EKONOMETRIA – ĆWICZENIA dnia 24-09-2000
Szacowanie parametrów strukturalnych, model liniowy z jedna zmienną objaśniającą.
Y =α
0 +α X
1
1 + α X
2
+ .......
2
+α X
k
k + ε
Y =α
0 +α X
1
+ ε
Y = β +α X + ε
oszacowana postać modelu z jedną zmienną objaśniającą:
∧
Y = b + aX
gdzie :
b - oszacowanie (estymator) parametru β
a – oszacowanie (estymator) parametru α
Zadanie 1
Wartość produkcji w mln zł (Y) oraz wartość zużytych na tą produkcję materiałów w mln. zł (X) w przedsiębiorstwie w latach 1990-1999 kształtowały się następująco: yt – realizacja zmiennej Y
xt – realizacja zmiennej X
lata
y
x
t
t
90 1,5 0,9
91 1,2 0,7
92 1,4 0,8
93 1,3 0,8
94 1,5 0,9
95 1,3 0,8
96 1,6 1,0
97 1,4 0,8
98 2,2 1,3
99 1,6 1,0
a) Proszę oszacować parametry strukturalne modelu liniowego opisującego zależność wartości produkcji od wartości zużytych materiałów b) Proszę oszacować parametry strukturalne liniowego trendu wartości produkcji Y
oszacowanie modelu – narysować taką prostą, która będzie najlepiej dopasowana do
wszystkich
punktów
e9 e10
e7
e8
e5 e6
e3
e4
e1
e2
X
1
Najlepsze dopasowanie musi spełniać warunki : (klasyczna metoda najmniejszych kwadratów) n
2
∑ e
t → min
t 1
=
et – odległość punktu t od prostej lata
y
x
−
−
−
−
−
t
t
y
x
( y
2
t − y) * ( xt − x) ( x
t − x)
t − x
t − y
90 1,5 0,9 0
0
0
0
91 1,2 0,7 -0,3 -0,2
0,06
0,04
92 1,4 0,8 -0,1 -0,1
0,01
0,01
93 1,3 0,8 -0,2 -0,1
0,02
0,01
94 1,5 0,9 0
0
0
0
95 1,3 0,8 -0,2 -0,1
0,02
0,01
96 1,6 1,0 0,1 0,1
0,01
0,01
97 1,4 0,8 -0,1 -0,1
0,01
0,01
98 2,2 1,3 0,7 0,4
0,28
0,16
99 1,6 1,0 0,1 0,1
0,01
0,01
∑ 15 9 0 0
0,42
0,26
−
−
y = 5
,
1
x = 9
,
0
n
−
−
(
∑ xt − x)( yt − y) t 1
=
a =
n
− 2
(
∑ xt − x)
t 1
=
−
−
b = y− a x
,
0 42
a =
= 615
,
1
,
0 26
b = 5
,
1 − 615
,
1
* 9
,
0 = 046
,
0
∧
Y = 046
,
0
+ 615
,
1
X
Jest to oszacowana postać modelu Oszacowana wartość parametru X (a) informuje jak zmieni się wartość zmiennej objaśnianej, jeżeli wartość zmiennej objaśniającej wzrośnie o jednostkę.
Komentarz do zadania:
W latach 1990-1999 wzrost wartości zużytych materiałów o 1 mln zł powodował średni wzrost wartości produkcji o 1,615 mln zł.
lub (lepsza interpretacja) wzrost wartości materiałów o 0,1 mln zł powodował wzrost wartości produkcji o 0,1615 mln zł.
Oszacowana wartość parametru β (b) nie zawsze posiada logiczną interpretację ekonomiczną. Gene-ralnie wartość b informuje ile wynosi wartość zmiennej objaśnianej, jeżeli zmienna objaśniająca równa się 0
2
Y
b=0,046
X
Kc = β + αP + ε
Kc
B
koszt całkowity
P
Kc – koszt całkowity
P – wielkość produkcji
Druga część zadania - trend liniowy Y = β + α t + ε
^
Y = b + at n
−
−
(
∑ t − t)( yt − y)
−
−
t 1
=
a =
b = y− a t n
− 2
(
∑ t − t)
t 1
=
lata
y
x
−
−
−
−
−
−
−
−
−
t
t
y
x
( y
2
( t − t) * ( y − y t − y) * ( xt − x) ( x
t − t
2
( t − t)
)
t − x)
t − x
t − y
90 1,5 0,9 0 0
0
0 -4,5
20,25
0
91 1,2 0,7 -0,3 -0,2
0,06
0,04 -3,5 12,25 1,05
92 1,4 0,8 -0,1 -0,1
0,01
0,01 -2,5 6,25 0,25
93 1,3 0,8 -0,2 -0,1
0,02
0,01 -1,5 2,25 0,30
94 1,5 0,9 0 0
0
0 -0,5 0,25
0
95 1,3 0,8 -0,2 -0,1
0,02
0,01 0,5 0,25
-0,1
96 1,6 1,0 0,1 0,1
0,01
0,01 1,5 2,25 0,15
97 1,4 0,8 -0,1 -0,1
0,01
0,01 2,5 6,25 -0,25
98 2,2 1,3 0,7 0,4
0,28
0,16 3,5 12,25 2,45
3
99 1,6 1,0 0,1 0,1
0,01
0,01 4,5 20,25 0,45
∑ 15 9 0 0 0,42 0,26 0 82,5 4,3
−
1+10
t =
= 5
,
5
2
3
,
4
a =
= 052
,
0
5
,
82
b = 5
,
1 − 052
,
0
* 5
,
5 = ,
1 213
−
Y = ,
1 213 +
t
052
,
0
jest to oszacowany model trendu Interpretacja ekonomiczna: Oszacowana wartość parametru α w liniowym modelu trendu informuje jak średniorocznie (mie-sięcznie) zmieniała się wartość średniej objaśnianej.
W przykładzie:
W latach 1990-1999 wartość produkcji wzrastała średniorocznie o 0,052 mln zł.
Oszacowana wartość parametru β (b) informuje ile wynosiła wartość objaśnianej w jednostce czasu bezpośrednio poprzedzającej okres badany (analizy)
W 1989 roku wartość produkcji wynosiła 1,213 zł.
Zadanie domowe:
Wartość zmiennej Y w latach 1990-1997 wzrastała z roku na rok. Trend zmiennej X w tym samym
^
okresie wyraża się równaniem X =
9
,
28 + ,
2 t
4 , czy jest możliwe, aby model opisujący zmienność Y
^
do X miał postać Y =
3
,
27 − 85
,
0
X
4