki w sytuacji pokazanej na rysunku poniżej.

Jeden z obserwatorów znajduje się w wózku a drugi stoi na Ziemi. Wózek początkowo porusza się ze stałą prędkością po linii prostej następnie hamuje ze stałym opóźnieniem a (2). Między kulką a wózkiem nie ma tarcia.

Gdy wózek jedzie ze stałą prędkością to obydwaj obserwatorzy stwierdzają zgodnie na podstawie pierwszej zasady dynamiki, że na kulkę nie działa żadna siła. Zwróćmy uwagę, że obserwatorzy znajdują się w inercjalnych układach odniesienia. Sytuacja zmienia się gdy wózek zaczyna hamować (2). Obserwator związany z Ziemią dalej twierdzi, że kulka porusza się ze stałą prędkością, a tylko podłoga wózka przesuwa się pod nim. Natomiast obserwator w wózku stwierdza, że kulka zaczyna się poruszać się z przyspieszeniem –a w stronę przedniej ściany wózka. Dochodzi do wniosku, że na kulkę o masie m_k zaczęła działać siła

F₁ = ‑ m_ka

ale nie może wskazać żadnego ciała, będącego źródłem tej siły. Mówiliśmy już, że druga zasada dynamiki jest słuszna tylko w inercjalnym układzie odniesienia. Zauważmy, że obserwator w wózku znajduje się teraz w układzie nieinercjalnym. Widać, że jest w błędzie; nie istnieje rzeczywista siła F₁. Jest to tak zwana pozorna siła bezwładności.

Powstaje więc pytanie jak postępować gdy musimy rozwiązać problem w układzie nieinercjalnym. W tym celu rozpatrzmy dalszy ruch kulki. Gdy dotrze ona do przedniej ścianki to wówczas według obserwatora na Ziemi (układ inercjalny) będzie poruszać się z przyspieszeniem a (takim jak wózek) bo działa na nią siła F_s sprężystości przedniej ściany wózka równa

F_s = m_ka

Natomiast obserwator w wózku stwierdza, że kulka przestała się poruszać; spoczywa względem niego. Jego zdaniem siła sprężystości ściany F_s równoważy siłę F₁, tak że siła wypadkowa jest równa zeru i kulka nie porusza się

F_s + F₁ = 0

co po podstawieniu za F₁ = ‑ m_ka daje

F_s = m_ka

Okazuje się, że wynik otrzymany przez obserwatora w układzie nieinercjalnym jest taki sam jak dla obserwatora związanego z Ziemią ale pod warunkiem uwzględnienia sił pozornych. Siły te "znikają" jeśli rozpatrujemy ruch z punktu widzenia układu inercjalnego. Wprowadzenie ich pozwala po prostu na stosowanie mechaniki klasycznej do opisu zdarzeń w układach poruszających się z przyspieszeniem. W takim układzie uwzględniamy, że na każde ciało działa siła wprost proporcjonalna do masy tego ciała, do przyspieszenia układu a i jest skierowana przeciwnie do a.

Przykład 3

Winda porusza się ruchem jednostajnie zmiennym. Czas spadania ciała puszczonego swobodnie w tej windzie, na drodze od sufitu do podłogi, jest o 25% większy niż w windzie stojącej. Obliczyć przyspieszenie windy. Dane jest przyspieszenie ziemskie g.

Rozwiązujemy zadanie w układzie inercjalnym i nieinercjalnym tzn. obserwator w jednym przypadku znajduje się na zewnątrz windy, a w drugim jest pasażerem tej windy.

W przypadku pierwszym obserwator "widzi" (mierzy), że ciało przebywa dłuższą drogę gdy winda jest w ruchu.

Dla windy stojącej

Dla windy w ruchu

oraz

przy czym

Rozwiązanie tego układu równań daje wynik

Drugi obserwator za każdym razem widzi, że ciało przebywa tę samą drogę H od sufitu do podłogi ale w różnych czasach. Wniosek: w obu przypadkach jest różne przyspieszenie. Obserwator wprowadza do obliczeń dodatkową siłę nadającą przyspieszenie –a. Odpowiednie równania wyglądają teraz:

Dla windy stojącej

Dla windy w ruchu

Uwzględniając, że

otrzymujemy .

Tak więc uwzględnienie sił bezwładności jest konieczne jeżeli chcemy stosować zasady dynamiki w układach nieinercjalnych.

W takim układzie uwzględniamy, że na każde ciało działa siła wprost proporcjonalna do masy tego ciała, do przyspieszenia układu a i jest skierowana przeciwnie do a.

Inny przykład stanowią układy nieinercjalne poruszające się ruchem obrotowym. Np. obserwator w satelicie krążącym wokół Ziemi obserwując ciało spoczywające w tym satelicie stwierdza, że siła wypadkowa działająca na ten obiekt jest równa zeru. Musi więc istnieć, według niego, siła która równoważy siłę grawitacji (dośrodkową). Siłę tę nazywamy siłą odśrodkową i jest to siła pozorna.

8. III zasada dynamiki.

Załóżmy, że mamy układ, który składa się z m_A i m_B. Wtedy jedynymi siłami będą siły oddziaływania między tymi ciałami np. grawitacyjne.

Trzecia zasada stwierdza, że w przypadku sił oddziaływania między dwoma ciałami F_A = - F_B .

Przykład 1

Rozważmy układ trzech ciał o masach 3m, 2m i m połączonych nitkami tak jak na rysunku. Układ jest ciągnięty zewnętrzną siłą F. Szukamy przyspieszenia układu i naprężeń nici. Siły przenoszone są przez sznurki (zakładamy, że ich masy są zaniedbywalne).

Piszemy II zasadę dynamiki dla każdego ciała osobno

F - N₁ = 3ma

N₁ -N₂ = 2ma

N₂ = ma

Dodając stronami otrzymujemy

F = (3m + 2m + m)a

stąd

a = F/6m, N₁ = F/2, N₂ = F/6

Jednostki siły i masy

W układzie SI: niuton (N) 1N = 1kg·1m/s²

9. Iloczyn skalarny wektorów – definicja i własności.

10. Praca.

. Praca. Obliczenie pracy dla sił stałych i zmiennych.

Praca - wielkość skalarna. Jeżeli ruch ciała jest prostoliniowy, a wektor siły jest stały to pracę tej siły określa wzór:

W ogólnym przypadku gdy wektor siły nie jest stały lub przemieszczenie nie jest prostoliniowe to praca jest sumą prac wykonanych na niewielkich odcinkach, co wyrażone w postaci całki przedstawia się następująco:

Całkowanie odbywa się po drodze (L) jaką przebywa punkt zaczepienia siły.^[1]

Gdzie:

W - praca,

- siła,

- przesunięcie

Jednostką pracy w układzie SI jest dżul (J) określany jako niuton·metr:

11. Siły zachowawcze i niezachowawcze. Potencjał w polu siły zachowawczej. Energia

potencjalna.

Przesuwamy ciało o masie m z prędkością v w kierunku sprężyny, tak jak na rysunku.

Założenia:

1. ruch na płaszczyźnie odbywa się bez tarcia,

2. sprężyna jest idealna tzn. spełnia ona prawo Hooke'a: F = -kx, gdzie F jest siłą wywieraną przez sprężynę kiedy jej swobodny koniec jest przemieszczony na odległość x,

3. masa sprężyny jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z masą ciała, więc cała energia kinetyczna w układzie sprężyna + ciało jest zgromadzona w tym ciele.

