Doświadczenie M5 – WYZNACZENIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA

1. Wstęp teoretyczny.

Odkształcenie jest to zmiana wzajemnych odległości pomiędzy punktami ciała, powstająca w wyniku naprężeń spowodowanych przez rozciąganie, ściskanie, zginanie lub skręcanie ciał. Wyróżnia się odkształcenia sprężyste, gdy odkształcenie zanika po ustaniu naprężenia, i odkształcenia plastyczne.

Zmianę odległości międzycząsteczkowych powoduje siła odkształcająca, której przeciwstawiają się siły zewnętrzne. Wypadkowa tych sił jest wprost proporcjonalna do makroskopowych zmian wymiarów ciała.

Zjawisko odkształcenia ujmuje ilościowo prawo Hooke’a:

p = k • α

p – naprężenie

α – odkształcenie względne

k – moduł sprężystości

Najprostsze odkształcenie wywołane jest podłużnym rozciąganiem lub jednostronnym ściskaniem. Dla tych odkształceń prawo Hooke’a można zapisać jako:

$$\frac{F_{n}}{S} = E\frac{L}{L}$$

S – przekrój poprzeczny pręta

ΔL – zmiana długości pręta

L – długość pręta w przypadku braku działania sił zewnętrznych

Z prawem Hooke’a związany jest bezpośrednio moduł Younga. Jest to wielkość określająca sprężystość materiału:

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$$

σ – naprężenie

ε – względne odkształcenie liniowe

Związek pomiędzy modułem Younga a strzałką ugięcia s:

$$E = \ \frac{F \bullet I^{3}}{{3SI}_{s}}$$

I_s = powierzchniowy moment bezwładności

1. Pomiary

Aby poprawnie dokonać pomiaru, należało najpierw zważyć wszystkie obciążniki. Następnie zmierzono odległość pomiędzy punktami pręta, wyznaczono szerokość i wysokość tych prętów. W połowie długości pręta umieszczony został czujnik mikrometryczny. Pręt został obciążony w połowie długości, poprzez dokładanie po jednym obciążniku. Po dołożeniu każdego obciążnika zapisywane było wskazanie czujnika mikrometrycznego. Pomiary powtórzono dla trzech prętów, pięć razy.

L – odległość między punktami podparcia pręta [cm]

a – szerokość [cm]

h – wysokość [cm]

Pręt nr. 1

L	90
a	1,01
h	1,01

Pręt nr. 2

L	90
a	1
h	0,8

Pręt nr.3

L	90
a	0,8
h	0,8

Wyniki pomiarów.

Obciążenie – P [N]

Dociążenie, odciążenie – strzałka ugięcia [mm × 10^-2]

Stosunek $\frac{P}{H}$ - [$\frac{N}{m}$]

Moduł E – [GPa]

Pręt nr 1

Nr pomiaru	Obciążenie	Dociążenie	Odciążenie	Stosunek P/H	Moduł E
1	0,49	8,2	10	538,46	102,12
2	0,97	17,8	18,8	530,05	100,52
3	1,48	27,8	26,8	542,12	102,81
4	1,97	37	35,4	544,2	103,21
5	2,46	45,2	44,6	547,88	103,91
6	2,96	53,8	54,4	547,13	103,76
7	3,49	63	64,2	548,74	104,07
8	3,94	74,6	73,8	530,1	100,53
9	4,43	82,6	83	535,02	101,47
10	4,93	92,4	92,4	533,55	101,19

Pręt nr 2

Nr pomiaru	Obciążenie	Dociążenie	Odciążenie	Stosunek P/H	Moduł E
1	0,49	8,8	10,4	510,42	181,69
2	0,97	15,8	18,6	563,95	200,74
3	1,48	25,8	27,6	554,31	197,31
4	1,97	36,4	37,4	533,88	190,04
5	2,46	46,6	46	531,32	189,13
6	2,96	56,2	55,6	529,52	188,49
7	3,49	65	64,2	540,25	192,31
8	3,94	74	73,2	535,33	190,55
9	4,43	83,2	83	533,1	189,76
10	4,93	92,4	92,4	533,55	189,92

Pręt nr 3

Nr pomiaru	Obciążenie	Dociążenie	Odciążenie	Stosunek P/H	Moduł E
1	0,49	24,2	24,8	200	889,89
2	0,97	49	51,6	482,11	2145,13
3	1,48	80	81,4	183,4	816,03
4	1,97	113,8	115,6	171,75	764,19
5	2,46	142,4	144,4	171,55	763,31
6	2,96	175	177,8	167,8	746,62
7	3,49	206,2	206,4	169,17	752,72
8	3,94	238	238	165,55	736,61
9	4,43	266,6	266,8	166,1	739,06
10	4,93	300,4	300,4	164,11	730,20

Moduł Younga:

$$E = \ \frac{l^{3}}{{4ah}^{3}}\ \bullet \ \frac{P}{H}$$

Strzałka ugięcia:

$$H = \ \frac{H_{\text{doc.}} + H_{\text{odc.}}}{2}$$

Dla pierwszego pręta:

E₁ = 1,02 • 10¹¹ N/m²

Dla drugiego pręta:

E₂ = 1,91 • 10¹¹ N/m²

Dla trzeciego pręta:

E₃ = 9,08 • 10¹¹ N/m²

1. Analiza błędów.

Niepewność modułu Younga policzona została z odchylenia standardowego średniej:

$$S_{x} = \ \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}}{n - 1}}$$

S_E1 = 0,01

S_E2 = 0,05

S_E3 = 4,15

Wykres zależności przyłożonej siły od strzałki ugięcia

Pręt nr 1

Pręt nr 2

Pręt nr 3

1. Wnioski

Moduł Younga dla pręta nr 1 = [1,02 ± 0,01] 10¹¹ N/m²

Dla pręta nr 2 = [1,91 ± 0,05] 10¹¹ N/m²

Dla pręta nr 3 = [9,08 ± 4,15] 10¹¹ N/m²

Oznacza to, że pierwszy pręt został wykonany z miedzi, dla której wartość tablicowa modułu Younga wynosi 1-1,1,15 • 10¹¹ N/m²; drugi pręt wykonany został ze stali – wartość tablicowa wynosi 1,9-2,1 • 10¹¹ N/m²; trzeci pręt jest zrobiony z aluminium, dla którego ustalona wartość wynosi 6,41 • 10¹¹ N/m².

Niedokładność pomiarów może wynikać z niedokładności punktu 0 na śrubie mikrometrycznej, z niedokładności odczytu przyrządów oraz zaokrągleń poszczególnych wartości.