1. Funkcja F(x,y) = −ye^xy2 nie ma ekstremów, bo … .

2. Geometryczny środek krzywej o równaniu y² = −4x,   − 4 ≤ x ≤ 0 ma współrzędne … .

3. Cyrkulacja pola $\overset{\overline{}}{w}\left( x,y \right) = \lbrack 5y + 6xy^{3},\ 4x + 9x^{2}y^{2}\rbrack$ wzdłuż okręgu K⁺  : x² + y² = 8 wynosi… .

4. Równanie różniczkowe x²y^′ + xy^′ = 0,  x > 0 ma rozwiązanie ogólne postaci… (sprawdzić równanie).

5. Rozwiązanie ogólne równania y^‴ − 3y′^′ + 3y^′ − y = 2 jest postaci… .

1. Nie istnieje pochodna $\frac{\partial F}{\partial y}(0,0)$, gdy $F\left( x,y \right) = \sqrt{x^{2} + 2y^{2}}$, bo… .

2. Geometryczny środek ciężkości bryły $V = \left\{ \left( x,y,z \right):0 \leq y \leq 2 - \sqrt{x^{2} + z^{2}} \right\}$ ma współrzędne:… .

3. ∫_Ky²dx + 2xydy= …, gdzie $K = \hat{\text{AB}}$ jest łukiem krzywej regularnej łączącej punkty A = (0, 0) i B = (3, 1).

4. Krzywa całkowa równania $y^{'} = \frac{2x - y}{x},\ x > 0$ przechodząca przez punkt (1,2) ma równanie:… (sprawdzić równanie).

5. Rozwiązanie ogólne równania y^‴ + 4y^″ + 13y^′ = 13 jest postaci… .

1. Funkcja określona wzorem $f\left( x,y \right) = 2 + e^{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ ma minimum globalne w punkcje (0,0), ponieważ… .

2. Całka ∫₋₁⁰dy∫_{y² − 1}⁰dx po zmianie porządku całkowania zapisuje się … i wyraża geometrycznie … (co?, wykonać rysunek).

3. Praca siły $\overset{\overline{}}{F}\left( x,y,z \right) = \lbrack 2xz - z,0,x^{2} + z^{2}\rbrack$ na dowolnej krzywej regularnej zamkniętej wynosi… (uzasadnić).

4. Sformułować i rozwiązać na własnym przykładzie zagadnienie Cauchy’ego dla równania x + y + xy^′ = 0,  x > 0.

5. Dwie funkcje zadane wzorami: $y = \cos{\sqrt{5}x}$ oraz $y = \sin{\sqrt{5}x}$ są rozwiązaniami szczególnymi równania y^″ + 5y = 0 (sprawdzić) i ich kombinacja liniowa wyraża rozwiązanie ogólne tego równania, ponieważ… (zacytować odpowiednie twierdzenie).

1. Równanie stycznej do elipsy zadanej równaniem 3x² + 3y² + 4xy = 10 w punkcie (-1,-1) jest postaci… .

2. Całka 2∭_V(x²+z²)dxdydz wyraża moment… (jaki, dlaczego?).

3. Pole obszaru D=$\left\{ \left( x,y \right): - \sqrt{8 - x^{2}} \leq y \leq 0 \right\}$ obliczamy za pomocą całki krzywoliniowej w następujący sposób:… .

4. Równanie sinxsinydx + cosxcosydy = 0 klasyfikujemy jako równanie… (jakiego typu?) i ma całkę ogólną postaci… .

5. Rozwiązanie szczególne równania y^‴ + 4y^′ = x(x − x) przewidujemy w postaci… (nie wyliczać stałych).

1. Funkcja określona wzorem $f\left( x,y \right) = 2 - e^{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ ma maksimum globalne w punkcje (0,0), ponieważ… .

2. Całka ∫₋₂⁰dy∫_{y² − 4}⁰dx po zmianie porządku całkowania zapisuje się … i wyraża geometrycznie … (co?, wykonać rysunek).