Przy ściskaniu sprężyny, prędkość ciała, a wobec tego i energia kinetyczna maleje aż do zatrzymania ciała. Następnie ciało porusza się w przeciwnym kierunku pod wpływem sprężyny. Prędkość i energia kinetyczna rosną aż do wartości jaką ciało miało początkowo. Interpretowaliśmy energię kinetyczną jako zdolność ciała do wykonania pracy kosztem jego ruchu (kosztem E_k). Po przebyciu zamkniętej drogi (cyklu) zdolność ciała do wykonania pracy pozostaje taka sama, jest zachowana. Siła sprężysta wywierana przez idealną sprężynę jest zachowawcza. Inne siły, które działają w ten sposób także, np. siła grawitacji. Ciało rzucone do góry, przy zaniedbaniu oporu powietrza, wróci z tą samą prędkością i energią kinetyczną. Jeżeli jednak ciało, na które działa jedna lub więcej sił powraca do położenia początkowego i ma inną energię kinetyczną niż na początku to oznacza, że po przebyciu drogi zamkniętej zdolność tego ciała do wykonania pracy nie została zachowana. Oznacza to, że przynajmniej jedną z działających sił określa się jako niezachowawczą. Aby zilustrować ten przypadek, załóżmy, że powierzchnia nie jest idealnie gładka, że mamy do czynienia z tarciem. Ta siła tarcia przeciwstawia się ruchowi bez względu w którym kierunku porusza się ciało (nie tak jak siła sprężystości czy grawitacji) i ciało wraca z mniejszą energią kinetyczną. Mówimy, że siła tarcia (i inne działające podobnie) są niezachowawcze. Możemy przeanalizować zachowawczy charakter sił analizując pracę jaką wykonuje ta siła nad punktem materialnym. W pierwszym przykładzie (bez tarcia) praca wykonana przez siłę sprężystą, gdy sprężyna ulega ściskaniu, jest ujemna (siła jest skierowana przeciwnie do przemieszczenia, cos180° = -1). Gdy sprężyna rozprężą się praca jest dodatnia (siła i przemieszczenie jednakowo skierowane). Podczas pełnego cyklu praca wykonana przez siłę sprężystą (siłę wypadkową) jest równa zero. W drugim przykładzie (uwzględniamy tarcie). Praca wykonywana przez siłę tarcia jest ujemna dla każdej części cyklu (tarcie zawsze przeciwstawia się ruchowi).

Ogólnie: Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru. Siła jest niezachowawcza jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej nie jest równa zeru. Możemy jeszcze trzecim sposobem rozważyć różnicę między siłami niezachowawczymi i zachowawczymi. Rozpatrzmy ruch z punktu A do B po jednej drodze (1) a powrót z B do A po innej (2) (patrz rysunek). Jeżeli siła jest zachowawcza to

W_AB,1 + W_BA,2 = 0

bo droga zamknięta. Możemy to zapisać inaczej

W_AB,1 = ‑ W_BA,2

Ale gdyby odwrócić kierunek ruchu i przejść z A do B po drugiej drodze to ponieważ zmieniamy tylko kierunek to

W_AB,2 = -W_BA,2

Skąd otrzymujemy

W_AB,1 = W_AB,2

Widać z tego, że praca wykonana przez siłę zachowawczą przy przemieszczaniu od A do B jest taka sama dla obu dróg. Drogi 1 i 2 mogą mieć dowolny kształt byleby tylko łączyły te same punkt A i B. Siłę nazywamy zachowawczą jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy tylko od tych punktów, a nie od łączącej je drogi. Siłę nazywamy niezachowawczą jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy od drogi łączącej te punkty.

Energia potencjalna

Skupimy się teraz na odosobnionym układzie ciało + sprężyna. Zamiast mówić ciało się porusza będziemy mówić: stan układu się zmienia.

Widzieliśmy, że gdy nie występuje tarcie to energia kinetyczna maleje a potem rośnie tak, że wraca do początkowej wartości w cyklu zamkniętym. W tej sytuacji (gdy działają siły zachowawcze) staje się celowe wprowadzenie pojęcia energii stanu lub energii potencjalnej E_p. Mówimy, że jeżeli energia kinetyczna układu zmieni się o wartość ΔE_k to tym samym zmienił się stan układu to energia potencjalna E_p (stanu) tego układu musi się zmienić o wartość równą co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwną co do znaku, tak że suma tych zmian jest równa zeru

ΔE_k + ΔE_p = 0

Innymi słowy, każda zmiana energii kinetycznej E_k jest równoważona przez równą co do wartości, a przeciwną co do znaku zmianę energii potencjalnej E_p układu, tak że ich suma pozostaje przez cały czas stała

E_k + E_p. = const. (8.1)

Energia potencjalna przedstawia formę nagromadzonej energii, która może być całkowicie odzyskana i zamieniona na energię kinetyczną. Nie można więc wiązać energii potencjalnej z siłą niezachowawczą.

W przykładzie ze sprężyną (bez tarcia) energia kinetyczna ciała początkowo maleje, a zlokalizowana w sprężynie energia potencjalna rośnie. Z twierdzenia o pracy i energii

W = ΔE_k

więc dla zachowawczej siły F

W = ΔE_k = - ΔE_p

Stąd

(8.2)

Możemy więc zapisać zależność między siłą i energią potencjalną

(8.3)

Trzeba zwrócić uwagę, że naprawdę potrafimy tylko policzyć ΔE_p a nie E_p samą. Ponieważ ΔE_p = E_pB – E_pA. Żeby znaleźć E_pB trzeba nie tylko znać siłę ale jeszcze wartość E_pA

Punkt A nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak (umowa), żeby E_p było równe zeru w tym punkcie (porównanie z potencjałem elektrycznym).

Przykłady energii potencjalnej dla jednowymiarowych sił zachowawczych

1. grawitacyjna energia potencjalna (w pobliżu powierzchni Ziemi)

Ruch wzdłuż osi y

F(y) = -mg

F jest stała. Przyjmujemy, że dla y = 0, E_p(0) = 0.

Wtedy

Sprawdzenie

1. energia potencjalna sprężyny

Ruch wzdłuż osi x

F(x) = -kx

Przyjmujemy dla x = 0, E_p(0) = 0.

Wtedy

Sprawdzenie:

Energia potencjalna i potencjał pola grawitacyjnego

W przykładzie powyżej obliczyliśmy energię potencjalną związaną z siłą grawitacyjną w pobliżu powierzchni Ziemi, gdzie przyjmowaliśmy, że siła grawitacji jest stała. Teraz zajmiemy się zagadnieniem bardziej ogólnym i znajdziemy energię potencjalną masy m znajdującej się w  dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi odległym o r od środka Ziemi.

Dla sił zachowawczych zmianę energii potencjalnej ciała przy przejściu ze stanu A do stanu B możemy zapisać jako

skąd

Żeby policzyć energię potencjalną w punkcie B musimy znać energię potencjalną w punkcie odniesienia A i policzyć pracę W_AB.

