Ekonometria – ćwiczenia 10 z 10-03-2001 r.
Ekonometria – ćwiczenia nr 10 z dnia 10-03-2001 r.
Szacowanie parametrów strukturalnych parametrów nieliniowych sprowadzanych do liniowych.
Zadanie 1.
1
Zbudowano model Y = α
0 + α1
+α2 X 2 +α 2
3 X 2 + ε
X 1
Mając następujące wartości zmiennych X1 i X2
T
1 2 3 4 5
x1t 2 5 8 4 5
x2t 2 3 4 5 6
proszę zbudować macierz obserwacji Z potrzebną do oszacowania Klasyczną Metodą Najmniejszych Kwadratów parametrów strukturalnych sprowadzonego do postaci liniowej modelu
1
Z =
1
X 1
Z =
2
X 2
2
Z =
3
X 2
Y = α
0 + α1 Z 1 + α 2 Z 2 + α 3 Z 3 + ε
1
5
,
0
2
4
1
,
0 2
3
9
Z = 1
1
,
0 25 4 16
1
,
0 25
5
25
1
,
0 2
6 36
Zadanie 2.
Zbudowano model
α1
α2
ε
Y = α X X
*10
0
1
2
mając następujące wartości zmiennych X1 i X2
t
1 2 3 4 5 6 7
x1t
1
1
10
100
100 1000 1000
x2t
1000 100 1000 100
10
10
1
proszę zbudować macierz obserwacji zmiennych objaśniających potrzebną do oszacowania Klasyczną Metodą Najmniejszych Kwadratów parametrów strukturalnych sprowadzonego do postaci liniowej modelu
1
Ekonometria – ćwiczenia 10 z 10-03-2001 r.
log Y = logα
log X
log
0 + α1
1 + α 2
X 2 + ε
przyjmujemy:
logY=V logα0=α logX1=Z1 logX2=Z2
V = α + α1Z1 + α2Z2 + ε
1 0 3
1 0 1
1 1 3
Z = 1 2 2
1 2 1
1 3 1
1 3 0
Zadanie 3.
Jednostkowe koszty produkcji w setkach zł (Y) oraz wielkość produkcji w tysiącach szt (X) w 8 zakładach produkujących ten sam wyrób kształtują się następująco: t
1 2 3 4 5 6 7 8
yt
10
11
12
13
15
15
16 20
xt
10 5 4 4 2,5 2 2 1
do opisu zależności poziomu kosztów jednostkowych od rozmiarów produkcji proponuje wykorzystać model hiperboliczny o postaci: 1
Y = β + α
+α
X
proszę oszacować parametry strukturalne, odchylenie standardowe reszt oraz standardowe błędy szacunkowe parametrów strukturalnych. Proszę ocenić istotność parametrów strukturalnych na poziomie istotności γ = 0,05
Przyjmujemy:
1 = Z
X
Y = β + α Z + ε
∑8
−
−
( y
)(
)
2 − y
z
z
t −
−
−
t =
a =
1
b = y− a z
∑ n
−
( z
z 2
)
t −
t =1
2
Ekonometria – ćwiczenia 10 z 10-03-2001 r.
T yt
zt
−
−
−
−
∧
e
2
t =
e
2
z
y
z
( y
2
( z
y
t
t
t − z)
t − y *
)
t − z
t − y
t
∧
−
y
y
t −
( z
t
t − z)
1 10 0,1
-4
-0,3
1,2
0,09
10,676 -0,676 0,457
0,01
2 11 0,2
-3
-0,2
0,6
0,04
11,784 -0,784 0,615
0,04
3 12 0,25
-2
-0,15
0,3
0,0225
12,338 -0,338 0,114
0,0625
4 13 0,25
-1
-0,15
0,15
0,0225
12,338 0,662
0,438
0,0625
5 15 0,4
1
0
0
0
14,00
1,00
1,00
0,16
6 15 0,5
1
0,1
0,1
0,01
15,109 -0,109 0,012
0,25
7 16 0,5
2
0,1
0,2
0,01
15,109 0,891
0,794
0,25
8 20
1
6
0,6
3,6
0,36
20,649 -0,649 0,421
1
112 3,2
0
0
6,15 0,555 112 0 3,851
1,835
−
112
−
,
3 2
y =
= 14
z =
= ,
0 4
8
8
1
,
6 5
a =
=
08
,
11
1
b = 14 −
08
,
11
1* ,
0 4 = 568
,
9
555
,
0
∧
1
Y = 568
,
9
+ 08
,
11
1
X
2
∑ e
2
S =
t
e
n − k −1
∑ n y
y
t
∑ n ∧
=
t
t =1
t =1
2
85
,
3
11
S
S
e
=
= 642
,
0
e =
80
,
0
1
6
S
80
,
0
1
S ( a) =
e
S ( a) =
= 075
,
1
8
−
555
,
0
(
∑ zt − z)2
n 1
=
n
2
∑ zt
835
,
1
S( b)
t 1
=
=
S
S( b)
e
= 80
,
0
1
= 5
,
0 15
n
− 2
8* 555
,
0
n
(
∑ zt − z)
t 1
=
∧
1
Y =
568
,
9
+ 08
,
11
1 X
S( a) :
5
,
0 15
075
,
1
Sprawdzanie istotności parametrów:
*
I (
)
05
,
0
;
6
= ,
2 447
3
Ekonometria – ćwiczenia 10 z 10-03-2001 r.