3. Praca siły $\overset{\overline{}}{F}\left( x,y,z \right) = \lbrack x^{2} + z^{2},\ 0,\ 2xz - z\rbrack$ na dowolnej krzywej regularnej zamkniętej wynosi… (uzasadnić).

4. Sformułować i rozwiązać na własnym przykładzie zagadnienie Cauchy’ego dla równania x + y + xy^′ = 0,  x < 0.

5. Dwie funkcje zadane wzorami: $y = \cos{\sqrt{3}x}$ oraz $y = \sin{\sqrt{3}x}$ są rozwiązaniami szczególnymi równania y^″ + 3y = 0 (sprawdzić) i ich kombinacja liniowa wyraża rozwiązanie ogólne tego równania, ponieważ… (zacytować odpowiednie twierdzenie).

1. Równanie stycznej do elipsy zadanej równaniem 3x² + 3y² + 4xy = 10 w punkcie (1, 1) jest postaci… .

2. Całka 3∭_Vx²dxdydz wyraża moment… (jaki, dlaczego?).

3. Pole obszaru D=$\left\{ \left( x,y \right): - \sqrt{8 - y^{2}} \leq x \leq 0 \right\}$ obliczamy za pomocą całki krzywoliniowej w następujący sposób:… .

4. Równanie cosxcosydx + sinxsinydy = 0 klasyfikujemy jako równanie… (jakiego typu?) i ma całkę ogólną postaci… .

5. Rozwiązanie szczególne równania y^‴ + 4y^′ = xsinxcosx przewidujemy w postaci… (nie wyliczać stałych).

1. Funkcja F(x,y) = x³ + y³ + 6xy nie ma ekstremum w punkcje (0,0), ponieważ… .

2. Moment bezwładności jednorodnej(o gęstości 2) bryły V = ⟨0,3⟩ × ⟨0,3⟩ × ⟨0,3⟩ względem jego ściany jest na podstawie definicji granicą ciągów sum całkowych postaci… (objaśnić) i wyraża się całką… (podać rysunek).

3. Całka krzywoliniowa zorientowana zapisana w postaci ∫_{A = (0, 0)}^{B = 2, 1)}(2xy + y²)dx + (x²+2xy)dy wynosi…, ponieważ… .

4. Równanie w postaci normalnej y^′ = x² − y²,  (x, y)∈ℝ² interpretujemy geometrycznie następująco:… .

5. Sprawdzić, że dwie funkcje zadane wzorami dla x > 0 : y = 2x oraz $y = \frac{ln(x^{2})}{x}$ są rozwiązaniami szczególnymi równania x²y^′ + 3xy^′ + y = 0. Jego rozwiązanie ogólne jest więc postaci…, ponieważ… .

1. Suma szeregu jest rozwinięciem funkcji zadanej wzorem ........ dla x є .......

2. Całka podwójna po obszarze nieregularnym D z funkcji stałej o wartości -3 istnieje w wynosi ... , ponieważ z definicji ...

3. Moment statyczny jednorodnego (o gęstości φ_m = 2) łuku paraboli y = 0,5x² , gdzie x є <0,1> względem OX jest granicą ciągu sum całkowych Sn .... (objaśnić) i wyraża się wzorem .... Obliczając ostatecznie otrzymujemy że moment ten wynosi...

4. Równanie różniczkowe jest typu ..... i ma całkę szczególna spełniającą warunek y(1) = 1 w postaci ...

5. Rozwiązanie szczególne równania przewidujemy w postaci...

1. Całka oznaczona jest sumą szeregu liczbowego postaci ... (podać wyprowadzenie).

2. Geometryczny środek ciężkości półkuli ma współrzędne ...

3. Praca pola siłowego postaci F(x,y)=[y(x),f(y)], gdzie y,f є C¹ (<0,2>), potrzebna na przemieszczenie masy m wzdłuż brzegu kwadratu <0,2> x <0,2> wynosi ... , ponieważ ...

