SZACOWANIE PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU EKONOMETRYCZNEGO Z JEDNĄ ZMIENNĄ OBJAŚNIAJĄCĄ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

Lp. ( to np. t)	yt	x1t	yt^*
1	5	3	4,745
2	5	3	4,745
3	8	5	7,995
4	6	4	6,37
5	7	5	7,995
6	10	6	9,62
7	10	6	9,62
8	10	6	9,62
9	11	7	11,245

1. Rysujemy wykres , sprawdzamy zależność

Model będzie miał taką postać

Yy_t  = α₁Xx_1t  +  α₀  + ξ_t

Empiryczny wykres rozrzutu .

Z wykresu można wywnioskować, że:

- zależność jest liniowa ,

- zależność jest dodatnia , bo wraz ze wzrostem x wzrasta y,

- siła zależności ( gdy punkty zbite to duża , gdy rozrzucone mała lub brak).

Dodatnia zależność mówi, że α₁ musi być też dodatnie ( spodziewamy się + dla α₁). W przypadku gdyby zależność była dodatnia , a α₁ ujemne to oznaczałoby to brak zależności , a musi być zależność przyczynowo – skutkowa.

1. dana jest formuła a  =  ( x^Tx)⁻¹x^Ty

2. Aby wyliczyć pkt 2. sporządzamy macierze y, x, transponujemy macierz x, liczymy iloczyn (x^Tx), liczymy wyznacznik (x^Tx) , liczymy macierz (x^Tx) ⁻¹ , liczymy iloczyn (x^Ty) , (zaokrąglać do 4 miejsca po przecinku)

ślepa zmienna
$Y = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \\ 8 \\ 6 \\ 7 \\ 10 \\ 10 \\ 10 \\ 11 \\ \end{bmatrix}$ $X = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \\ 5 & 1 \\ 4 & 1 \\ 5 & 1 \\ 6 & 1 \\ 6 & 1 \\ 6 & 1 \\ 7 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $X^{T}\ = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 5 & 4 & 5 & 6 & 6 & 6 & 7 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $X^{T}X\ = \begin{bmatrix} 241 & 45 \\ 45 & 9 \\ \end{bmatrix}$

det ( X^TX) =  241 × 9 − ,45 × 45 = 144

${{(X}^{T}X)\ }^{- 1} = \ \frac{1}{144}\ D^{T}$

D₁₁ = ( − 1)  ×  9  = 9

D₁₂ = ( − 1)  ×  45  = −45 zatem $D = \ \begin{bmatrix} 9 & - 45 \\ - 45 & 241 \\ \end{bmatrix} = \ D^{T}\ $

D₂₁ = ( − 1)  ×  45  = −45

D₂₂ = ( − 1)4  ×  241  = 241

Uwaga x^Tx = $\begin{bmatrix} 241 & 45 \\ 45 & 9 \\ \end{bmatrix}$ oraz D = D^T = $\begin{bmatrix} 9 & - 45 \\ - 45 & 241 \\ \end{bmatrix}$ są odwrotnościami

i należy bez liczenia główną przekątną napisać na odwrót , a do liczb na drugiej przekątnej (-) dodać

zatem

${{(X}^{T}X)\ }^{- 1} = \ \frac{1}{144}\ \times \ \begin{bmatrix} 9 & - 45 \\ - 45 & 241 \\ \end{bmatrix}$ ${{(X}^{T}X)\ }^{- 1} = \ \begin{bmatrix} 0,0625 & - 0,3125 \\ - 0,3125 & 1,6736 \\ \end{bmatrix}$

Dalej (x^Ty)

$X^{T}\ = \ \begin{bmatrix} 3 & 3 & 5 & 4 & 5 & 6 & 6 & 6 & 7 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $Y = \ \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \\ 8 \\ 6 \\ 7 \\ 10 \\ 10 \\ 10 \\ 11 \\ \end{bmatrix}$ $(X^{T}Y) = \begin{bmatrix} 386 \\ 72 \\ \end{bmatrix}$

1. wszystkie uzyskane dane wstawiamy do równania a = ( x^Tx)⁻¹x^Ty

$a = \begin{bmatrix} 0,0625 & - 0,3125 \\ - 0,3125 & 1,6736 \\ \end{bmatrix}\text{\ \ \ } \times \begin{bmatrix} 386 \\ 72 \\ \end{bmatrix}\ = \ \text{\ \ }\begin{bmatrix} 1,625 \\ - 0,13 \\ \end{bmatrix}$ więc $a = \begin{bmatrix} 1,625 \\ - 0,13 \\ \end{bmatrix}\ $ $\begin{matrix} a_{1} \\ a_{0} \\ \end{matrix}$

1. czyli model możemy zapisać 1, 625 x_1t−0, 13 + u_t ( NIE ZAPOMINAĆ DOPISAĆ u_t)

2. Dalej pytamy czy parametr przy x_1t jest przyczynowo skutkowy.

Koincydencja x_1t

sgn(r_yx1t) ≡  sgn(a₁) →  ≡a₁  > 0

Interpretacja :

Wzrost x_1t o 1 ( jedną jednostkę) spowoduje wzrost y o 1,625 jednostki.

