1

EKONOMETRIA – ĆWICZENIA dnia 24-09-2000

Szacowanie parametrów strukturalnych, model liniowy z jedna zmienną objaśniającą.

ε

α

α

α

α

+

+

+

+

+

=

k

k

X

X

X

Y

.......

2

2

1

1

0

ε

α

α

+

+

=

X

Y

1

0

ε

α

β

+

+

=

X

Y

oszacowana postać modelu z jedną zmienną objaśniającą:

aX

b

Y

+

=

∧

gdzie :
b - oszacowanie (estymator) parametru β
a – oszacowanie (estymator) parametru α

Zadanie 1
Wartość produkcji w mln zł (Y) oraz wartość zużytych na tą produkcję materiałów w mln. zł (X) w
przedsiębiorstwie w latach 1990-1999 kształtowały się następująco:

y

t

– realizacja zmiennej Y

x

t

– realizacja zmiennej X

lata

t

y

t

x

90 1,5 0,9
91 1,2 0,7
92 1,4 0,8
93 1,3 0,8
94 1,5 0,9
95 1,3 0,8
96 1,6 1,0
97 1,4 0,8
98 2,2 1,3
99 1,6 1,0

a) Proszę oszacować parametry strukturalne modelu liniowego opisującego zależność wartości pro-
dukcji od wartości zużytych materiałów
b) Proszę oszacować parametry strukturalne liniowego trendu wartości produkcji


Y

oszacowanie modelu – narysować taką

prostą, która będzie najlepiej dopasowana

do

wszystkich

punktów

e

9

e

10

e

7

e

8

e

5

e

6

e

3

e

4

e

1

e

2

X

2

Najlepsze dopasowanie musi spełniać warunki :
(klasyczna metoda najmniejszych kwadratów)

min

1

2

→

∑

=

n

t

t

e

e

t

– odległość punktu t od prostej

lata

t

y

t

x

−

−

y

y

t

−

−

x

x

t

)

(

*

)

(

−

−

−

−

x

x

y

y

t

t

2

)

(

−

−

x

x

t

90 1,5 0,9 0

0

0

0

91 1,2 0,7 -0,3 -0,2

0,06

0,04

92 1,4 0,8 -0,1 -0,1

0,01

0,01

93 1,3 0,8 -0,2 -0,1

0,02

0,01

94 1,5 0,9 0

0

0

0

95 1,3 0,8 -0,2 -0,1

0,02

0,01

96 1,6 1,0 0,1 0,1

0,01

0,01

97 1,4 0,8 -0,1 -0,1

0,01

0,01

98 2,2 1,3 0,7 0,4

0,28

0,16

99 1,6 1,0 0,1 0,1

0,01

0,01

∑

15 9 0

0

0,42

0,26

5

,

1

=

−

y

9

,

0

=

−

x

2

1

1

)

(

)

)(

(

−

=

−

=

−

−

−

−

=

∑

∑

x

x

y

y

x

x

a

n

t

t

t

n

t

t

−

−

−

=

x

a

y

b

615

,

1

26

,

0

42

,

0

=

=

a

046

,

0

9

,

0

*

615

,

1

5

,

1

=

−

=

b

X

Y

615

,

1

046

,

0

+

=

∧

Jest to oszacowana postać modelu

Oszacowana wartość parametru X (a) informuje jak zmieni się wartość zmiennej objaśnianej, jeżeli
wartość zmiennej objaśniającej wzrośnie o jednostkę.

Komentarz do zadania:

W latach 1990-1999 wzrost wartości zużytych materiałów o 1 mln zł powodował średni wzrost war-
tości produkcji o 1,615 mln zł.
lub (lepsza interpretacja) wzrost wartości materiałów o 0,1 mln zł powodował wzrost wartości pro-
dukcji o 0,1615 mln zł.

Oszacowana wartość parametru β (b) nie zawsze posiada logiczną interpretację ekonomiczną. Gene-
ralnie wartość b informuje ile wynosi wartość zmiennej objaśnianej, jeżeli zmienna objaśniająca
równa się 0

3

Y





b=0,046

X

K

c

= β + αP + ε

K

c

B

koszt całkowity

P

K

c

– koszt całkowity

P – wielkość produkcji

Druga część zadania - trend liniowy

ε

α

β

+

+

=

t

Y

at

b

Y

+

=

^

2

1

1

)

(

)

)(

(

−

=

−

=

−

−

−

−

=

∑

∑

t

t

y

y

t

t

a

n

t

t

n

t

−

−

−

=

t

a

y

b

lata

t

y

t

x

−

−

y

y

t

−

−

x

x

t

)

(

*

)

(

−

−

−

−

x

x

y

y

t

t

2

)

(

−

−

x

x

t

−

−

t

t

2

)

(

−

−

t

t

)

(

*

)

(

−

−

−

−

y

y

t

t

90 1,5 0,9 0 0

0

0 -4,5

20,25

0

91 1,2 0,7 -0,3 -0,2

0,06

0,04 -3,5 12,25 1,05

92 1,4 0,8 -0,1 -0,1

0,01

0,01 -2,5 6,25 0,25

93 1,3 0,8 -0,2 -0,1

0,02

0,01 -1,5 2,25 0,30

94 1,5 0,9 0 0

0

0 -0,5 0,25

0

95 1,3 0,8 -0,2 -0,1

0,02

0,01 0,5 0,25

-0,1

96 1,6 1,0 0,1 0,1

0,01

0,01 1,5 2,25 0,15

97 1,4 0,8 -0,1 -0,1

0,01

0,01 2,5 6,25 -0,25

98 2,2 1,3 0,7 0,4

0,28

0,16 3,5 12,25 2,45

4

99 1,6 1,0 0,1 0,1

0,01

0,01 4,5 20,25 0,45

∑

15 9 0 0

0,42

0,26 0 82,5 4,3

5

,

5

2

10

1

=

+

=

−

t

052

,

0

5

,

82

3

,

4

=

=

a

213

,

1

5

,

5

*

052

,

0

5

,

1

=

−

=

b

t

Y

052

,

0

213

,

1

+

=

−

jest to oszacowany model trendu

Interpretacja ekonomiczna:
Oszacowana wartość parametru α w liniowym modelu trendu informuje jak średniorocznie (mie-
sięcznie) zmieniała się wartość średniej objaśnianej.

W przykładzie:
W latach 1990-1999 wartość produkcji wzrastała średniorocznie o 0,052 mln zł.

Oszacowana wartość parametru β (b) informuje ile wynosiła wartość objaśnianej w jednostce czasu
bezpośrednio poprzedzającej okres badany (analizy)

W 1989 roku wartość produkcji wynosiła 1,213 zł.


Zadanie domowe:

Wartość zmiennej Y w latach 1990-1997 wzrastała z roku na rok. Trend zmiennej X w tym samym

okresie wyraża się równaniem

t

X

4

,

2

9

,

28

^

+

=

, czy jest możliwe, aby model opisujący zmienność Y

do X miał postać

X

Y

85

,

0

3

,

27

^

−

=