WŁASNOŚCI DZIAŁAŃ:

W - wykonalność działania w zbiorze A

niech o - symbol dowolnego działania

dla każdego (a,b ∈ A) istnieje (c ∈ A) a o b = c

Ł - łączność działania

dla każd (a,b,c ∈ A) a o (b o c) = ( a o b) o c

np. dodawanie, mnożenie jest łączne

odejmowanie, dzielenie nie są łączne

L= a-(b-c) = a-b+c

P= (a-b)-c = a-b-c L≠P

P - przemienność

dla każdego (a,b ∈ A) a o b = b o a

działania przemienne

a+b=b+a

a*b=b*a

działania nieprzemienne

a-b ≠ b-a

a : b ≠ b : a

N - element neutralny

niech e - element neutralny działania “o”

⇔ dla każdego (a ∈ A) a o e = e o a = a

np. a+0=a ; 0 - element neutralny dodawania

a*1=a ; 1 - element neutralny mnożenia

nie istnieje element neutralny dla mnożenia wektorowego

Element neutralny jednostronny e^p

dla każdego (a ∈ A) a o e^p = a ≠ e^p o a ≠ a

np. a-0=a dla odejm. “0” elem. neutralny prawostronny

0-a≠a

a : 1=a “1” elemnt neutralny prawostronny dzielenia

1 : a≠a

O - element odwrotny (przeciwny)

a’ - element odwrotny do “a” względem działania “o”

⇔ a o a’ = a’ o a = e

“+” a ; a’ = -a , a∈R

a + ( -a)=0

„*” a’ * a = a * a’ =1

a’ = 1/a ; a≠0

a’ ≡ a-1

np. 2’ = -2 (-6)’ = 6

Dla dzielenia i odejmowania istnieje tylko element odwrotny prawostronny

a ≠ a’ a : a’ =1 ⇒ a’=a

a : a’ ≠ a’ : a a’ : a = a : a’ = 1

a_L’: a = 1_L nie istnieje

a : a’_P = 1_P ⇒ a’=a

R - rozłączność jednego działania względem drugiego

(A, ⊕, o) ⊕ jest rozłączne względem “o”⇔

dla każdego (a,b,c ∈ A) a o (b ⊕ c) = ( a o b) ⊕ (a o c)

np. + jest rodzielne względem mnożenia

a*(b+c)=ab+ac

a+(b*c)=a+ bc ą ab+ac

mnożenie względem dodawania nie jest rozłączne

np. w zbiorze zdań:

p v (q ∧ r) ⇔ (p v q) ∧ (p v r)

Struktury algebraiczna (A,f₁,...,f₂,F₁,...,F₂,g₁,...,g₂)

W-wykon., Ł- łączne, R-rozł. ,O-elem.odw. ,N-neut.

grupoid (A, ο) – W,R

półgrupa (A, ο) - W, Ł,R

monoid (A ,o) - W,Ł,N,R

Grupa (A ,o) W,Ł,N,O,R

Grupa abelowa (A , o) W,Ł,N,P,O,R

Pierścień (A,⊕,ο), (A,⊕) gr. Przemienna „ο” W,Ł,R

Pierścień uitarny (A,⊕,o), (A,⊕) gr. przem. „ο” W,Ł,R

Pierścień przemienny (A,⊕,o), (A,⊕) gr. przem. „ο” W,Ł,N,P,R

Ciało (A,⊕,o), (A,⊕) gr. przem., e-dział. ⊕, (A\ {e},o)-gr. przem., R

Przestrzeń liniowa nad ciałem

(A,⊕, ((F,+,*), • )

Własności przestrzeni

1. rozdzielność dodawania w ciele względem mnożenia dla każdego b,c ∈F i dla każdego a∈A (b+c)•a=(b•a)⊕(c•a)

2. rozdzielność dodawania w zbiorze A względem mnożenia dla każdego c∈F i dla każdego a,b∈A c•(a⊕b)=(c•a)⊕(c•b)

3. rozdzielność mnożenia w ciele F względem zewnętrznego dla każdego b,c ∈F i dla każdego a∈A (b•c)•a=(b•a)•(c•a)

4. (A,⊕) grupa przemienna

Algebra nad ciałem liczb

(A,⊕, o,(F,+,*),•)

1. (A,⊕,(F,+,*),•) – przestrzeń liniowa

2. dla kazdego c∈F i dla każdego a,b∈A c•(aob)=(c•a)0b=a0(b•c)

3. (A,⊕,o) pierścień

Grupy izomorficzne

(G₁,o) i (G₂,­­□)

Grupy (G₁,o) i (G₂,­­□) są izomorficzne ⇔ istnieje bijekcja f:G₁→G₂ taka, że dla każdego a,b∈G₁ f(aob)=f(a)□f(b)

Działanie odwrotne

Niech (G,o) – grupa W grupie można zdefiniować działanie odwrotne do „o”

czyli „ō” a ō b =aob′, gdzie b′ odwrotny względem działania „o”

Ciała izomorficzne

(K₁,⊕,o) i (K₂,+,*) są izomficzne ⇔ istnieje bijekcja f:K₁→K₂ taka że istnieje a,b∈K₁ f(a⊕b)=f(a)+f(b) i f(aob)=f(a)*f(b)