1. Wprowadzenie.

Pojęcie bryły sztywnej jest tylko użytecznym przybliżeniem, rzeczywiste ciała zmieniają swój kształt pod wpływem przyłożonych sił. Jeżeli po usunięciu siły ciało wraca do kształtu pierwotnego mówimy o odkształceniu sprężystym. Prawo Hooke'a mówi, że odkształcenie sprężyste ciała jest proporcjonalne do przyłożonych sił.

W przypadku rozciągania jednorodnego pręta przyrost długości l jest proporcjonalny do jego długości l i siły F, a odwrotnie proporcjonalny do przekroju poprzecznego S.

$$l = \frac{\text{Fl}}{\text{ES}}$$

Stała materiałowa E nasi nazwę MODUŁU YOUNGA.

Moduł Younga jest to stosunek naprężenia normalnego do względnego wydłużenia.

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{\text{Fl}}{\text{SΔl}}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} = Pa \right\rbrack$$

gdzie:

σ – naprężenie normalne zdefiniowane jako stosunek przyłożonej siły do pola przekroju pręta:

$$\sigma = \frac{F}{S}$$

ε – normalne odkształcenie względne, równe stosunkowi przyrostu długości do długości początkowej:

$$\varepsilon = \frac{l}{l}$$

Aby wyznaczyć moduł Younga musimy znać długość l i średnicę drutu d oraz jego wydłużenie l pod wpływem danego obciążenia F, a także pole przekroju drutu S.

Siła F rozciągająca drut jest siłą ciężkości odważników o masie m. Zatem F = mg, gdzie $g = 9,81\frac{m}{s^{2}}$ jest przyspieszeniem ziemskim. Zgodnie z prawem Hooke’a zależność l(m) winna być linią prostą o równaniu l = aF + b.

Porównując równanie prostej l = aF + b z wzorem $l = \frac{\text{Fl}}{\text{ES}}$ pokazuje, że współczynnik nachylenia a jest tożsamy z czynnikiem $\frac{l}{\text{ES}}$, zatem $E = \frac{l}{\text{aS}}$. Ponadto pole przekroju drutu S obliczamy ze średnicy d jako $S = \frac{\pi d^{2}}{4}$, zatem roboczy wzór na moduł Younga przyjmuje postać:

$$E = \frac{4l}{\pi d^{2}a}$$

Niepewność złożoną u_C(E) obliczamy przy pomocy prawa propagacji niepewności względnej na podstawie niepewności l, d oraz a (niepewność współczynnika nachylenia u(a) pochodzi od błędu przypadkowego pomiaru l, gdyż niepewność masy m jest pomijalna). Otrzymujemy:

$$\frac{u_{C}(E)}{E} = \sqrt{\left\lbrack \frac{u(l)}{l} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - 2\frac{u(d)}{d} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - \frac{u(a)}{a} \right\rbrack^{2}}$$

2. Opis wybranych zagadnień kontrolnych.

1. Pojęcie naprężenia. Rodzaje naprężeń.

Naprężenie to miara sił wewnętrznych powstających w ciele pod wpływem zewnętrznej, odkształcającej siły. Rodzaje:

- naprężenie normalne

- naprężenie całkowite

- naprężenie styczne

1. Moduł Younga. Podaj definicję i jednostkę.

Inaczej stała materiałowa – jest to wielkość określająca sprężystość materiału. Wyraża zależność względnego odkształcenia liniowego ε materiału od naprężenia σ jakie w nim występuje w zakresie odkształceń sprężystych.

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$$

Jednostka: paskal $\left\lbrack 1Pa \right\rbrack = \left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$

1. Co się stanie z drutem po przekroczeniu granicy sprężystości?

Po przekroczeniu granicy sprężystości rozpoczyna się nieodwracalne odkształcenie materiału. W reszcie po przekroczeniu maksymalnego naprężenia materiał ulegnie zerwaniu.

1. Dlaczego zmiany długości drutu są dwa razy mniejsze od zmian długości podawanych przez czujnik?

Ponieważ pręt i szalka zamocowane są w połowie odległości między osią obrotu a punktem styku z czujnikiem mikrometrycznym.

3. Wyniki pomiarów.

Wyniki pomiarów umieszczone są w tabelach 1 i 2.

4. Opracowywanie wyników pomiarów.

DRUT STALOWY

1. Do mierzenia długości drutu l użyliśmy przymiaru zamocowanego na statywie, którego dokładność równa jest 1 mm.

Długość drutu: l = 106, 7 cm

Niepewność metodą typu B: $u\left( l \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,58\ mm$

Do mierzenia średnicy drutu d użyliśmy śruby mikrometrycznej, której dokładność równa 0, 01 mm.

Otrzymane wyniki 3 pomiarów: d₁ = 0, 725 mm, d₂ = 0, 72 mm, d₃ = 0, 72 mm

Niepewność metodą typu B: $d\left( l \right) = \frac{0,01}{\sqrt{3}} \approx 0,0058\ mm$

Obliczanie średnicy średniej:

$$d = \frac{d_{1} + d_{2} + d_{3}}{3} = \frac{0,725 + 0,72 + 0,72}{3} \approx 0,722\ mm$$

1. Obliczanie wartości siły rozciągającej.

Do pomiarów użyliśmy 7 odważników 1kg, obciążając szalkę kolejnym odważnikami . Wartość siły rozciągającej obliczamy ze wzoru:

F = mg

Przykład obliczania dla m = 1kg:

$$F = 1 \bullet 9,81 = 9,81\ \left\lbrack \text{kg}\frac{m}{s^{2}} = N \right\rbrack$$

Pozostałe wyniki zapisane do tabeli 1.