568
,
9
*
I =
= 18 578
.
> I
a
5
,
0 15
08
,
11
1
*
I =
= 10 308
.
> I
b
075
,
1
*
I , I > I a
b
Parametry α i β są statystycznie istotne.
Zadanie 4.
Zależność pomiędzy zmienną Y a pojedynczymi zmiennymi X1, X2, X3 były następujące : Y = α
+α log X + ε
01
1
1
1
Y = α
+α log X + ε
0 2
2
2
2
Y = α
+ α log X + ε
03
3
3
3
współczynnik korelacji między zmienną Y i transformatami zmiennych X1, X2, X3 oraz współczynnik korelacji pomiędzy transformatami X1, X2, X3 są następujące:
85
,
0
1
375
,
0
79
,
0
1
R
0 =
803
,
0
R =
375
,
0
1
632
,
0
837
,
0
79
,
0
1
632
,
0
1
Stosując metodę wskaźników pojemności informacji proszę zbudować optymalny model wy-korzystujący jako potencjalne zmienne objaśniające transformaty zmiennych X1, X2, X3
Z = log
1
X 1
Z =
2
X 2
1
Z =
3
X 3
L = 23-1
C1(Z1)
C2(Z2)
C3(Z3)
C4(Z1,Z2)
C5(Z1,Z3)
C6(Z2,Z3)
C7(Z1,Z2,Z3)
4
Ekonometria – ćwiczenia 10 z 10-03-2001 r.
h = (
)
85
,
0
2 = 7225
,
0
11
h
= (
)
803
,
0
2 = 6448
,
0
22
h
= ( 837
,
0
)2 = 7006
,
0
33
(
)
85
,
0
2
h
=
= 5255
,
0
41
1+ 375
,
0
(
)
803
,
0
2
h
=
= ,
0 4689
42
1+ 375
,
0
(
)
85
,
0
2
h
=
= ,
0 4034
51
1+ 79
,
0
1
(
)
803
,
0
2
h
=
= 39
,
0
12
53
1+ 79
,
0
1
(
)
803
,
0
2
h
=
= 395
,
0
1
62
1+ 632
,
0
( 837
,
0
)2
h
=
= ,
0 4293
63
1+ 632
,
0
(
)
85
,
0
2
h
=
= 3336
,
0
71
1+ 375
,
0
+ 79
,
0
1
(
)
803
,
0
2
h
=
= 32
,
0
13
72
1+ 375
,
0
+ 632
,
0
( 837
,
0
)2
h
=
= ,
0 2891
73
1+ 79
,
0
1 + 632
,
0
H = h =
7225
,
0
1
11
H = h
= 6448
,
0
2
22
H = h =
7006
,
0
3
33
H = h + h = 9944
,
0
→
4
41
42
maksimum
H = h + h =
7946
,
0
5
51
53
H = h + h = 8244
,
0
6
62
63
H = h + h + h = 944
,
0
7
71
72
73
Y = α
log
0 + α1
X 1 + α 2 X 2 + ε
5
Ekonometria – ćwiczenia 10 z 10-03-2001 r.
Zadanie domowe 1.
Mając obserwacje zmiennych Y i X w 11 kolejnych latach t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
yt 3 6 8 9 10 9 10
12
11
11
12
xt 2 4 6 8 10
10
12
14
15
16
18
oraz stosując metodę wyboru postaci analitycznej modelu na podstawie wykresów rozrzutów punktów empirycznych proszę zaproponować postać analityczną modelu Y = f (X, t, ε).
Zadanie domowe 2.
Na podstawie następujących obserwacji zmiennych Y, X, proszę oszacować parametry strukturalne modelu:
Y = α0+α1X+α2X2+ε
t
1 2 3 4
yt
14
13
10
15
xt
1
1 2 4
6