Dla masy m znajdującej się w pewnym punkcie nad powierzchnią Ziemi odległym o r od środka Ziemi stan odniesienia wybiera się tak, że Ziemia i masa m znajdują się od siebie w nieskończonej odległości. Temu położeniu (r ∞) przypisujemy zerową energię potencjalną, E_pA = 0. Zwróćmy uwagę, że stan zerowej energii jest również stanem zerowej siły. Siła grawitacji jest siłą zachowawczą więc dla wybranego punktu odniesienia

Musimy teraz obliczyć pracę . Ponieważ znamy siłę

to możemy obliczyć pracę i w konsekwencji energię potencjalną (znak minus wskazuje kierunek działania siły do środka Ziemi; siła przyciągająca)

(8.4)

Energia potencjalna ma wartość równo zeru w nieskończoności (punkt odniesienia) i maleje w miarę zmniejszania się r. Oznacza to, że siła jest przyciągająca. Wzór ten jest prawdziwy bez względu na wybór drogi po jakiej punkt porusza się z nieskończoności do r.

Widzimy, że z polem siły grawitacji wiąże się przestrzenny rozkład energii E(r) dany równaniem (8.4).

Omawiając na Wykładzie 6 pole grawitacyjne przedstawialiśmy siłę działającą na umieszczony w tym polu obiekt jako iloczyn natężenia pola i masy tego obiektu. Stwierdziliśmy, że jedna masa wytwarza pole, a następnie to pole działa na drugą masę. Inaczej mówiąc rozdzieliliśmy siłę na dwie części i w ten sposób uniezależniliśmy nasz opis od masy obiektu wprowadzanego do pola.

Podobnie możemy postąpić z energią potencjalną. Zauważmy, że zgodnie z wyrażeniem (8.4) możemy ją przedstawić jako iloczyn masy m i pewnej funkcji V(r)

(8.5)

Funkcję V(r) nazywamy potencjałem pola grawitacyjnego i definiujemy jako stosunek grawitacyjnej energii potencjalnej masy m do wartości tej masy

(8.6)

Jak już wspominaliśmy z pojęcia pola korzysta się nie tylko w związku z grawitacją. Przy opisie zjawisk elektrycznych również będziemy się posługiwali pojęciem pola (elektrycznego), jego natężenia i potencjału.

12. Zasada zachowania energii mechanicznej.

Gdy działają siły zachowawcze to

W = ΔE_k = E_kB – E_kA

oraz

W = -ΔE_p = - (E_pB – E_pA)

więc

- (E_pB – E_pA) = E_kB – E_kA

czyli

E_kA + E_pA = E_kB + E_pB (8.7)

Równania (8.1, 8.4) nazywa się zasadą zachowania energii mechanicznej.Mówi ona, że dla ciała podlegającego działaniu siły zachowawczej, którego energia potencjalna jest równa E_p, suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała (o ile nie działają inne siły).Z równania (8.5) wynika, że każda praca wykonana na ciele przez czynnik zewnętrzny równa się wzrostowi energii kinetycznej plus wzrost energii potencjalnej plus wzrost energii wewnętrznej. Cała energia została zarejestrowana. Mamy obejmujące wszystko zachowanie energii (całkowitej).Wynika z niego, że energia może być przekształcona z jednej formy w inną, ale nie może być wytwarzana ani niszczona; energia całkowita jest wielkością stałą.

Zasada zachowania energii - w układzie izolowanym suma składników wszystkich rodzajów energii całości (suma energii wszystkich jego części) układu jest stała (nie zmienia się w czasie).Zasada zachowania energii w mechanice klasycznej i kwantowej jest konsekwencją symetrii translacji (przesunięć) w czasie. Ma ona jednak w fizyce szersze znaczenie. Przyjmuje się, że zasada zachowania energii jest spełniona również w układach nieprzejawiających takiej symetrii i nie dających się opisywać przy użyciu formalizmu hamiltonowskiego. W ramach tego formalizmu wyprowadzany jest związek między zasadami zachowania a symetriami układów fizycznych. Przykładami takich układów są:

układy opisywane przez fizykę statystyczną, gdzie symetria w czasie dla całego układu nie jest zachowana, układy związane z występowaniem siły tarcia, inne układy na przykład cechujące się przemianami nierównowagowymi, dla których opis hamiltonowski jest nieadekwatny.

13. Siły sprężyste. Praca i energia potencjalna w polu sił sprężystości.

Większość ciał stałych, a nawet powierzchnie wielu cieczy wykazują zjawisko sprężystości. Polega ono na tym, że ciało po zadziałaniu na nie siłą odkształca się nietrwale. Gdy siła przestaje działać ciało wraca do swojego poprzedniego kształtu.

14. Drgania harmoniczne proste - równanie dynamiczne, równanie kinematyczne.

• Ruch drgający

Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus i cosinus. Ruch sinusoidalny jest powszechną formą ruchu obserwowaną w życiu codziennym i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki.

Siła harmoniczna

Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub siłą sprężystości. Jeżeli obierzemy oś x wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest wyrażona równaniem

F = – kx (13.1)

gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywieraną przez rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę sprężystości. To jest prawo Hooke'a.

Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m (zaczepiona do sprężyny) znalazła się w położeniu x = A, a następnie w chwili t = 0 została zwolniona, to położenie masy w funkcji czasu będzie dane równaniem

x = Acosωt

Sprawdźmy czy to jest dobry opis ruchu. Dla t = 0, x = A tzn. opis zgadza się z założeniami. Z II zasady dynamiki Newtona wynika, że

– kx = ma

czyli

– kx = m(dv/dt)

wreszcie

– kx = m(d²x/dt²) (13.2)

Równanie takie nazywa się równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Staramy się "odgadnąć" rozwiązanie i następnie sprawdzić nasze przypuszczenia. Zwróćmy uwagę, że rozwiązaniem jest funkcja x(t), która ma tę właściwość, że jej druga pochodna jest równa funkcji ale ze znakiem "–". Zgadujemy, że może to być funkcja x = Acosωt i sprawdzamy

dx/dt = v = – Aωsinωt (13.3)

d²x/dt² = a = – Aω²cosωt (13.4)

Podstawiamy ten wynik do równania (13.2)

(– kAcosωt) = m(– Aω²cosωt)

i otrzymujemy

ω² = k/m (13.5)

Widzimy, że x = Acosωt jest rozwiązaniem równania (13.2) ale tylko gdy .

Zwróćmy uwagę, że funkcja x = Asinωt jest również rozwiązaniem równania ale nie spełnia warunku początkowego bo gdy t = 0 to x = 0 (zamiast x = A).

Najogólniejszym rozwiązaniem jest

x = Asin(ωt + ϕ) (13.6)

gdzie ϕ jest dowolną stałą fazową. Stałe A i ϕ są określone przez warunki początkowe.

Wartości maksymalne (amplitudy) odpowiednich wielkości wynoszą:

• dla wychylenia A

• dla prędkości ωA (występuje gdy x = 0)

• dla przyspieszenia ω²A (występuje gdy x = A)

  Okres drgań

Funkcja cosωt lub sinωt powtarza się po czasie T dla którego ωT = 2π. Ta szczególna wartość czasu jest zdefiniowana jako okres T

T = 2π/ω (13.7)

Liczba drgań w czasie t jest

n = t/T

Gdy podzielimy obie strony przez t, otrzymamy liczbę drgań w jednostce czasu

Lewa strona równania jest z definicji częstotliwością drgań f

Dla ruchu harmonicznego więc otrzymujemy

(13.8)

Jest to okres drgań masy m przyczepionej do końca sprężyny o stałej sprężystości k.

