Struktura modelu

Schemat modelu został już uprzednio zbudowany poprzez prowadzącego zajęcia.

Identyfikacja parametrów – metoda analityczna

Dane:

d₁=0.89m;

d₂=0.2m;

m₁=0.161kg;

m₂=0.63kg;

m­_P=0.134kg

Moment bezwładności wahadła wokół osi mocowania, czyli współczynnik J_W:

$$J_{W} = \frac{1}{12} \bullet m_{P} \bullet \left( d_{1} + d_{2} \right)^{2} + m_{P} \bullet \left( \frac{d_{1}}{2} - \frac{d_{2}}{2} \right)^{2} + m_{1} \bullet {d_{1}}^{2} + m_{2} \bullet {d_{2}}^{2}$$

$$J_{W} = \frac{1}{12} \bullet 0.134kg \bullet \left( 0.89m + 0.2m \right)^{2} + 0.134kg \bullet \left( \frac{0.89m}{2} - \frac{0.2m}{2} \right)^{2} +$$

+0.161kg • (0.89m)² + 0.63kg • (0.2m)² ≈ 0.1819 kg • m²

Środek ciężkości wahadła liczony w odniesieniu do osi mocowania wahadła:

$$d_{0} = \frac{m_{1} \bullet d_{1} + m_{p} \bullet \left( \frac{d_{1}}{2} - \frac{d_{2}}{2} \right) + m_{2} \bullet \left( {- d}_{2} \right)}{m_{1} + m_{2} + m_{P}}$$

$$d_{0} = \frac{0.161kg \bullet 0.89m + 0.134kg \bullet \left( \frac{0.89m}{2} - \frac{0.2m}{2} \right) + 0.63kg \bullet \left( - 0.2m \right)}{0.161kg + 0.134kg + 0.63kg} \approx 0.0687m$$

Współczynnik α:

α = (m₁+m₂+m_P) • g • d₀

$$\alpha = \left( 0.161kg + 0.134kg + 0.63kg \right) \bullet 9.81\frac{m}{s^{2}} \bullet 0.0687m \approx 0.6231\frac{kg \bullet m^{2}}{s^{2}}$$

Współczynnik T wyznaczamy korzystając z wykresu utworzonego na podstawie zdjęć:

T_s = 1.15s

Z obserwacji ruchu swobodnego wahadła wyznaczamy okres i amplitudy dwóch sąsiednich drgań, które posłużą nam pośrednio do wyznaczenia współczynnika β. Na początku z tych wartości obliczymy współczynnik a, który jest proporcjonalny do β. Po przekształceniach transmitancji doszliśmy do następującej zależności: β = 2 • J_W • a . Obliczając transformatę odwrotną transmitancji otrzymujemy zależność: $\frac{A_{1}}{A_{2}} = e^{\text{aT}}$

A₁=30;

A₂=22;

T=3.5s

$$a = \frac{1}{T}\ln\frac{A_{1}}{A_{2}}$$

$$a = \frac{1}{3.5\ s}\ln\frac{30}{22} \approx 0.0886\ \frac{1}{s}$$

$$\beta = 2 \bullet 0.1819\ kg \bullet m^{2} \bullet 0.0886\ \frac{1}{s} \approx 0.0322\ \frac{kg \bullet m^{2}}{s}$$

W następnym etapie ćwiczenia dokonaliśmy identyfikacji statycznej momentu napędowego wahadła w funkcji współczynnika wychylenia. Odczytywaliśmy kąt wychylenia wahadła i na jego podstawie obliczaliśmy moment napędowy wahadła.

PWM( ̴U)	Θ[deg]	Obliczenia - Mn=α·sin(θ·π/180)	Mn
0.00	0	Mn=0.6231·sin(0·π/180)=	0
0.10	4	Mn=0.6231·sin(4·π/180)=	0.0435
0.20	16	Mn=0.6231·sin(16·π/180)=	0.1718
0.30	30	Mn=0.6231·sin(30·π/180)=	0.3116
0.40	52	Mn=0.6231·sin(52·π/180)=	0.4910

Wyznaczam teraz współczynnik k jako nachylenie funkcji M_n=f(PWM)

Zatem współczynnik k =1.095.

Identyfikacja parametrów – „wpasowywanie”

Przy pomocy bloku NCD dobieramy parametry wahadła tak, aby został zminimalizowany błąd pomiędzy strojonym nieliniowym modelem wahadła, a odpowiedzią rzeczywistą układu. Szukane przez nas parametry wynoszą:

α=0.5482;

β=0.0875;

J_W=0.1547;

T_S=0.7887;

k=1.0193

Zamieszczamy dodatkowo wykresy, na których zamieszczone są: przebieg modelu (gładka linia) oraz odpowiedź rzeczywista (postrzępiona linia).

