Analiza wariancji dwuczynnikowej

W przypadku wieloczynnikowej analizy wariancji mamy do czynienia
z przynajmniej dwoma czynnikami. Najczęściej spotykanym modelem jest model dwuczynnikowy (dwuczynnikowa analiza wariancji), choć tych czynników może być znacznie więcej.

Stosując wieloczynnikową analizę wariancji chcemy sprawdzić wpływ kilku czynników (zmiennych niezależnych) na zmienną zależną.

Wieloczynnikowy model analizy wariancji dostarcza o wiele więcej informacji niż zwykła, jednoczynnikowa analiza wariancji, czy też porównania testami t-Studenta. Ponadto, gdy badamy, czy dany czynnik wpływa na zmienną zależną, to wprowadzenie kolejnego czynnika może dostarczyć nam bardzo cennych informacji, tj. efekt interakcji i zmienić nasz pogląd na badane zjawisko. 

Zadanie:

Niektóre bakterie produkują charakterystyczne barwniki. Przeprowadzono eksperyment, gdzie hodowano cztery różne gatunki bakterii (Pseudomonas aeruginosa –S1; Escherichia vulneris- S2; Bacillus subtilis-S3; Streptococcus pyogenes- S4) na dwóch różnych podłożach (LB
i TSB). Dla każdej kombinacji bakteria-podłoże wykonano cztery niezależne od siebie powtórzenia. Zbadać czy średnia ilość produkowanych barwników różnią się w zależności od gatunku bakterii i podłoża, na jakich zostały one hodowane oraz czy występuje ewentualna interakcja bakteria-podłoże.

Do obliczeń używamy programu R w wersji 3.1.2, a za poziom istotności wykonywanej analizy przyjmujemy α= 0,05.

Założenia analizy wariancji

H₀: Produkcja barwników przez wszystkie gatunki bakterii jest identyczna.

H₁: Istnieje różnica w produkcji barwników dla przynajmniej dwóch gatunków bakterii.

1. Wczytywanie danych

dane<-read.csv2("F:/projekt/dane3_bakterie.csv")

dane

podloze gat_bakterii ilosc_barwnika

1 LB S1 1.787

2 LB S1 2.325

3 LB S1 1.256

4 LB S1 2.315

5 LB S2 1.100

6 LB S2 1.326

7 LB S2 0.965

8 LB S2 1.132

9 LB S3 1.563

10 LB S3 2.423

11 LB S3 1.973

12 LB S3 1.756

13 LB S4 0.013

14 LB S4 0.102

15 LB S4 0.062

16 LB S4 0.056

17 TSB S1 1.962

18 TSB S1 2.625

19 TSB S1 1.654

20 TSB S1 2.514

21 TSB S2 1.325

22 TSB S2 1.635

23 TSB S2 1.389

24 TSB S2 1.374

25 TSB S3 1.986

26 TSB S3 2.648

27 TSB S3 2.364

28 TSB S3 2.214

29 TSB S4 0.026

30 TSB S4 0.326

31 TSB S4 0.095

32 TSB S4 0.132

attach(dane)

2. Obliczenie odchyleń standardowych z podziałem na gatunki bakterii

by(ilosc_barwnika,gat_bakterii,sd)

gat_bakterii: S1

[1] 0.4714348

------------------------------------------------------------

gat_bakterii: S2

[1] 0.2085349

------------------------------------------------------------

gat_bakterii: S3

[1] 0.3627551

------------------------------------------------------------

gat_bakterii: S4

[1] 0.09894876

Największe odchylenie standardowe jest w grupie bakterii Pseudomonas aeruginosa (S1), natomiast najmniejsze odchylenie standardowym charakteryzuje się grupa bakterii z gatunku Streptococcus pyogenes (S4).

3. Obliczenie ogólnej średniej ilości produkowanego przez bakterie barwnika (bez podziału bakterii na gatunki)

mean(ilosc_barwnika)

[1] 1.388219

4. Obliczenie ogólnej średniej ilości produkowanego przez bakterie barwnika z podziału na gatunki bakterii

by(ilosc_barwnika,gat_bakterii,mean)

gat_bakterii: S1

[1] 2.05475

------------------------------------------------------------

gat_bakterii: S2

[1] 1.28075

------------------------------------------------------------

gat_bakterii: S3

[1] 2.115875

------------------------------------------------------------

gat_bakterii: S4

[1] 0.1015

Największa średnia ilość produkowanego barwnika jest w grupie Bacillus subtilis (S3), natomiast najmniejsza w Streptococcus pyogenes (S4).

5. Tabelaryzacja średnich ilości produkowanych przez bakterie barwników

model.tables(aov(ilosc_barwnika~gat_bakterii),type="means")

Tables of means

Grand mean

1.388219

gat_bakterii

gat_bakterii

S1 S2 S3 S4

2.0548 1.2808 2.1159 0.1015

6. Badanie równości wariancji za pomocą testu Levence’a

δ² S1- wariancja średniej odpowiedzi dla S1

δ² S2 -wariancja średniej odpowiedzi dla S2

δ²S3 - wariancja średniej odpowiedzi dla S3

δ²S4 - wariancja średniej odpowiedzi dla S4

H₀: Wszystkie wariancje są identyczne.