Przykład 1

Dwie masy, m₁ i m₂, są przyczepione do przeciwnych końców sprężyny. Jaki będzie okres drgań, gdy rozciągniemy sprężynę, a następnie zwolnimy obie masy jednocześnie? Stała sprężyny wynosi k.

Niech x₁ będzie przesunięciem masy m₁ od położenia równowagi, a x₂ odpowiednim przesunięciem masy m₂. Zauważmy, że środek masy musi pozostawać nieruchomy.

Zatem

m₁x₁ = – m₂x₂, czyli

Zastosujmy teraz do wybranej masy np. m₂ równanie F_wypadkowa = ma. Siłą wypadkową, działającą na m₂ jest siła F = – k (x₂ – x₁) gdzie (x₂ – x₁) jest wypadkowym rozciągnięciem sprężyny.

Podstawiamy teraz zamiast x₁ i otrzymujemy

czyli

więc

gdzie µ = m₁m₂/(m₁ + m₂) jest z definicji masą zredukowaną. To jest równanie jakie już rozwiązywaliśmy, w którym zamiast x jest x₂ a zamiast m jest µ.

Tak więc czyli

Zwróćmy uwagę, że okres drgań harmonicznych T jest niezależny od amplitudy drgań A (o ile jest spełnione prawo Hooke'a). Tę właściwość drgań harmonicznych prostych zauważył Galileusz i wykorzystał ją do skonstruowania zegara wahadłowego.

15. Składanie drgań prostopadłych – równanie toru ciała.

Jeżeli pewien punkt wykonuje jednocześnie dwa drgania, które odbywają się w różnych kierunkach to drganie wypadkowe (sumaryczne) może być bardzo złożone mimo, że każde z drgań składowych jest proste. Rozważmy punkt wykonujący jednocześnie dwa proste drgania harmoniczne w dwóch prostopadłych kierunkach, np. wzdłuż osi x i y:

 

 

 

Torem punktu będzie pewna krzywa płaska, której kształt zależy od stosunku obu częstotliwości ω_x i ω_y i od przesunięcia fazowego φ między oboma drganiami

Równanie toru, po jakim będzie poruszał się punkt otrzymujemy z równań drgań przez eliminację czasu. Jest to postępowanie analogiczne do robienia fotografii, na której czas dla fotografowanego obiektu ulega zatrzymaniu. Zagadnienie poszukiwania toru punktu można podzielić na dwa główne przypadki:

 

            I. Obie częstotliwości kołowe są równe: ω_x = ω_y = ω

 

Z pierwszego równania otrzymujemy

 

 

Ponieważ cos (α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ, to stosując odpowiednie podstawienia w drugim równaniu możemy napisać

 

 

Po uporządkowaniu znajdujemy równanie toru:

 

 

Jest to równanie elipsy nachylonej pod kątem φ do osi układu odniesienia.

 

            Przypadki szczególne elipsy:

 

            a) φ = 0. Równanie toru:

 

 

co jest równaniem prostej.

 

            b) A_x = A_y;  φ = ± π/2. Równanie toru:

 

 

czyli równanie okręgu o promieniu A.

 

            c) A_x ≠ A_y;  φ = ± π/2. Równanie toru:

 

 

jest równaniem elipsy, której osie są równoległe do osi układu odniesienia.

 

      

      II. Częstotliwości kołowe są różne: ω_x ≠ ω_y  

 

W tym przypadku ruch może być bardzo skomplikowany. Ogólnie, tor może nawet nie być krzywą zamkniętą, czyli, że ruch wtedy nie jest okresowy. Kiedy jednak stosunek obu częstotliwości kątowych ω_x / ω_y jest liczbą wymierną, czyli może być wyrażony przez stosunek dwóch liczb całkowitych, to tor ruchu jest krzywą zamkniętą, tzn. ruch jest okresowy, chociaż mimo to, często również bardzo skomplikowany.

 

 

Tego typu krzywe są znane pod nazwą krzywych Lissajous i niektóre z nich zostały przedstawione na rysunku poniżej.

 

 

16. Drgania harmoniczne tłumione - równanie dynamiczne, równanie kinematyczne.

17. Drgania harmoniczne wymuszone z tłumieniem - równanie dynamiczne, równanie

kinematyczne. Amplituda I okres drgań harmonicznych wymuszonych z tłumieniem.

Rezonans.

1. Ruch falowy. Rodzaje fal.

Fala podłużna - drgania cząsteczek ośrodka są równoległe do kierunku rozchodzenia się fali.

( w cieczach, gazach i ciałach stałych)

Fala poprzeczna - cząsteczki ośrodka drgają w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali.

(w ciałach stałych)

Równanie fali jednokierunkowej

- liczba falowa

- wektor falowy (kierunek wychylenia, wartość liczby falowej)

Równanie fali płaskiej

Równanie fali kulistej

- amplituda w odległości r=1m od źródła punktowego wyrażona w [m²]

4.Długość fali - (1) odległość na jaką przejdzie ustalona faza fali w czasie jednego okresu

(2) najmniejsza odległość dwóch cząstek ośrodka drgających w tej samej fazie w tym samym

momencie czasu

Okres fali - (1) okres źródła

2. najmniejszy czas po jakim ustalona cząstka ośrodka drga w tej samej fazie

Równanie falowe fali jednokierunkowej i jego rozwiązanie

Równanie falowe fali płaskiej i jego rozwiązanie

Równanie falowe fali kulistej i jego rozwiązanie

Prędkość fal poprzecznych

Wyprowadzenie

Interferencja-zjawisko nakładania się fal. Fale te możemy opisac równaniami y1=Asin(kx) y2=Asin(kx-ωt +φ). Wynik nakładania się fal (interferencji) zalezy wyłącznie od roznicy faz φ. Dla φ=0 fale sa zgodne w fazie i wzmacniaja się maksymalnie, A osiaga maksimum, a dla φ=180stopni fale sa przeciwne w fazie i wygaszaja się A=0.

Fala stojaca punkty osrodka maja rozna amplitude drgan zalezna od ich położenia.

Fala poprzeczna jest to fala, w której kierunek drgań cząstek ośrodka jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali.

Przeciwieństwem fal poprzecznych są fale podłużne, w ciałach stałych w których mogą rozchodzić się oba rodzaje fal, fale poprzeczne rozchodzą się wolniej.

Fala podłużna to fala, której drgania odbywają się w kierunku równoległym do kierunku jej rozchodzenia się. Przykładem fali podłużnej jest fala dźwiękowa.

Fala płaska - jest to fala, której powierzchnie falowe (powierzchnie o jednakowej fazie) tworzą równoległe do siebie linie proste, gdy fala rozchodzi się po powierzchni lub płaszczyzny, gdy rozchodzi się w przestrzeni.

Fala kulista - fala, której powierzchnie falowe mają kształt współśrodkowych powierzchni kulistych. Środek tych powierzchni nazywamy środkiem fali. Tego typu fale wzbudzane są w jednorodnym ośrodku izotropowym przez pojedyncze źródło punktowe. Funkcja opisująca drgania dla skalarnej fali kulistej jest postaci:

Oznacza to, że na danej sferze o środku w punkcie, z którego fala się rozchodzi jest stała faza. Fale kuliste pojawiają się w konstrukcji geometrycznej zaproponowanej przez Fermata do wyjaśnienia zjawisk odbicia i załamania.