1. Interpretujemy parametr wolny a₀

a₀ =   − 0, 13

Taką średnią wartość przyjmuje zmienna endogeniczna w przypadku, gdy zmienna objaśniająca będzie równa 0

X_1t = 0 to Y_t =   − 0, 13  +  u_t (z dokładnością do składnika resztowego u_t)

Można to również odczytać z wykresu

Przykłady linii regresji:

Może się też zdarzyć , że jakieś punkty będą leżeć daleko do linii regresji , to można je pominąć lub spróbować linię regresji zbliżyć do odszczepieńców).

1. dalej liczymy wartości teoretyczne

Y_t^* =  1, 625X_1t  − 0, 13

I wstawiamy kolejne x np.

Y₁^* = 1, 625 × 3  − 0, 13  = 4, 745 

wstawiamy te wartości do 3 kolumny z początku ćwiczeń , rysujemy linię teoretyczną ( regresji)na wykresie z początku ćwiczeń , tzn. weryfikujemy model, czyli sprawdzamy czy jest to świat coś warty, czy spełnia kryteria estymatora (zauważamy , że linie prawie się pokrywają) .

Jak dopasował się Y teoretyczny do rzeczywistośći

Zadanie domowe

(wykres rozrzutu, wnioski, szacowanie parametrów modelu, sprawdzenie koincydencji parametru α₁, interpretacja wartości teoretycznych, wykres)

Lp	yt	xt	yt^*
1	2	2	3
2	5	4	5
3	4	3	4
4	4	2	3
5	7	6	7
6	2	1	2

1. Rysujemy wykres , sprawdzamy zależność

Model będzie miał taką postać Y_t = α₁X_1t  +  α₀  + ξ_t

y_t ,  y_t^*

x_1t

zależność jest liniowa , zależność jest dodatnia , bo wraz ze wzrostem x wzrasta y

1. dana jest formuła a = ( X^TX)⁻¹X^TY

2. sporządzamy macierze Y , X , transponujemy macierz x, liczymy iloczyn (X^TX), liczymy wyznacznik (X^TX) , liczymy macierz (X^TX) ⁻¹ , liczymy iloczyn (X^TY)

$Y = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \\ 4 \\ 7 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$ $X\ = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \\ 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 6 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $X^{T}\ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 2 & 6 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $X^{T}X\ = \begin{bmatrix} 70 & 18 \\ 18 & 6 \\ \end{bmatrix}$

det ( X^TX)= 70 × 6 − 18 × 18 = 96 ${{(X}^{T}X)\ }^{- 1} = \ \frac{1}{96}D^{T}$ $D = \ \begin{bmatrix} 6 & - 18 \\ - 18 & 70 \\ \end{bmatrix} = \ D^{T}$

zatem

${{(X}^{T}X)\ }^{- 1} = \ \frac{1}{96}\ \times \ {{(X}^{T}X)\ }^{- 1}\begin{bmatrix} 6 & - 18 \\ - 18 & 70 \\ \end{bmatrix}\ \ = \ \begin{bmatrix} 0,0625 & - 0,1875 \\ - 0,1875 & 0,7291 \\ \end{bmatrix}\ $

Dalej (x^Ty)

$X^{T}\ = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 2 & 6 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $Y = \ \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \\ 4 \\ 7 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$ $X^{T}Y\ = \ \begin{bmatrix} 88 \\ 24 \\ \end{bmatrix}$

1. wstawiamy do równania a =( X^TX)⁻¹X^TY

$a = \begin{bmatrix} 0,0625 & - 0,1875 \\ - 0,1875 & 0,7291 \\ \end{bmatrix} \times \ \begin{bmatrix} 88 \\ 24 \\ \end{bmatrix}\ = \ \text{\ \ }\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\ $ więc $a = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\ $ $\begin{matrix} a_{1} \\ a_{0} \\ \end{matrix}$

1. czyli model możemy zapisać 1x_1t+ 1 + u_t

2. Dalej pytamy czy parametr przy x_1t jest przyczynowo skutkowy.

Koincydencja x_1t Sgn(γ yx_1t) ≡ sgn (a₁)

y_t ,  

≡a₁ >0

Interpretacja :

wzrost X_1t o 1 ( jedną jednostkę) spowoduje wzrost y o 1jednostke.

1. Interpretujemy parametr wolny a₀ ∖ na₀ = 1

Taką średnią wartość przyjmuje zmienna endogeniczna w przypadku, gdy zmienna objaśniająca będzie równa 0

X_1t = 0 to Y_t =  1  +  u_t  

1. dalej liczymy wartości teoretyczne

Y_t^* =  1X_1t  + 1

I wstawiamy kolejne x np.

Y₁^* =  1 × 2  + 1  = 3 

wstawiamy te wartości do 3 kolumny z początku zadania , rysujemy linię teoretyczną regresji, tzn. weryfikujemy model, czyli sprawdzamy czy jest to świat coś warty, czy spełnia kryteria estymatora.

MODEL Z DWIEMA ZMIENNYMI OBJAŚNIAJĄCYMI

Lp	Yt	X1t	X2t
1	2	0	0
2	3	1	0
3	2	0	0
4	4	0	1
5	4	0	1
6	3	1	0
7	5	1	2
8	5	1	2

Y_t  = α₀ + α₁X_1t  +  α₂X_2t + ξ_t

Sprawdzamy czy możemy szacować , rysujemy dwa wykresy x₁, x₂ oba muszą być dodatnie

Dalej a  = ( X^′X)⁻¹X^′Y

y= $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \\ 4 \\ 4 \\ 3 \\ 5 \\ 5 \\ \end{bmatrix}$ x =$\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$