Podstawy rachunku całkowego

Przykro mi, że nie znam szeregu Fouriera.  Brak roz-

wiązań: 73,74,75

58.

Całka oznaczona w geometrycznej interpretacji to pole obszaru płaskiego
zawartego miedzy między linią

0

)

(

≥

=

x

f

y

i osią OX

∫

−

=

b

a

a

F

b

F

dx

x

f

)

(

)

(

)

(

Gdzie

)

(

)

(

'

x

f

x

F

=

Całkę oznaczoną stosuje się np. w obliczaniu geometrycznych właściwości

krzywych.

59.

Z definicji całki mamy:

∫

−

=

=

b

a

b

a

a

F

b

F

x

F

dx

x

f

)

(

)

(

|

)

(

)

(

Warunki:

-

∫

≥

=>

≥

b

a

dx

x

f

x

f

0

)

(

0

)

(

-

∫

<

=>

<

b

a

dx

x

f

x

f

0

)

(

0

)

(

-

∫

∫

≤

=>

≤

b

a

b

a

dx

x

g

dx

x

f

x

g

x

f

)

(

)

(

)

(

)

(

-

∫

∫

∫

+

=

c

a

b

a

c

b

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

)

(

)

(

)

(

-

∫

∫

−

=

a

b

b

a

dx

x

f

dx

x

f

)

(

)

(

Całka sumy równa się sumie całek:

∫

∫

∫

+

=

+

b

a

b

a

b

a

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

)

(

)

(

))

(

)

(

(

Powyższy wzór jest to tzw. addytywność całki względem funkcji pod-

całkowej. Całka oznaczona posiada własność liniowości. wzór ten należy

rozumieć w ten sposób, że z istnienia całek po prawej stronie wynika

istnienie całki po lewej stronie oraz podana równość.

Prawdziwy jest również wzór:

∫

−

=

b

a

a

b

K

dx

x

f

)

(

)

(

Gdzie K jest liczbą spełniającą nierówność

M

K

m

≤

≤

, przy czym

m

oznacza kres dolny, a

M

kres górny funkcji

)

(x

f

w przedziale

>

<

b

a,

Na podstawie własności Darboux, która mówi, że funkcja ciągła przybiera

wszystkie wartości pośrednie pomiędzy swoimi kresami górnym i dolnym,

wzór powyższy można zapisać w postaci:

∫

−

=

b

a

a

b

c

f

dx

x

f

)

)(

(

)

(

Gdzie

c

jest liczbą spełniającą nierówność

b

c

a

≤

≤

, jeżeli funkcja pod-

całkowa

)

(x

f

, jest ciągła w przedziale

>

<

b

a,

.

Całka jako funkcja górnej granicy.
Jeżeli funkcja

)

(t

f

jest ciągła w przedziale

>

<

b

a,

, to funkcja:

∫

=

b

a

dt

t

f

x

h

)

(

)

(

Jest ciągła i różniczkowalna względem zmiennej

x

w przedziale

>

<

b

a,

i

w każdym punkcie tego przedziału zachodzi związek

)

(

)

(

'

x

f

x

h

=

60.

F

jest funkcją pierwotną funkcji

)

(x

f

w przedziale

(a,b)

skończonym lub

nie nazywamy każdą funkcję różniczkowalną

)

(x

F

, taką że

)

(

)

(

'

x

f

x

F

=

dla każdego

)

,

( b

a

x

∈

. Jeżeli

)

(x

F

jest funkcją pierwotną funkcji

)

(x

f

, to

każda inna funkcja pierwotna funkcji

)

(x

f

jest równa

C

x

F

+

)

(

gdzie

R

C

∈

jest pewną stałą. Nie każda funkcja ma funkcję pierwotną. Te, które

mają nazywamy funkcjami całkowalnymi

61.
Całka nieoznaczona funkcji

)

(x

f

to rodzina wszystkich funkcji pierwot-

nych.

∫

dx

x

f

)

(

∫

+

=

C

x

F

dx

x

f

)

(

)

(

,

gdy

)

(

)

(

'

x

f

x

F

=

gdzie:

∫

- symbol całkowania

f

- funkcja podcałkowa

C

- stała całkowania

x

- zmienna całkowania

f(x)dx

- wyrażenie podcałkowe

62.