2. Równanie płaskiej fali harmonicznej.

Równanie fali harmonicznej płaskiej ma postać: s = A sin (ω t - k x + φ0) λ - długość fali (w układzie SI w metrach - m) φ0 - faza początkowa (wielkość niemianowana) A - amplituda fali (jednostka tej wielkości zależy od rodzaju fali i od sposobu jej opisu -np. dla fal dźwiękowych może to być ciśnienie akustyczne, i wtedy wyraża się w paskalach)
ω  - częstość kołowa  (jednostka w układzie SI: 1/s = s^-1) ω = 2 π f   T - okres drgań (jednostka w układzie SI: sekunda - s) f - częstotliwość  (jednostka w układzie SI:  Hz = 1/s = s^-1)

3. Prędkość fazowa fal harmonicznych.

Podstawowy wzór na prędkość fali harmonicznej ma postać:

v  - prędkość fali (dokładniej tzw. prędkość fazowa) - jednostka w układzie SI - m/s
T - okres fali  - jednostka w układzie SI: sekunda - s
λ - długość fali  - w układzie SI w metrach – m

Inna postać tego wzoru powstaje przez podstawienie częstotliwości f w miejsce okresu T:

Wtedy prędkość będzie dana jako: v = λ f

4. Zasada Huygensa.

5. Odbicie fali.

Odbicie i załamanie

Przypomnienie kilku podstawowych wiadomości:

1. współczynnik załamania; bezwzględny i względny

n = c/v, n_2,1 = v₁/v₂ (27.1)

1. prawo odbicia i załamania: promień odbity i załamany leżą w jednej płaszczyźnie utworzonej przez promień padający i prostopadłą do powierzchni odbijającej w punkcie padania (normalna padania) tzn. W płaszczyźnie rysunku poniżej.

2. dla odbicia θ₁ = θ₁’

3. dla załamania

Prawa te można wyprowadzić z równań Maxwella, ale jest to matematycznie zbyt trudne. Jednak te prawa optyki można wyprowadzić w oparciu o prostą (ale ważną) zasadę odkrytą w 1650 r przez Pierre Fermata.

6. Fale stojące.

Fala stojąca — fala, której pozycja w przestrzeni pozostaje niezmienna. Fala stojąca może zostać wytworzona w ośrodku poruszającym się względem obserwatora lub w przypadku interferencji dwóch fal poruszających się w przeciwnych kierunkach.

Fala stojąca to w istocie drgania ośrodka nazywane też drganiami normalnymi. Idealna fala stojąca nie jest więc falą - drgania się nie propagują. Miejsca gdzie amplituda fali osiąga maksima nazywane są strzałkami, zaś te, w których amplituda jest zawsze zerowa węzłami fali stojącej. Rysunek przedstawia idealną (zupełną) falę stojącą. W przypadkach rzeczywistych zwykle porusza się ona tam i z powrotem w ograniczonym obszarze przestrzeni (niezupełna fala stojąca).

Równanie fali stojącej

3.Strzałki

Węzły

1. Harmoniczne fale elektromagnetyczne. Generacja fal elektromagnetycznych. Widmo fal

elektromagnetycznych.

Generacja fal elektromagnetycznych

Promieniowanie elektromagnetyczne (fala elektromagnetyczna) rozchodzące się w przestrzeni zaburzenie pola elektromagnetycznego, zaburzenie to ma charakter fali poprzecznej w której składowa elektryczna i magnetyczna prostopadłe do siebie i kierunku ruchu, nawzajem się przekształcają. Zmieniające się pole elektryczne wytwarza pole magnetyczne, a zmieniające się pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne. Źródłem pola EM jest drgający lub przyspieszany ładunek elektryczny.

widmo fal elektromagnetycznych

Fale elektromagnetyczne zależnie od długości fali (częstotliwości) przejawiają się jako (od fal najdłuższych do najkrótszych):

Pasmo	Długość [m]
Fale radiowe	>10^4
Mikrofale	10^4 - 3*10^-1
Podczerwień	7*10^-7 - 2*10^-3
Światło widzialne	4*10^-7 - 7*10^-7
Ultrafiolet	4*10^-7 - 10^-8
Promieniowanie rentgenowskie	10^-13 - 5*10^-8
Promieniowanie gamma	<10^-10

3. Odbicie światła. Współczynnik odbicia.

Przypomnienie kilku podstawowych wiadomości:

1. współczynnik załamania; bezwzględny i względny

n = c/v, n_2,1 = v₁/v₂ (27.1)

1. prawo odbicia i załamania: promień odbity i załamany leżą w jednej płaszczyźnie utworzonej przez promień padający i prostopadłą do powierzchni odbijającej w punkcie padania (normalna padania) tzn. W płaszczyźnie rysunku poniżej.

2. dla odbicia θ₁ = θ₁’

3. dla załamania

Prawa te można wyprowadzić z równań Maxwella, ale jest to matematycznie zbyt trudne. Jednak te prawa optyki można wyprowadzić w oparciu o prostą (ale ważną) zasadę odkrytą w 1650 r przez Pierre Fermata.

4. Załamanie światła. Prawo załamania światła. 5. Względny i bezwzględny współczynnik załamania. Dyspersja współczynnika załamania. 6. Całkowite wewnętrzne odbicie.

• Całkowite wewnętrzne odbicie

Światło padając na powierzchnię rozgraniczającą dwa ośrodki, częściowo się od niej odbija, częściowo zaś przechodzi do drugiego ośrodka, załamując się.

Promień padający pod kątem 50^o nie ulega załamaniu, a tylko odbiciu. Z tego wynika, że pomiędzy kątem 40 i 50 stopni musi być taki kąt padania, dla którego kąt załamania wynosi 90 ^o. Kąt ten nosi nazwę granicznego - i_gr. Prawo załamania dla naszego przypadku

można zapisać następująco: sin(i_gr) / sin(90^o) = 1 / n_2,1

Ponieważ sin(90^o)=1, więc sinus kąta granicznego wynosi: sin(i_gr)= 1 / n_2,1

Podstawiając pod n współczynnik załamania szkła względem powietrza otrzymujemy:

sin(i_gr)= 1 / 1,50 = 0,667

Kiedy sinus kąta jest równy 0,667, to kąt wynosi 41,8 stopni; czyli poszukiwana wartość kąta granicznego dla szkła wynosi 41,8 stopni. Jak pokazano na Rys. 7, przy takim kącie padania, promień załamany porusza się równolegle do powierzchni szkła. Jeśli kąt padania jest większy niż 41,8 stopni, to promień nie jest załamywany, ale całkowicie odbijany (jak pokazano na Rys. 6). Zjawisko to nosi nazwę całkowitego wewnętrznego odbicia.

Rys 7. Tutaj kąt padania jest równy granicznemu, więc promień załamany porusza się równolegle do powierzchni rozgraniczającej ośrodki

Przejście światła przez pryzmat, rozszczepienie światła białego

Pryzmatem nazywamy ciało przezroczyste dla światła (np. szkło, plastik) o nierównoległych ściankach. Kąt, pod jakim są nachylone te ściany nosi nazwę kąta łamiącego pryzmatu. Promień światła po przejściu przez pryzmat jest zawsze nachylony do jego podstawy - rysunek 9.

Rys. 9. Promień światła monochromatycznego po przejściu przez pryzmat.

 

Okazuje się, że światło po wyjściu z pryzmatu nie jest białe, ale zawiera wszystkie barwy tęczy - rysunek 10.

