Ekonometria – ćwiczenia 10 z 10-03-2001 r.
1
Ekonometria – ćwiczenia nr 10 z dnia 10-03-2001 r.
Szacowanie parametrów strukturalnych parametrów nieliniowych sprowadzanych do
liniowych.
Zadanie 1.
Zbudowano model
ε
α
α
α
α
+
+
+
+
=
2
2
3
2
2
1
1
0
1
X
X
X
Y
Mając następujące wartości zmiennych X
1
i X
2
T
1 2 3 4 5
x
1t
2 5 8 4 5
x
2t
2 3 4 5 6
proszę zbudować macierz obserwacji Z potrzebną do oszacowania Klasyczną Metodą Naj-
mniejszych Kwadratów parametrów strukturalnych sprowadzonego do postaci liniowej mode-
lu
2
2
3
2
2
1
1
1
X
Z
X
Z
X
Z
=
=
=
ε
α
α
α
α
+
+
+
+
=
3
3
2
2
1
1
0
Z
Z
Z
Y
=
36
6
2
,
0
1
25
5
25
,
0
1
16
4
125
,
0
1
9
3
2
,
0
1
4
2
5
,
0
1
Z
Zadanie 2.
Zbudowano model
ε
α
α
α
10
*
2
1
2
1
0
X
X
Y
=
mając następujące wartości zmiennych X
1
i X
2
t
1 2 3 4 5 6 7
x
1t
1
1
10
100
100 1000 1000
x
2t
1000 100 1000 100
10
10
1
proszę zbudować macierz obserwacji zmiennych objaśniających potrzebną do oszacowania
Klasyczną Metodą Najmniejszych Kwadratów parametrów strukturalnych sprowadzonego do
postaci liniowej modelu
Ekonometria – ćwiczenia 10 z 10-03-2001 r.
2
ε
α
α
α
+
+
+
=
2
2
1
1
0
log
log
log
log
X
X
Y
przyjmujemy:
logY=V log
α
0
=
α
logX
1
=Z
1
logX
2
=Z
2
V =
α
+
α
1
Z
1
+
α
2
Z
2
+
ε
=
0
3
1
1
3
1
1
2
1
2
2
1
3
1
1
1
0
1
3
0
1
Z
Zadanie 3.
Jednostkowe koszty produkcji w setkach zł (Y) oraz wielkość produkcji w tysiącach szt (X)
w 8 zakładach produkujących ten sam wyrób kształtują się następująco:
t
1 2 3 4 5 6 7 8
y
t
10
11
12
13
15
15
16 20
x
t
10 5 4 4 2,5 2 2 1
do opisu zależności poziomu kosztów jednostkowych od rozmiarów produkcji proponuje
wykorzystać model hiperboliczny o postaci:
α
α
β
+
+
=
X
Y
1
proszę oszacować parametry strukturalne, odchylenie standardowe reszt oraz standardowe
błędy szacunkowe parametrów strukturalnych. Proszę ocenić istotność parametrów struktu-
ralnych na poziomie istotności
γ
= 0,05
Przyjmujemy:
Z
X
=
1
ε
α
β
+
+
=
Z
Y
∑
∑
=
−
=
−
−
−
−
−
=
n
t
t
t
t
z
z
z
z
y
y
a
1
2
8
1
2
)
(
)
)(
(
−
−
−
=
z
a
y
b
Ekonometria – ćwiczenia 10 z 10-03-2001 r.
3
T y
t
z
t
−
−
y
y
t
−
−
z
z
t
)
(
*
)
(
−
−
−
−
z
z
y
y
t
t
2
)
(
−
−
z
z
t
t
y
∧
∧
−
=
t
t
t
y
y
e
2
t
e
2
t
z
1
2
3
4
5
6
7
8
10
11
12
13
15
15
16
20
0,1
0,2
0,25
0,25
0,4
0,5
0,5
1
-4
-3
-2
-1
1
1
2
6
-0,3
-0,2
-0,15
-0,15
0
0,1
0,1
0,6
1,2
0,6
0,3
0,15
0
0,1
0,2
3,6
0,09
0,04
0,0225
0,0225
0
0,01
0,01
0,36
10,676
11,784
12,338
12,338
14,00
15,109
15,109
20,649
-0,676
-0,784
-0,338
0,662
1,00
-0,109
0,891
-0,649
0,457
0,615
0,114
0,438
1,00
0,012
0,794
0,421
0,01
0,04
0,0625
0,0625
0,16
0,25
0,25
1
112 3,2
0
0
6,15 0,555 112 0 3,851
1,835
4
,
0
8
2
,
3
14
8
112
=
=
=
=
−
−
z
y
568
,
9
4
,
0
*
081
,
11
14
081
,
11
555
,
0
15
,
6
=
−
=
=
=
b
a
X
Y
1
081
,
11
568
,
9
+
=
∧
1
2
2
−
−
=
∑
k
n
e
S
t
e
∑
∑
=
=
∧
=
n
t
n
t
t
t
y
y
1
1
801
,
0
642
,
0
6
8511
,
3
2
=
=
=
e
e
S
S
075
,
1
555
,
0
801
,
0
)
(
)
(
)
(
8
1
2
=
=
−
=
∑
=
−
a
S
z
z
S
a
S
n
t
e
515
,
0
555
,
0
*
8
835
,
1
801
,
0
)
(
)
(
)
(
1
2
1
2
=
=
−
=
∑
∑
=
−
=
b
S
z
z
n
z
S
b
S
n
t
t
n
t
t
e
075
,
1
515
,
0
:
)
(
1
081
,
11
568
,
9
a
S
X
Y
+
=
∧
Sprawdzanie istotności parametrów:
447
,
2
)
05
,
0
;
6
(
*
=
I
Ekonometria – ćwiczenia 10 z 10-03-2001 r.