4. Równanie różniczkowe , gdzie x>0 sprowadzamy przez podstawienie ... (jakie?) do równania I rzędu ... (jakiego? – podać nazwę), które z kolei sprowadzamy do równania ... (jakiego?) przez podstawienie ... (jakie?)

5. Zagadnienie Cauchy’ego dla równania polega na ... Jego rozwiązanie ogólne jest kombinacją liniową funkcji ... (podać ich wzory).

1. Suma szeregu potęgowego jest rozwinięciem funkcji zadanej wzorem ... dla x є ...

2. Praca potrzebna na wyczerpanie wody z pełnego kotła półkulistego o promieniu 1 m. wyraża sie całką ... (wykonać rysunek i podać wyprowadzenie).

3. Moment statyczny jednorodnego (o gęstości φ_m = 2) łuku paraboli 2x = y² , gdzie x є <0 ; 0,5> względem OX jest granicą ciągu sum całkowych Sn = .... (objaśnić) i wyraża się wzorem .... Obliczając ostatecznie otrzymujemy że moment ten wynosi...

4. Równanie różniczkowe jest typu ... i ma rozwiązanie szczególne spełniające warunek y(1) = 0 postaci.

5. Zagadnienie Cauchy’ego dla równania polega na ... Jego rozwiązanie ogólne jest kombinacją liniową funkcji ... (podać ich wzory).

1. Całka niewłaściwa jest zbieżna, ponieważ.... (uzasadnić).

2. Oszacować całkę .....=<=<... gdzie D= <-2,2>x<-3,3>, podając uzasadnienie.

3. Praca pola siłowego F(x,y)=[-2xy,] wykonana na dowolnej krzywej regularnej zamkniętej wynosi....(wykonać)

4. Równanie w postaci normalnej (x,y) należy D interpretujemy geometrycznie następująca:....

5. Funkcje oraz są niezależne, ponieważ.....i tworzą układ fundamentalny rozwiązania.... (jakiego?) .

1. Całka niewłaściwa jest zbieżna ponieważ....(uzasadnić)

2. Moment bezwładności jednorodnego (ro=3) półpierścienia określonego układem 1=<x2+y2=<8 oraz y=<0 względem jego osi symetrii wyraża się wzorem....(wyprowadzić go) i wynosi....

3. Pole półkola o promieniu 3 obliczamy za pomocą całki krzywoliniowej zorientowanej następująca....(uzasadnić wzór)

4. Równanie różniczkowe nazywa się równaniem...Krzywa całkowa tego równania przechodząca prze pkt (1,0) ma równanie:....

5. Rozwiązanie szczególne równania przewidujemy w postaci... (nie wyliczać stałych).

1. Zagadnienie Cauchy’ego dla równania polega na ... jego rozwiązanie dla warunku y(0)=1/2 jest postaci...

2. jest zbieżna ponieważ...

3. Oszacować ......=<.....gdzie D należy <-2,2>x<-1,1>

4. y=4cos2x, y=sin2x są niezależne ponieważ …. (chyba cos nie dopisałem...)

5. Powtórzyło się z poprzedniego.

1. jest rozbieżna ponieważ...

2. Moment bezwładności 1=<=<8 x<=0 ......?? (tu już totalny sajgon nie wiem o co chodziło)

3. x jaka jest całka ogólna i jakie jest ?? równanie ??(może rozwiązanie)

1. Praca wyczerpania wody ze stożka o promieniu 1 i kacie rozwarcia 90 stopni wyraża się całka.

2. ??Pole figury o<y< -ln(x3) jest skaczone ponieważ (nie jestem pewien czy dobrze rozczytalem??

3. ?? z zagadnienia cauchego.... (jak wyzej)??

4. Cyrkulacja pola w= [] o srodku w pkt. (0,0) nie da się policzyc ponieważ....