Rys. 10 Promień świetła białego po przejściu przez pryzmat.

Zawsze, niezależnie od kąta padania światła, kolor czerwony odchyla się najmniej od swojego pierwotnego kierunku, fioletowy najbardziej, a pozostałe barwy zajmują miejsca pośrednie pomiędzy tymi skrajnymi kolorami, co pokazuje
Rozłożenie światła na jego barwy składowe nazywamy rozszczepieniem, a obraz utworzony na ekranie - widmem (rysunek 12).

Rys. 12 Widmo światła białego.

 

Wytłumaczenie tego zjawiska może być tylko jedno: dla każdej barwy światła jest inny współczynnik załamania. Widać to dokładnie na Rysunku 13, który pokazuje bieg dwóch skrajnych promieni: czerwonego i niebieskiego (promienie te łatwo uzyskać po przepuszczeniu równoległej wiązki światła białego przez dwa filtry: czerwony i niebieski).

Rys. 13. Dwie równoległe wiązki światła o różnych barwach po przejściu przez pryzmat

Tabela 2 pokazuje różne współczynniki załamania dla poszczególnych barw w szkle, z którego najczęściej wykonywane są pryzmaty.

Barwa	Fioletowa	Niebieska	Zielona	Żółta	Pomarańczowa	Czerwona
Współ- czynnik	1.532	1.528	1.519	1.517	1.514	1.513

Tabela 2. Bezwzględne współczynniki załamania poszczególnych barw światła dla szkła

Zjawisko rozszczepiania światła białego podczas załamywania wpływa niekorzystnie na obrazy otrzymywane w wielu przyrządach optycznych (zła jakość obrazu, kolorowe obwódki, rozmycie konturów, itp.). Aby tego uniknąć stosuje się układ odwróconych pryzmatów, co ilustruje Rysunek 14.

Rys. 14. Po przejściu przez drugi pryzmat światło znów staje się białe.

Dyspersja światła jest to zależność współczynnika załamania od długości fali świetlnej. Zgodnie z tym co zostało wcześniej powiedziane, jest to zależność prędkości rozchodzenia się światła w ośrodku od długości jego fali.Uproszczony sposób wyznaczania współczynnika załamania opiera się na wyzyskaniu zjawiska całkowitego wewnętrznego odbicia światła. Ma ono miejsce wówczas, gdy promień świetlny biegnie ze środowiska optycznie gęstszego do rzadszego, np. z wody do powietrza, przy czym pada na powierzchnię graniczną pod kątem większym od tzw. kąta granicznego. Jest to taki kąt padania w środowisku optycznie gęstszym, dla którego kąt załamania w środowisku rzadszym wynosi 90°. Ze względu na zasadę odwracalności biegu promienia świetlnego napiszemy:n_1,2=sin90^o/sinβ_gr=1/sinβ_gr (1)

β_gr jest katem granicznym.

 Zjawisko to nosi nazwę odbicia całkowitego, ponieważ w promieniu odbitym zawiera się całkowita energia promienia padającego.

Opierając się na równaniu (l) możemy w prosty sposób znaleźć współczynnik załamania n, wyznaczając doświadczalnie kąt graniczny β_g . Na tej zasadzie oparta jest budowa refraktometrów. Służą one przede wszystkim do wyznaczania współczynników załamania cieczy. Można również dokonywać nimi pomiarów współczynników załamania ciał stałych

7. Generacja światła „naturalnego” (niespolaryzowanego).

8. Polaryzacja liniowa światła.

W fali spolaryzowanej liniowo oscylacje zaburzenia odbywają się w jednej płaszczyźnie, w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali.

Płaską falę rozchodzącą się w kierunku z, a spolaryzowaną liniowo w dowolnym kierunku, można przedstawić jako superpozycję dwóch fal spolaryzowanych liniowo w kierunkach x i y. Fale składowe są w zgodnej fazielub w przeciwfazie (przesunięte o 180°), a ich stosunek amplitud określa kierunek polaryzacji powstającej w wyniku takiej superpozycji fali wypadkowej.

9. Przejście wiązki światła przez polaryzator liniowy. Prawo Malusa.

Polaryzacja to własność fali poprzecznej (np. światła). Fala spolaryzowana oscyluje tylko w pewnym wybranym kierunku. Fala niespolaryzowana oscyluje we wszystkich kierunkach jednakowo. Fala niespolaryzowana może być traktowana jako złożenie wielu fal drgających w różnych kierunkach.

W naturze większość źródeł promieniowania elektromagnetycznego wytwarza fale niespolaryzowane. Polaryzacja występuje tylko dla fal rozchodzących się w ośrodkach, w których drgania ośrodka mogą odbywać się w dowolnych kierunkach prostopadłych do rozchodzenia się fali. Ośrodkami takimi są trójwymiarowa przestrzeń lub struna.

Gdy ośrodek fali nie może drgać w dowolnych kierunkach prostopadłych względem rozchodzenia się fali zjawisko polaryzacji jest niemożliwe. Dotyczy to np.: drgań na powierzchni membrany i na granicach faz. Przykładem tego są m.in. fale morskie. Fale dźwiękowe również nie podlegają zjawisku polaryzacji, bo są falami podłużnymi.

Prawo Malusa - prawo określające natężenie światła po przejściu przez polaryzator.Natężenie światła spolaryzowanego liniowo po przejściu przez idealny polaryzator optyczny jest równe iloczynowi natężenia światła padającego i kwadratu cosinusa kąta między płaszczyzną polaryzacji światła padającego a płaszczyzną światła po przejściu przez polaryz

10. Metody otrzymywania światła spolaryzowanego liniowo (odbicie, rozpraszanie, selektywne

pochłanianie).

• fale płaskie Najłatwiej jest sobie wyobrazić polaryzację płaskich fal sinusoidalnych. W większości przypadków światło to fale płaskie. Płaska fala elektromagnetyczna cechuje się tym, że wektory pola magnetycznego oraz elektrycznego prostopadłe do siebie leżą w jednej płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji fali, wektory te są zależne od siebie i podanie jednego jednoznacznie określa drugi dlatego przyjmuje się, że polaryzacja światła to zjawisko związane wyłącznie z wektorem pola elektrycznego. Wektor ten można rozłożyć na dwie składowe prostopadłe do siebie. Zmiany tych składowych można opisać funkcjami sinusoidalnymi, a zatem wystarczy podać ich fazę, amplitudę oraz częstotliwość, aby je jednoznacznie zdefiniować, przy czym obie składowe wektora pola elektrycznego zawsze mają taką samą częstotliwość, która odpowiada częstotliwości analizowanej fali elektromagnetycznej.

• Rodzaje polaryzacji

Umieszczone tutaj ilustracje przedstawiają zmiany położenia punktu dla fali mechanicznej lub wektora pola elektrycznego dla fali elektromagnetycznej (niebieski) w czasie oraz jego składowych rzutowanych na dwie prostopadłe osie (czerwony/lewy oraz zielony/prawy) ustawione pod kątem prostym do płaszczyzny czoła fali. Na dole każdego wykresu kolorem fioletowym oznaczono ruch elementu drgającego.Przypadek po lewej, to polaryzacja liniowa, drganie odbywa się wzdłuż linii prostej. Każde drganie można przedstawić jako sumę drgań wzdłuż osi X i Y. W przypadku polaryzacji liniowej drgania składowe są w fazie lub w przeciwfazie (180°). Stosunek amplitud drgań składowych określa kierunek drgania a tym samym i polaryzację. Brak jednej ze składowych odpowiada polaryzacji wzdłuż osi. W polaryzacji liniowej przemieszczenie (natężenie pola elektrycznego) punktu w każdym cyklu przechodzi dwa razy przez zero.

