Politechnika Krakowska Wydział Inżynierii Środowiska	Imię i Nazwisko: Mateusz Mróz	Nr zespołu: I	Ocena:
Grupa: V	Temat ćwiczenia: Wyznaczanie ziemskiego przyspieszenia na podstawie wahadła matematycznego	Nr ćwiczenia: 1	Data wykonania: 18.10.2011

1. Wprowadzenie

Przyspieszenie ciał spadających swobodnie w polu grawitacyjnym przy braku jakichkolwiek oporów ruchu nazywamy przyspieszeniem ziemskim i oznaczamy przez g. Wartość tą możemy wyznaczyć ze wzoru:

$g = G\frac{M_{z}}{R_{z}^{2}}$

gdzie G jest stałą grawitacji, a M_Z i R_Z są odpowiednio masą i promieniem Ziemi.

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Na ciało działa stała siła grawitacji. Podczas gdy wahadło odchyla się od położenia równowagi, składowa siły grawitacji wzdłuż nici jest równoważona przez nić, a składowa prostopadła do nici działająca w kierunku punktu równowagi nadaje ciału przyspieszenie. Wahadło matematyczne jest przypadkiem wyidealizowania wahadła fizycznego.

2. Metoda pomiaru

Wahadło proste jest to mała kulka (przeważnie metalowa) zawieszona na nierozciągliwej, lekkiej nici, której ciężar w rozwiązywaniu zadań możemy zaniedbać. Wychylona z położenia równowagi, po swobodnym puszczeniu dana kulka wykonuje ruch drgający prosty.

Analizując ruch kulki pod wpływem siły, oraz rozwiązując odpowiednie równanie ruchu dostajemy, że kątowe wychylenie kulki φ jest funkcją okresową czasu o okresie danym wzorem:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\backslash n$$

gdzie l jest długością wahadła.

Równanie to przyczynia się do ułożenia równania na przyspieszenie ziemskie g, o ile znamy długość wahadła l i okres jego drgań T:

$$g = \frac{4\pi^{2}l}{T^{2}}$$

3. Opracowanie wyników

Lp	10 TZ	Ti [s]	Ti – T [s]	(Ti – T)^2 [s^2]
1	15,9	1,59	-0,05	0,0025
2	16,2	1,62	-0,02	0,0004
3	16,8	1,68	0,04	0,0016
4	16,8	1,68	0,04	0,0016
5	15,9	1,59	-0,05	0,0025
6	16,7	1,67	0,03	0,0009
7	15,9	1,59	-0,05	0,0025
8	16,3	1,63	-0,01	0,0001
9	16,7	1,67	0,03	0,0009
10	16,8	1,68	0,04	0,0016

$$\overset{\overline{}}{T} = 1,64s$$

4. Obliczenia

$$\Delta T = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{10}\left( T_{i} - \overset{\overline{}}{T} \right)^{2}}{10(10 - 1)} = \sqrt{\frac{0,0146\ \bullet s^{2}}{10 \bullet 9}} = \frac{\sqrt{146}\text{\ s}}{300}} = 0,04\ s$$

T = (1,64∓0,04)s

$$g = \frac{4 \bullet {3,14}^{2} \bullet 0,669\ m}{{1,64}^{2} \bullet s^{2}} = \frac{26,38\ m}{2,68\ s^{2}} = 9,84328\ \frac{m}{s^{2}}$$

$$g_{\max} = \left| \frac{\partial g}{\partial l} \right|l + \left| \frac{\partial g}{\partial T} \right|\text{T\ }\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }g = 4\pi \bullet l \bullet T^{- 2}$$

$$\frac{\partial g}{\partial l} = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left( x^{n} \right)^{'} = nx^{n - 1}$$

$$\frac{\partial g}{\partial T} = \frac{8\pi^{2}l}{T^{3}}$$

$$g_{\max} = \left| \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} \right|l + \left| \frac{- 8\pi^{2}l}{T^{3}} \right|T$$

$$g_{\max} = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} \bullet l + \frac{8\pi^{2}l}{T^{3}} \bullet T$$

Korzystając z logarytmów:

$$\left( \frac{g}{g} \right)_{\max} = \left| 1 \right|\frac{l}{l} + \left| - 2 \right|\frac{T}{T} = \frac{l}{l} + \frac{2T}{T}$$

$$\left( \frac{g}{g} \right)_{\max} = \frac{0,002\ m}{0,669\ m} + \frac{2 \bullet 0,04\ s}{1,64\ s} = \frac{2}{669} + \frac{8}{164} = 0,00298 + 0,04878 = 0,05176$$

$$g_{\max} = 0,05176 \bullet 9,84328\ \frac{m}{s^{2}} = 0,50948\ \frac{m}{s^{2}}\ $$

$$g_{\max} \approx 0,51\ \frac{m}{s^{2}}$$

$$g = \left( 9,84 \mp 0,51 \right)\ \frac{m}{s^{2}}$$