4
*
*
*
,
308
.
10
075
,
1
081
,
11
578
.
18
515
,
0
568
,
9
I
I
I
I
I
I
I
b
a
b
a
>
>
=
=
>
=
=
Parametry
α
i
β
są statystycznie istotne.
Zadanie 4.
Zależność pomiędzy zmienną Y a pojedynczymi zmiennymi X
1
, X
2
, X
3
były następujące :
3
3
3
03
2
2
2
2
0
1
1
1
1
0
log
log
log
ε
α
α
ε
α
α
ε
α
α
+
+
=
+
+
=
+
+
=
X
Y
X
Y
X
Y
współczynnik korelacji między zmienną Y i transformatami zmiennych X
1
, X
2
, X
3
oraz
współczynnik korelacji pomiędzy transformatami X
1
, X
2
, X
3
są następujące:
=
=
1
632
,
0
791
,
0
632
,
0
1
375
,
0
791
,
0
375
,
0
1
837
,
0
803
,
0
85
,
0
0
R
R
Stosując metodę wskaźników pojemności informacji proszę zbudować optymalny model wy-
korzystujący jako potencjalne zmienne objaśniające transformaty zmiennych X
1
, X
2
, X
3
3
3
2
2
1
1
1
log
X
Z
X
Z
X
Z
=
=
=
L = 2
3
-1
C
1
(Z
1
)
C
2
(Z
2
)
C
3
(Z
3
)
C
4
(Z
1
,Z
2
)
C
5
(Z
1
,Z
3
)
C
6
(Z
2
,Z
3
)
C
7
(Z
1
,Z
2
,Z
3
)
Ekonometria – ćwiczenia 10 z 10-03-2001 r.
5
944
,
0
8244
,
0
7946
,
0
9944
,
0
7006
,
0
6448
,
0
7225
,
0
2891
,
0
632
,
0
791
,
0
1
)
837
,
0
(
3213
,
0
632
,
0
375
,
0
1
)
803
,
0
(
3336
,
0
791
,
0
375
,
0
1
)
85
,
0
(
4293
,
0
632
,
0
1
)
837
,
0
(
3951
,
0
632
,
0
1
)
803
,
0
(
3912
,
0
791
,
0
1
)
803
,
0
(
4034
,
0
791
,
0
1
)
85
,
0
(
4689
,
0
375
,
0
1
)
803
,
0
(
5255
,
0
375
,
0
1
)
85
,
0
(
7006
,
0
)
837
,
0
(
6448
,
0
)
803
,
0
(
7225
,
0
)
85
,
0
(
73
72
71
7
63
62
6
53
51
5
42
41
4
33
3
22
2
11
1
2
73
2
72
2
71
2
63
2
62
2
53
2
51
2
42
2
41
2
33
2
22
2
11
=
+
+
=
=
+
=
=
+
=
→
=
+
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
=
=
=
=
=
h
h
h
H
h
h
H
h
h
H
maksimum
h
h
H
h
H
h
H
h
H
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
ε
α
α
α
+
+
+
=
2
2
1
1
0
log
X
X
Y
Ekonometria – ćwiczenia 10 z 10-03-2001 r.
6
Zadanie domowe 1.
Mając obserwacje zmiennych Y i X w 11 kolejnych latach
t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
y
t
3 6 8 9 10 9 10
12
11
11
12
x
t
2 4 6 8 10
10
12
14
15
16
18
oraz stosując metodę wyboru postaci analitycznej modelu na podstawie wykresów rozrzutów
punktów empirycznych proszę zaproponować postać analityczną modelu Y = f (X, t,
ε
).
Zadanie domowe 2.
Na podstawie następujących obserwacji zmiennych Y, X, proszę oszacować parametry struk-
turalne modelu:
Y =
α
0
+
α
1
X+
α
2
X
2
+
ε
t
1 2 3 4
y
t
14
13
10
15
x
t
1
1 2 4