11. Częściowa polaryzacja liniowa. Stopień polaryzacji liniowej.

12. Aktywność optyczna substancji „czystych” i roztworów. Dyspersja aktywności optycznej.

Aktywność optyczna lub czynność optyczna - własność niektórych związków chemicznych polegająca na zdolności skręcania płaszczyzny światła spolaryzowanego.

Warunkiem koniecznym występowania czynności optycznej cząsteczek jest ich chiralność cząsteczek czyli istnienie w formie dwóch nienakładalnych enancjomerów. Nie wszystkie cząsteczki chiralne wykazują jednak czynność optyczną. Aby ją wykazywać w zauważalnym stopniu chiralne cząsteczki muszą posiadać silnie spolaryzowane wiązania chemiczne blisko centrum chiralności lub posiadać przy tym centrum znacząco różne podstawniki.

Skręcalność optyczna jest funkcją długości fali światła. Znane są cząsteczki które dla jednej długości fali skręcają światło w lewo a dla innej w prawo a jeszcze innej długości w ogóle nie skręcają. Określona czynność optyczna nie przekłada się więc bezpośrednio na określoną konfigurację przestrzenną cząsteczek. Z budowy przestrzennej cząsteczki

13. Spójność światła.

Fala to zaburzenie, które się rozprzestrzenia w ośrodku lub przestrzeni. Fale przenoszą energię z jednego miejsca do drugiego bez transportu jakiejkolwiek materii. W przypadku fal mechanicznych cząsteczki ośrodka, w którym rozchodzi się fala, oscylują wokół położenia równowagi

Koherencja fal - (spójność fal) właściwość kilku fal wiązana pierwotnie ze zjawiskiem interferencji fal. Uznawano, że fale są spójne, jeśli fale składowe dają stały w czasie obraz interferencyjny. Gdy opracowano metody generowania i detekcji fal o bardzo krótkim czasie trwania problem spójności zaczęto rozpatrywać jak problem statystyczny.

W ujęciu tradycyjnym Koherencja to miara stałości różnicy faz dwóch fal, gdy zachodzi w dwóch punktach przestrzeni to jest to koherencja przestrzenna f(P1,P2), gdy w jednym punkcie przestrzeni w pewnym czasie to jest to koherencja czasowa f(Pt1, t1 + τ).

Koherencja czasowa – określa zdolność do interferencji w danym punkcie przestrzeni dwóch fal świetlnych wychodzących z tego samego źródła światła i biegnących w tym samym kierunku, lecz w różnych chwilach czasu.

Koherencja przestrzenna – jest wielkością charakteryzującą, zależność między fazami fal pola elektromagnetycznego w różnych punktach przestrzeni w danym momencie czasu

14. Dyfrakcja fali płaskiej na szczelinie.

Rysunek pokazuje falę płaską padającą prostopadle na szczelinę o szerokości a. Rozpatrzmy punkt środkowy P₀ ekranu. Równoległe promienie przebywają do tego punktu te same drogi optyczne (różne geometryczne) tzn. promienie zawierają tę samą ilość długości fal (soczewki cienkie). Ponieważ w szczelinie promienie są zgodne w fazie to po przebyciu takich samych dróg optycznych nadal pozostają zgodne w fazie. Dlatego w środkowym punkcie P₀ będzie maksimum.

Rozpatrzmy teraz inny punkt P₁ na ekranie. Promienie docierające do P₁ wychodzą ze szczeliny pod kątem θ. Jeden promień ma początek u góry szczeliny a drugi w jej środku. (Promień xP₁ przechodzi przez środek soczewki więc nie jest odchylany).

Jeżeli wybierzemy punkt P₁ tak, żeby różnica dróg bb’ wynosiła λ/2 to promienie zgodne w fazie w szczelinie będą miały w punkcie P₁ fazy przeciwne i wygaszą się. Podobnie każdy inny promień wychodzący z górnej połowy szczeliny będzie się wygaszał z odpowiednim promieniem z dolnej połówki leżącym w odległości a/2 poniżej. Punkt P₁ będzie miał natężenie zerowe (pierwsze minimum dyfrakcyjne). Warunek opisujący to minimum ma następującą postać

czyli

asinθ = λ

Uwaga: Gdyby szerokość szczeliny była równa λ wtedy pierwsze minimum pojawiłoby się dla θ = 90° czyli środkowe maksimum wypełniłoby cały ekran. W miarę rozszerzania szczeliny środkowe maksimum staje się węższe. (Podobnie było dla interferencji Younga w miarę zmiany odległości między szczelinami punktowymi). Podobne rozważania możemy powtórzyć dla wielu punktów szczeliny i otrzymamy ogólne wyrażenie dla minimów obrazu dyfrakcyjnego w postaci

asinθ = mλ, m = 1, 2, 3,...... (minimum) (29.1)

Mniej więcej w połowie między każdą para sąsiednich minimów występują oczywiście maksima natężenia.

15. Dyfrakcja fali płaskiej na siatce dyfrakcyjnej. Dyspersja kątowa siatki.

Siatka dyfrakcyjna, układ przeszkód dla fal rozmieszczonych w przestrzeni (siatka dyfrakcyjna przestrzenna) lub na powierzchni (siatka dyfrakcyjna powierzchniowa), periodycznie (siatka dyfrakcyjna regularna) albo przypadkowo (siatka dyfrakcyjna nieregularna). Na przeszkodach zachodzi zjawisko dyfrakcji (stąd nazwa siatki), a powstające w jej wyniku ugięte fale są spójne i interferują ze sobą (interferencja fal) Dla światła najczęściej stosuje się siatkę dyfrakcyjną powierzchniową regularną, wykonaną przez nacinanie diamentowym rylcem powierzchni szklanej (siatka dyfrakcyjna transmisyjna) lub metalicznej (siatka dyfrakcyjna odbiciowa). Siatki dyfrakcyjne charakteryzuje się podając liczbę rys przypadających na 1 mm siatki lub odległość pomiędzy nimi (tzw. stała siatka dyfrakcyjna).Zjawisko dyfrakcji szczególnie efektywnie zachodzi w przypadku przeszkód, których rozmiary są porównywalne z długością padającej fali, dlatego dla ultrafioletu (ultrafioletowe promieniowanie) stosuje się siatki dyfrakcyjne o gęstości 1200 rys/mm, dla światła widzialnego - 600 rys/mm, a dla podczerwieni - 1-300 rys/mm. Dla promieniowania rentgenowskiego siatką dyfrakcyjną przestrzenną jest kryształ (Braggów-Wulfa warunek). Stała siatki dyfrakcyjnej określa jej dyspersję kątową dϕ/dλ - tj. wielkość charakteryzującą zmianę kąta ugięcia ϕ promienia świetlnego na siatce wraz ze zmianą długości fali światła λ - która wyrażona jest równaniem:

gdzie m (tzw. rząd widma) jest liczbą naturalną określającą różnicę faz interferujących ze sobą promieni, podaną w okresach drgań tej fali. Siatkę dyfrakcyjną wynalazł J. von Fraunhofer. Wykorzystuje się ją wspektrometrach optycznych.