1. Wartość średniego wydłużenia obliczamy na podstawie wskazań czujników cz↑ oraz cz↓ jako:

$$l = \frac{\left( cz \uparrow + cz \downarrow \right)}{4}$$

Przykład obliczania dla cz ↑ =0, 4 mm oraz cz ↓ =0, 44 mm

$$l = \frac{\left( 0,4 + 0,44 \right)}{4} = 0,21\ mm$$

Pozostałe wyniki zapisane do tabeli 1.

4-6. Sporządzenie wykresu.

7. Obliczanie wartości modułu Younga.

$$E = \frac{4l}{\pi d^{2}a}\backslash n$$

dane: l = 1, 067 m, d = 0, 000722 m, $a = 0,000014161\ \frac{m}{N}\ $

Zatem eksperymentalna wartość modułu Younga dla stali wynosi:

$$E = \frac{4 \bullet 1,067}{3,14 \bullet \left( 0,000722 \right)^{2} \bullet 0,000014161} \approx 184\ GPa$$

8. Obliczanie niepewność moduły Younga z prawa o przenoszeniu niepewności.

dane: u(l) = 0, 00058 m, u(d) = 0, 0000058 m, $u\left( a \right) = 0,00000018348\ \frac{m}{N}$

$$u\left( E \right) = E\sqrt{\left\lbrack \frac{u(l)}{l} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - 2\frac{u(d)}{d} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - \frac{u(a)}{a} \right\rbrack^{2}} = 184\sqrt{\left\lbrack \frac{0,00058}{1,067} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - 2\frac{0,0000058}{0,000722} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - \frac{0,00000018348}{0,000014161} \right\rbrack^{2}} \approx 3,8\ GPa$$

8. Porównanie z wartością tablicową modułu Younga równą E_t = 210 GPa

|210−184| = 26 > 3, 8

DRUT MOSIĘŻNY

1. Do mierzenia długości drutu l użyliśmy przymiaru zamocowanego na statywie, którego dokładność równa jest 1 mm.

Długość drutu: l = 106, 8 cm

Niepewność metodą typu B: $u\left( l \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,58\ mm$

Do mierzenia średnicy drutu d użyliśmy śruby mikrometrycznej, której dokładność równa 0, 01 mm.

Otrzymane wyniki 3 pomiarów: d₁ = 0, 775 mm, d₂ = 0, 78 mm, d₃ = 0, 775 mm

Niepewność metodą typu B: $d\left( l \right) = \frac{0,01}{\sqrt{3}} \approx 0,0058\ mm$

Obliczanie średnicy średniej:

$$d = \frac{d_{1} + d_{2} + d_{3}}{3} = \frac{0,775 + 0,78 + 0,775}{3} \approx 0,777\ mm$$

1. Obliczanie wartości siły rozciągającej.

Do pomiarów użyliśmy 6 odważników 1kg, obciążając szalkę kolejnym odważnikami . Wartość siły rozciągającej obliczamy ze wzoru:

F = mg

Przykład obliczania dla m = 2kg:

$$F = 2 \bullet 9,81 = 19,62\ \left\lbrack \text{kg}\frac{m}{s^{2}} = N \right\rbrack$$

Pozostałe wyniki zapisane do tabeli 2.

1. Wartość średniego wydłużenia obliczamy na podstawie wskazań czujników cz↑ oraz cz↓ jako:

$$l = \frac{\left( cz \uparrow + cz \downarrow \right)}{4}$$

Przykład obliczania dla cz ↑ =0, 72 mm oraz cz ↓ =0, 76 mm

$$l = \frac{\left( 0,72 + 0,76 \right)}{4} = 0,37\ mm$$

Pozostałe wyniki zapisane do tabeli 2.

4-6. Sporządzenie wykresu.

7. Obliczanie wartości modułu Younga.

$$E = \frac{4l}{\pi d^{2}a}\backslash n$$

dane: l = 1, 068 m, d = 0, 000777 m, $a = 0,000028454\ \frac{m}{N}\ $

Zatem eksperymentalna wartość modułu Younga dla mosiądzu wynosi:

$$E = \frac{4 \bullet 1,068}{3,14 \bullet \left( 0,000777 \right)^{2} \bullet 0,000028454} \approx 79\ GPa$$

8. Obliczanie niepewność moduły Younga z prawa o przenoszeniu niepewności.

dane: u(l) = 0, 00058 m, u(d) = 0, 0000058 m, $u\left( a \right) = 0,00000076449\ \frac{m}{N}$

$$u\left( E \right) = E\sqrt{\left\lbrack \frac{u(l)}{l} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - 2\frac{u(d)}{d} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - \frac{u(a)}{a} \right\rbrack^{2}} = 79\sqrt{\left\lbrack \frac{0,00058}{1,068} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - 2\frac{0,0000058}{0,000722} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - \frac{0,00000076449}{0,000028454} \right\rbrack^{2}} \approx \ 2,47\ GPa$$

8. Porównanie z wartością tablicową modułu Younga równą E_t = 100 GPa

|100−79| = 21 > 2, 47

WNIOSKI:

1. Wykres zależności przyrostu długości od działającej siły w całym badanym zakresie zmian jest zależnością liniową (przy obu drutach: żelaznym i mosiężnym), co świadczy o tym, że podczas pomiarów nie została przekroczona granica sprężystości.

2. Błąd pomiaru jest duży (wyniki nie zgadzają się w granicach niepewności pomiaru z wartością tablicową), co świadczy o niedoskonałości metody pomiarowej, a także złym stanie początkowym drutów, na których przeprowadzane było doświadczenie. Można również wytłumaczyć to pewnymi niedokładnościami podczas mierzenia odkształceń przy manipulowaniu obciążeniem.