H₁: Przynajmniej jedna wariancja różni się od pozostałych.

(pobranie pakietu car, w którym znajduje się test levence)

Packages → Install package(s) → car →OK

library(car)

leveneTest(ilosc_barwnika~gat_bakterii,center="mean")

Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = "mean")

Df F value Pr(>F)

group 3 0.4075 0.7488

28

Z uzyskanej analizy uzyskaliśmy p-value równe 0,7488. Jest ona większa od ustalonego poziomu istotności α = 0,05, zatem przyjmujemy hipotezę zerową, a odrzucamy hipotezę alternatywną. Oznacza to, że obliczona wartość nie jest statystycznie istotna, a wariancje są identyczne (są homogeniczne), zatem można dalej przeprowadzać analizę wariancji.

Zbadaną wartość wariancji można jeszcze sprawdzić poprzez zastosowanie testu Bartlett’a, jednak w tym celu należy wcześniej sprawdzić normalność składnika losowego.

9. Sprawdzenie normalność składnika losowego epsilon Ɛ

model<-aov(ilosc_barwnika~gat_bakterii)

str(model)

model$residuals

1 2 3 4 5 6 7 8

-0.305750 0.232250 -0.532750 0.222250 0.292500 0.120500 0.259500 0.426500

9 10 11 12 13 14 15 16

0.322125 0.182125 -0.267875 -0.484875 0.025250 -0.295750 -0.325750 -0.731750

17 18 19 20 21 22 23 24

-0.130750 0.532250 -0.438750 0.421250 -0.380500 -0.070500 -0.316500 -0.331500

25 26 27 28 29 30 31 32

-0.254875 0.407125 0.123125 -0.026875 0.038250 1.338250 0.107250 -0.155750

10. Zbadanie normalności składnika losowego za pomocą testu Shapiro- Wilka

H₀: Występuje normalność rozkładu reszt.

H₁: Reszty nie podlegają rozkładowi normalnemu.

shapiro.test(model$residuals)

Shapiro-Wilk normality test

data: model$residuals

W = 0.937, p-value = 0.0614

Z uzyskanej analizy uzyskaliśmy p-value równe 0,0614. Jest ona większa od ustalonego poziomu istotności α= 0,05, zatem przyjmujemy hipotezę zerową, a odrzucamy hipotezę alternatywną. W takim przypadku można wykonać test Bartlett’a, który sprawdzenia homogeniczność wariancji.

11. Sprawdzenie homogeniczności wariancji za pomocą testu Bartlett’a

H₀: Wszystkie wariancje są identyczne.

H₁: Przynajmniej jedna wariancja różni się od pozostałych.

bartlett.test(ilosc_barwnika~gat_bakterii)

Bartlett test of homogeneity of variances

data: ilosc_barwnika by gat_bakterii

Bartlett's K-squared = 4.0483, df = 3, p-value = 0.2563

Z uzyskanej analizy uzyskaliśmy p-value równe 0,2563. Jest ona większa od α (0,05), zatem przyjmujemy hipotezę zerową, a odrzucamy hipotezę alternatywną. Przeprowadzony test potwierdził, że wariancje są homogeniczne.

summary(model)

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

gat_bakterii 3 1.227 0.4089 2.241 0.105

Residuals 28 5.108 0.1824

Tabela analizy wariancji

Źródło zmienności	Liczba stopni swobody	Suma kwadratów	Średni kwadrat	Statystyka testowa F	p-wartość
Czynniki eksperymentalne (metoda)	3	1,227	0,4089 Zróżnicowanie między grupami- MSA czy MS between	2,241	0,105
Czynnik losowy (naturalna zmienność wewnątrz grup)	28	5,108	0,1824 Zróżnicowanie wewnątrz grup

Z uzyskanej analizy uzyskaliśmy p-wartość równą 0,105. Jest ona większa od α (0,05), zatem przyjmujemy hipotezę zerową, a odrzucamy hipotezę alternatywną. Oznacza to, że wariancje są homogeniczne (podobnie jak we wcześniejszej analizie).

12. Wizualizacja średnich kwadratów w analizie wariancji

granova.1w(ilosc_barwnika,gat_bakterii)

$grandsum

Grandmean df.bet df.with MS.bet MS.with

2.01 3.00 28.00 0.41 0.18

F.stat F.prob SS.bet/SS.tot

2.24 0.11 0.19

$stats

Size Contrast Coef Wt'd Mean Mean Trim'd Mean Var. St. Dev.

S2 8 -0.30 1.71 1.71 1.70 0.10 0.32

S4 8 -0.02 1.99 1.99 1.89 0.37 0.60

S1 8 0.09 2.09 2.09 2.09 0.16 0.41

S3 8 0.23 2.24 2.24 2.25 0.10 0.31

Niebieski kwadrat (średni kwadrat wewnątrz grup zmienność czynnika losowego), czerwony (średni kwadrat pomiędzy grupami zmienność czynnika eksperymentalnego).