16. Jądro atomowe – nukleony, oddziaływania w jądrze atomowym. Izotopy.

Jądro atomowe to centralna część atomu zbudowana z jednego lub więcej protonów i neutronów, zwanych nukleonami. Jądro stanowi niewielką część objętości całego atomu, jednak to w jądrze skupiona jest prawie cała masa. Przemiany jądrowe mogą prowadzić do powstawania ogromnych ilości energii. Niewłaściwe ich wykorzystanie może stanowić zagrożenie dla środowiska.

Nukleony to wspólna nazwa protonów i neutronów. Są to podstawowe cząstki tworzące jądro atomu, same zaś składają się z kwarków, choć przez obecne teorie cząstek nie są uznawane za cząstki elementarne, ale z historycznych względów zalicza się je do cząstek elementarnych.

Siły jądrowe - siły, które wiążą ze sobą protony i neutrony w jądrze atomowym. Są szczególnym przypadkiem oddziaływań silnych.Ich właściwości:

• krótki zasięg (rzędu femtometrów)

• poniżej 0,5 nm są odpychające, powyżej przyciągające

• w przybliżeniu siły p-p, n-p i n-n są równe

Izotopy - odmiany pierwiastków chemicznych, różniące się liczbą neutronów w jądrach, a tym samym i liczbą masową. Atomy danego pierwiastka (o określonej liczbie protonów) będące różnymi izotopami różnią się liczbą masową (liczba neutronów i protonów w jądrze), różne izotopy mają niemal identyczne własności chemiczne.

Jądro atomu zawiera dwa rodzaje cząsteczek: protony i neutrony, które w przybliżeniu mają tę samą masę (neutron jest o 0,2% masywniejszy od protonu). Proton posiada ładunek +e, a neutron nie ma ładunku. Liczba protonów Z jest liczbą atomową atomu, jest to jednocześnie ilość elektronów w atomie. Liczba neutronów N jest w przybliżeniu równa Z dla lekkich jąder i jest narastająco większa od Z dla cięższych jąder. Całkowita ilość nukleonów (protonów i neutronów) A = N + Z nazywa się liczbą masową. Dwa lub więcej jąder posiadających tę samą liczbę Z, ale różną liczbę N i A nazywają się izotopami. Określone jądro zapisuje się stosując symbol chemiczny plus indeks górny równy A (¹H – wodór, ²H + deuteron zawierający proton i neutron, ³H – tryton zawierający proton i dwa neutrony). Wewnątrz jądra atomowego nukleony podlegają działaniu silnych sił przyciągających o strony swoich sąsiadów. Oddziaływania te nazywają się oddziaływaniami silnymi i są znacznie większe niż siły elektrostatycznego odpychania między protonami. Silne oddziaływania występujące między dwoma neutronami, dwoma protonami i neutronem i protonem są w przybliżeniu takie same. Dwa protony podlegają oczywiście siłom odpychania z powodu jednoimiennych ładunków, które to siły próbują osłabić oddziaływanie silne w jądrze. Siły jądrowe maleją gwałtownie wraz z odległością i można je zaniedbać kiedy nukleony znajdują się w odległości większej niż kilka fm (fm – femtometr = 10^-15m, lub inna nazwa 1 fermi).

18. Przemiana alfa. Widmo rozpadu alfa.

Rozpad alfa (przemiana α) – reakcja jądrowa rozpadu, w której emitowana jest cząstka α (jądro helu ). Strumień cząstek alfa emitowanych przez rozpadające się jądra atomowe nazywa się promieniowaniem alfa.

W wyniku rozpadu alfa powstające jądro ma mniejszą o 2 liczbę atomową a liczbę masową mniejszą o 4 w porównaniu z rozpadającym się jądrem.

.

19. Przemiana beta. Widmo rozpadu beta. Neutrino. 20. Przemiana gamma. Widmo rozpadu gamma.21. Datowanie metodą C14.

22. Energia wiązania jądra atomowego. Energia wiązania na jeden nukleon. Bilans energii

podczas rozpadów i syntezy jąder.

Energia wiązania jądra atomowego określa energię potrzebną do rozdzielenia jądra atomowego na protony i neutrony. Energia wiązania jest ważnym kryterium decydującym o trwałości jądra atomowego.

Przy obliczeniu masy jądra atomowego według wzoru : , dojdziemy do wniosku, że jest ona mniejsza od masy odczytanej z tablicy Mendelejewa. Niedobór masy związany jest z energią wiązania. Energię tę wyliczymy ze wzoru: . W przeliczeniu : 1 jednostka atomowa jest równa 931 megaelektronowoltom. Ta energia to energia wiązania - energia, która wydzieli się podczas łączenia nukleonów w jądra atomowe, lub którą należy dostarczyć aby podzielić jądro na nukleony.

Energia właściwa - energia wiązania atomowego przypadająca na jeden nukleon : . Najważniejsza krzywa świata :

Oznaczenia

A - określa ilość nukleonów w jądrze (suma protonów i neutronów) (zob.pkt.28.9); ΔE - energia wiązania; E_W - energia właściwa.

23. Rozszczepienie jądra. Reakcja łańcuchowa. Współczynnik powielania neutronów. Masa

krytyczna.

Rozszczepienie jąder atomowych to reakcja, w wyniku której z jednego ciężkiego jądra na skutek zderzenia z neutronem powstają dwa mniejsze jądra o prawie takiej samej masie, które uzyskują wielką szybkość i tym samym ogromną energię kinetyczną. W tym procesie emitowane są dodatkowo dwa lub trzy swobodne neutrony, które zderzając się z kolejnymi jądrami wywołują lawinowo ich rozszczepienie. W wyniku reakcji łańcuchowej zainicjowanej przez jeden neutron wyzwala się energia jądrowa, którą jest energia kinetyczna produktów rozszczepienia. Reakcji rozszczepienia jąder towarzyszy emisja promieniowania gamma. W wyniku rozszczepienia jąder uranu powstają, jako produkty rozszczepienia, jądra kryptonu i baru oraz trzy swobodne neutrony, które powodują rozszczepienie kolejnych jąder uranu.
Rozszczepienie jąder uranu U-235 zachodzące w sposób kontrolowany jest źródłem ciepła, które jest wykorzystywane w elektrowniach jądrowych. W sposób niekontrolowany rozszczepienie jąder uranu zachodzi w bombach atomowych.
Rozszczepienie jąder jest możliwe dzięki zależności energii wiązania przypadającej na jeden nukleon od liczby wszystkich nukleonów w jądrze, przedstawionej na rysunku: Ta zależność nazwana została „najważniejszą krzywą świata”. Wynika z niej, że jądra o małej i dużej masie (o małej i dużej liczbie nukleonów w jądrze) mają niższą energię przypadającą na jeden nukleon, niż jądra o średniej masie. Jądro o małej energii wiązania przypadającej na jeden nukleon w wyniku rozszczepienia pr

Reakcja łańcuchowa. reakcja rozszczepienia przebiegająca samorzutnie, z dodatnim sprzężeniem zwrotnym (w bombie jądrowej) lub w sposób kontrolowany (w reaktorze jądrowym). W procesie rozszczepienia jądra emitowanych jest od 1 do 4 neutronów, wydziela się również olbrzymia ilości energii. Reakcja łańcuchowa zachodzi, gdy neutrony te wywołują dalsze rozszczepienia.