Ekonometria – ćwiczenia nr 2 z 22-10-2000 r.
Ekonometria – ćwiczenia nr 2 z dnia 22-10-2000 r.
Estymacja parametrów strukturalnych modeli liniowych z wieloma niewiadomymi.
Zadanie 1
Proszę oszacować za pomocą klasycznej metody najmniejszych kwadratów parametry strukturalne liniowego modelu ekonometrycznego opisującego kształtowanie się sprzedaży energii elektrycznej w mln MWh w pewnym zakładzie energetycznym w zależności od długości linii przesyłowych w 10 tys. km (X1) i ilości odbiorców energii w 100 tys. (X2). Zaobserwowane wielkości zmiennych Y, X1, X2 w latach 1987-1996 przedstawia poniższa tabela: Lata Y
X1
X2
1987
3,2
1,2
3,6
1988
3,3
1,3
3,7
1989
3,4
1,3
3,8
1990
3,5
1,4
3,8
1991
3,6
1,4
3,9
1992
3,6
1,5
3,9
1993
3,7
1,5
4,0
1994
3,8
1,6
4,0
1995
3,9
1,6
4,1
1996
4,0
1,7
4,2
∧
Y = α +α
+α
+ ε
=
+
+
0
1 X 1
2 X 2
Y
a 0
1
a X 1 a 2 X 2
−
a = ( X T
1
X ) X T y
,
3 2
1
,
1 2
6
,
3
3
,
3
1
3
,
1
7
,
3
,
3 4
1
3
,
1
8
,
3
5
,
3
1
,
1 4
8
,
3
6
,
3
1
,
1 4
9
,
3
y =
X =
6
,
3
1
5
,
1
9
,
3
7
,
3
1
5
,
1
0
,
4
8
.
3
1
6
,
1
0
,
4
9
,
3
1
6
,
1
1
,
4
0,
4
1
7
,
1
,
4 2
1
Ekonometria – ćwiczenia nr 2 z 22-10-2000 r.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
T
X
= ,12 3,
1
3
,
1
,
1 4
,
1 4
5
,
1
5
,
1
6
,
1
6
,
1
7
,
1
6
,
3
7
,
3
8
,
3
8
,
3
9
,
3
9
,
3
0
,
4
0
,
4
1
,
4
,
4 2
1
,
1 2
6
,
3
1
3
,
1
7
,
3
1
3
,
1
8
,
3
1
,
1 4
8
,
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
,
1 4
9
,
3
X T X =
,
1 2
3
,
1
3
,
1
,
1 4
,
1 4
5
,
1
5
,
1
6
,
1
6
,
1
7
,
1
*
=
1
5
,
1
9
,
3
,
3 6
7
,
3
8
,
3
8
,
3
9
,
3
9
,
3
0
,
4
0
,
4
1
,
4
,
4 2
1
5
,
1
0
,
4
1
6
,
1
0
,
4
1
6
,
1
1
,
4
1
7
,
1
,
4 2
10
14 5
,
39
= 14 5, 2 ,125
8
,
56
39
8
,
56
1 ,
52 4
Z twierdzenia Laplase’a wyliczamy : det = 10 * 2 ,
1 25*152 5
, + 1
( 4 5
, *
8
,
56 *
)
39 * 2 − 392 * 2 ,
1 25 −
8
,
56 2 *10 −14 5
, 2 *152 5
, = 05
,
0
2 ,
1 25
8
,
56
14 5
,
8
,
56
14 5
,
2 ,
1 25
−
8
,
56
1 ,
52 4
39
1 ,
52 4
39
8
,
56 1 ,226
,
5 4
− 1
,
5
5
14 5
,
39
10
39
10 14 5
,
( T
X X ) D = −
−
= ,
5 4
0
,
3
− 5
,
2
8
,
56
1 ,
52 4
39 1 ,
52 4
39
8
,
56
14 5
,
39
10
39
10
14 5
,
− 1,
5 5 − 5
,
2
,
2 25
−
2 ,125
8
,
56
14 5
,
8
,
56
14 5
,
2 ,
1 25
1 ,
2 26
,
5 4
− 1,
5 5
,
245 2 108 −1
03
−
(
1
X T X
= 1
)
,
5 4
0
,
3
− 5
,
2 = 108
60
− 50
05
,
0
− 1,
5 5 − 5
,
2
,
2 25
−103 − 50
45
2
Ekonometria – ćwiczenia nr 2 z 22-10-2000 r.