Jeżeli czerwony kwadracik jest dużo większy( ok 6 razy) od niebieskiego to słuszne jest żeby odrzucić hipotezę zerową wariancji, jednak w naszym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

13. Test Kruskalla- Wallisa

H₀: Wartości przeciętne (mediany) produkcji barwników są identyczne we wszystkich grupach.

H₁: Co najmniej dwie grupy różnią się względem mediany plonów.

kruskal.test(ilosc_barwnika~gat_bakterii)

Kruskal-Wallis rank sum test

data: ilosc_barwnika by gat_bakterii

Kruskal-Wallis chi-squared = 7.0085, df = 3, p-value = 0.07163

P- wartość przeprowadzonego testu wynosi 0,07163, jest zatem większa od ustalonego poziomu istotności α =0,05. W związku z tym nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, co oznacza, że mediany produkcji barwników są identyczne we wszystkich grupach.

14. Rangi dla ilości produkowanego barwnika

ilosc_barwnika

[1] 1.787 2.325 1.560 2.315 1.998 1.826 1.965 2.132 2.563 2.423 1.973 1.756

[13] 2.013 1.692 1.662 1.256 1.962 2.625 1.654 2.514 1.325 1.635 1.389 1.374

[25] 1.986 2.648 2.364 2.214 2.026 3.326 2.095 1.832

rank (ilosc_barwnika)

[1] 11 25 5 24 18 12 15 22 29 27 16 10 19 9 8 1 14 30 7 28 2 6 4 3 17

[26] 31 26 23 20 32 21 13

Przypisanie każdej wartości odpowiadającej jej rangi.

sort (ilosc_barwnika)

[1] 1.256 1.325 1.374 1.389 1.560 1.635 1.654 1.662 1.692 1.756 1.787 1.826

[13] 1.832 1.962 1.965 1.973 1.986 1.998 2.013 2.026 2.095 2.132 2.214 2.315

[25] 2.325 2.364 2.423 2.514 2.563 2.625 2.648 3.326

Wartości posortowane są rosnąco.

sumy rang dla poszczególnych grup

by (rank(ilosc_barwnika),gat_bakterii,sum)

gat_bakterii: S1

[1] 144

------------------------------------------------------------

gat_bakterii: S2

[1] 82

------------------------------------------------------------

gat_bakterii: S3

[1] 179

------------------------------------------------------------

gat_bakterii: S4

[1] 123

by(ilosc_barwnika,gat_bakterii,sum)

gat_bakterii: S1

[1] 16.742

------------------------------------------------------------

gat_bakterii: S2

[1] 13.644

------------------------------------------------------------

gat_bakterii: S3

[1] 17.927

------------------------------------------------------------

gat_bakterii: S4

[1] 15.902

Dwuwymiarowa analiza wariancji

anova(lm(ilosc_barwnika~gat_bakterii+podloze+gat_bakterii:podloze))

Analysis of Variance Table

Response: ilosc_barwnika

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

gat_bakterii 3 1.2266 0.40886 2.7893 0.06231 .

podloze 1 0.0928 0.09277 0.6329 0.43409

gat_bakterii:podloze 3 1.4975 0.49917 3.4054 0.03385 *

Residuals 24 3.5180 0.14658

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

0.03385 jest mniejsze od alfy więc wystąpiła statystycznie istotna interakcja między gatunkiem bakterii i podłożem.

robimy wykres interakcji

interaction.plot(gat_bakterii,podloze,ilosc_barwnika,ylab="średni ilosc_barwnika")

Występuje interakcja ponieważ linie się przecinają.

zamieniamy linie osi

interaction.plot(podloze,gat_bakterii,ilosc_barwnika,ylab="średni ilosc_barwnika")

plot.design(ilosc_barwnika~gat_bakterii+podloze+gat_bakterii:podloze)

tapply (ilosc_barwnika,gat_bakterii:podloze,mean)

S1:LB S1:TSB S2:LB S2:TSB S3:LB S3:TSB S4:LB S4:TSB

1.99675 2.18875 1.98025 1.43075 2.17875 2.30300 1.65575 2.31975

by(ilosc_barwnika,gat_bakterii:podloze,mean)

gat_bakterii:podloze: S1:LB

[1] 1.99675

------------------------------------------------------------

gat_bakterii:podloze: S1:TSB

[1] 2.18875

------------------------------------------------------------

gat_bakterii:podloze: S2:LB

[1] 1.98025

------------------------------------------------------------

gat_bakterii:podloze: S2:TSB

[1] 1.43075

------------------------------------------------------------

gat_bakterii:podloze: S3:LB

[1] 2.17875

------------------------------------------------------------

gat_bakterii:podloze: S3:TSB

[1] 2.303

------------------------------------------------------------

gat_bakterii:podloze: S4:LB

[1] 1.65575

------------------------------------------------------------

gat_bakterii:podloze: S4:TSB

[1] 2.31975