Przed minimalizacją błędów:

Po minimalizacji błędów:

Model liniowy obiektu

$$\frac{\text{dθ}(t)}{\text{dt}} = \Omega_{w}(t)$$

$$\frac{d\Omega_{w}}{\text{dt}} = - \frac{\alpha}{J_{w}}\theta\left( t \right) - \frac{\beta}{J_{w}}\Omega_{w}\left( t \right) + \frac{1}{J_{w}}M_{n}(t)$$

$$\frac{dM_{n}}{\text{dt}} = - \frac{1}{T}M_{n}\left( t \right) + \frac{k}{T}u(t)$$

$$\begin{bmatrix} \frac{\text{dθ}(t)}{\text{dt}} \\ \frac{d\Omega_{w}}{\text{dt}} \\ \frac{dM_{n}}{\text{dt}} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ - \frac{\alpha}{J_{w}} & - \frac{\beta}{J_{w}} & \frac{1}{J_{w}} \\ 0 & 0 & - \frac{1}{T} \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} \theta\left( t \right) \\ \Omega_{w}\left( t \right) \\ M_{n}(t) \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{k}{T} \\ \end{bmatrix} \bullet u(t)$$

$$y\left( t \right) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} \theta\left( t \right) \\ \Omega_{w}\left( t \right) \\ M_{n}(t) \\ \end{bmatrix}$$

Opis obiektu w przestrzeni stanu możemy zrealizować za pomocą macierzy:

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ - \frac{\alpha}{J_{W}} & - \frac{\beta}{J_{W}} & \frac{1}{J_{W}} \\ 0 & 0 & - \frac{1}{T} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ - 3.5436 & - 0.5656 & 6.4641 \\ 0 & 0 & - 1.2679 \\ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{k}{T} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1.2924 \\ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

D = [0]

Po wykorzystaniu do obliczeń środowiska MATLAB otrzymujemy transmitancję:

$$G\left( s \right) = \frac{8.354}{s^{3} + 1.834s^{3} + 4.261s + 4.493} = \frac{8.354}{\left( s + 1.268 \right)\left( s^{2} + 0.5656s + 3.544 \right)}$$

Współczynnik wzmocnienia transmitancji jest równy:

$$k = \operatorname{}{\frac{8.354}{s^{3} + 1.834s^{3} + 4.261s + 4.493} = \frac{8.354}{4.493} \approx 1.8593}$$

A jej pierwiastki wynoszą:

p₁ = - 0.2828 + j1.8611;

p₂ = - 0.2828 - j1.8611;

p₃ = -1.2679;

Wykres:

Pierwiastki zaznaczone na płaszczyźnie zespolonej:

W przypadku, kiedy współczynnik β = 0 otrzymujemy następujące macierze:

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ - \frac{\alpha}{J_{W}} & - \frac{\beta}{J_{W}} & \frac{1}{J_{W}} \\ 0 & 0 & - \frac{1}{T} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ - 3.5436 & 0 & 6.4641 \\ 0 & 0 & - 1.2679 \\ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{k}{T} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1.2924 \\ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

D = [0]

W takim przypadku transmitancja wynosi:

$$G\left( s \right) = \frac{8.354}{s^{3} + 1.268s^{3} + 3.544s + 4.493} = \frac{8.354}{\left( s + 1.268 \right)\left( s^{2} + 3.544 \right)}$$

A jej pierwiastki wynoszą:

p₁ = j1.8825;

p₂ = -j1.8825;

p₃ = -1,2679;

Wykres:

Pierwiastki zaznaczone na płaszczyźnie zespolonej:

W przypadku, kiedy współczynnik β = 0.2 otrzymujemy następujące macierze:

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ - \frac{\alpha}{J_{W}} & - \frac{\beta}{J_{W}} & \frac{1}{J_{W}} \\ 0 & 0 & - \frac{1}{T} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ - 3.5436 & - 1.2928 & 6.4641 \\ 0 & 0 & - 1.2679 \\ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{k}{T} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1.2924 \\ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

D = [0]

W takim przypadku transmitancja wynosi:

$$G\left( s \right) = \frac{8.354}{s^{3} + 2.561s^{3} + 5.183s + 4.493} = \frac{8.354}{\left( s + 1.268 \right)\left( s^{2} + 1.293s + 3.544 \right)}$$

A jej pierwiastki wynoszą:

p₁ = - 0.6464 + j1.7680;

p₂ = -0.6464 - j1.7680;

p₃ = -1,2679;

Wykres:

Pierwiastki zaznaczone na płaszczyźnie zespolonej:

Wykres położenia pierwiastków na płaszczyźnie zespolonej w zależności od parametru β (parametr β zmienny w zakresie 0 : 0.01 : 0.58): Z wykresu widać, że podczas zmieniania się parametru β zmieniają się pierwiastki zespolone sprzężone, natomiast pierwiastek rzeczywisty pozostaje taki sam dla wszystkich parametrów i wynosi -1.2679. Razem ze wzrostem wartości parametru β rośnie zarówno moduł pierwiastka zespolonego i jak i wartość bezwzględna jego argumentu.