,
3 2
3
,
3
,
3 4
5
,
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
36
6
,
3
X T y =
,
1 2
3
,
1
3
,
1
,
1 4
,
1 4
5
,
1
5
,
1
6
,
1
6
,
1
7
,
1
*
=
6
,
3
56
,
52
6
,
3
7
,
3
8
,
3
8
,
3
9
,
3
9
,
3
0
,
4
0
,
4
1
,
4
,
4 2
140 82
,
7
,
3
8
,
3
9
,
3
0,
4
,
245 2 108 −1
03
36
−
78
,
0
T
1
T
a =
−
( X X ) X y = 108
60
− 50 *
86
,
52
=
60
,
0
−103 − 50
45 140 82
, 90
,
0
a0=-0,78 a1 = 0,6
a2 = 0,9
∧
Y = 078
−
+ 6
,
0 X + 9
,
0
1
X 2
Interpretacja:
W latach 1987-1996 wzrost długości linii przesyłowych o 10 tys. km (X1) powodował wzrost sprzedaży energii elektrycznej o 0,6 mln MWh przy założeniu, że nie uległa zmianie liczba odbiorców energii (X2).
W latach 1987-1996 wzrost liczby odbiorców o 100 tys. powodował wzrost sprzedaży energii o 0,9 mln MWh przy założeniu, że nie zmieniła się długość linii przesyłowych.
Zadanie 2
Zbudowano jednorównaniowy model liniowy opisujący zależność wielkości produkcji od 12 róż-
nych czynników oddziaływujących na tą produkcję. Następnie zebrano roczne dane statystyczne z lat 1990-1998, dotyczące kształtowania się zmiennej objaśnianej i zmiennych objaśniających. Czy można oszacować parametry strukturalne tego modelu za pomocą klasycznej metody najmniejszych kwadratów.
rz ( X ) = k + 1 ≤ n
n = 9 k = 12
13 ≤ 9
Za pomocą klasycznej metody najmniejszych kwadratów modelu nie można oszacować, dlatego że nie jest spełnione jedno z założeń tej metody mówiące o tym, że liczba szacowanych parametrów musi być mniejsza, a może być co najwyżej równa liczbie obserwacji.
3
Ekonometria – ćwiczenia nr 2 z 22-10-2000 r.
Zadanie 3
−
W latach 1990-1998 zakład produkował średniorocznie 20
Y =
tys. rowerów. Średnioroczne za-
−
trudnienie w tym czasie wynosiło 200
X 1 =
osób, średnioroczne zużycie materiałów wynosiło
−
X = 5 mln zł. Czy jest możliwe aby oszacowany klasyczną metodą najmniejszych kwadratów 2
liniowy model opisujący zależność pomiędzy wielkością produkcji, a zatrudnieniem i zużyciem materiałów miał postać:
∧
Y = 5 + 1
,
0 X + 2
1
X 2
−
Y = 20
−
X
1 = 200
−
X 2 = 5
−
Y = 5 + 1
,
0 * 200 + 2 *5
20 = 5 + 20 +10
20 ≠ 35
Nie jest możliwe żeby przedstawiony model opisywał przedstawiony proces gospodarczy.
Zadanie domowe
Sprzedawca znanej marki samochodów osobowych zebrał dane dotyczące ilości sprzedanych samochodów ( w tys. sztuk) oraz łącznych rocznych dochodów mieszkańców ( w mld zł) jednego z regionów Polski w latach 1994-1999, które kształtowały się następująco: Lata St
Dt
1994
1
1
1995
1
2
1996
2
2
1997
1
3
1998
2
4
1999
3
4
St – ilość sprzedanych samochodów Dt – dochody mieszkańców
Proszę oszacować parametry strukturalne modelu liniowego opisującego zależność ilości sprzedanych samochodów w roku bieżącym, od dochodów w roku bieżącym, oraz ilość sprzedanych samochodów w roku poprzednim. Proszę zinterpretować wartości oszacowanych parametrów strukturalnych.
S
D
S
t = α 0 + α1
t + α 2
t −1 + ε
4