(tu mam dylemat, bo w moich źródłach podawano zerowe, pierwsze i dru-

gie, co prawda drugie było oznaczone jako twierdzenie Newtona-Leibniza),

no, więc podam obydwa. I tak:

Zerowe twierdzenie podstawowe rachunku całkowego:

Jeżeli

f

jest funkcją całkowalna w przedziale

>

<

b

a,

,

α

zaś dowolnie

ustaloną liczbą w tym przedziale, to funkcja górnej granicy całkowania

F

dana wzorem:

∫

=

x

dt

t

f

x

F

α

)

(

)

(

jest ciągła w przedziale

<a,b>

Pierwsze twierdzenie główne rachunku całkowego:

Jeżeli funkcja

R

b

a

f

→

>

<

,

:

jest ciągła, to funkcja

R

b

a

F

>→

<

,

:

dana

wzorem:

∫

=

x

dt

t

f

x

F

α

)

(

)

(

(funkcja górnej granicy całkowania) ma pochodną

)

(

)

(

'

x

f

x

F

=

w każdym punkcie

>

∈<

b

a

x

,

63.
Jeżeli funkcja

f

jest ciągła w przedziale

>

<

b

a,

,

F

zaś jest jakąkolwiek

jej funkcją pierwotną w tym przedziale, to:

∫

−

=

b

a

a

F

b

F

dx

x

f

)

(

)

(

)

(

64.

Metoda całkowania przez części ma jedną generalną zasadę, którą można

opisać następującym wzorem przy całce typu:

∫

dx

x

g

x

f

)

(

)

(

Jeśli potrafimy znaleźć takie

h(x)

, że

h'(x) = f(x)

, to możemy przekształcić

tę całkę do postaci:

∫

∫

∫

−

=

=

dx

x

g

x

h

x

g

x

h

dx

x

g

x

h

dx

x

g

x

f

)

(

'

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

'

)

(

)

(

∫

∫

+

+

=

−

=

C

x

x

x

xdx

x

x

xdx

x

cos

sin

sin

1

sin

cos

65.

∫

∫

+

−

=

−

=

C

x

x

x

xdx

x

x

x

xdx

ln

1

ln

ln

66.

∫

∫

+

−

=

+

−

=

2

)

1

ln(

1

1

2

2

x

xarctgx

dx

x

x

xarctgx

arctgxdx

67.

Jeżeli dla a

≤

x

≤

b funkcja g(x) = u jest ciągła i ma ciągłą pochodną oraz A

≤

g(x)

≤

B, zaś funkcja f (u) jest ciągła w przedziale [A, B], to całkowanie przez pod-

stawienie opiera się na wzorze:

∫

∫

=

du

u

f

dx

x

g

x

g

f

)

(

)

(

'

))

(

(

Przy czym po scałkowaniu należy zamienić

)

(x

g

u

=

∫

=

xdx

x cos

sin

3

4

sin

4

x

68.

( )

∫

=

2

ln

ln

2

x

dx

x

x

69.

∫

=

+

)

(

1

2

x

x

x

e

arctg

dx

e

e

70.

Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste:

Załóżmy, że mamy funkcję:

15

8

7

2

2

+

+

+

x

x

x

, oczywiście w takim przypadku

warto, aby funkcja w mianowniku posiadała dwa pierwiastki  ta posiada



Tak więc mamy:

)

5

)(

3

(

3

5

)

(

)

5

)(

3

(

)

3

(

)

5

(

5

3

)

5

)(

3

(

7

2

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

x

x

B

A

x

B

A

x

x

x

B

x

A

x

B

x

A

x

x

x

no i

właśnie te

A

i

B

to są współczynniki nieoznaczone ;)

Wystarczy je oznaczyć:

7

3

5

2

=

+

=

+

B

A

B

A

Wyznaczamy metodą Gaussa :

2

1

2

2

1

1

2

1

1

3

2

7

3

5

10

5

5

=

=

+

=

−

=

−

=

+

−

=

−

−

A

A

B

B

B

A

B

A

I stąd:

5

2

1

1

3

2

1

15

8

7

2

2

+

+

+

=

+

+

+

x

x

x

x

x

Dlaczego ważne to jest przy całkach? Bo Z wyrażenia dość zawiłego robią

nam się dwa ułamki proste  które można śmiało całkować. Tą metodą

należy rozwiązać dwa kolejne zadania.

71.

∫

+

=

−

+

+

6)

-

x

ln(

6

1

2

2

2

x

dx

x

x

x

72.

∫

=

+

+

+

dx

x

x

x

15

6

18

4

2

)

15

6

ln(

2

)

6

)

3

(

6

(

6

2

+

+

+

+

x

x

x

arctg

73.

Chodzi tu o narysowanie byle jakiego wykresu i policzenie powierzchni pod

wykresem za pomocą kwadratów. Wykonać należy dwa razy z większą do-

kładnością przy drugim liczeniu.