I PRACOWNIA FIZYCZNA, UMK TORUŃ

Instrukcja do ćwiczenia nr 9

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI BRYŁY SZTYWNEJ ZA POMOCĄ WAHADŁA TORSYJNEGO

Instrukcję wykonał Mariusz Piwiński

I. Cel ćwiczenia.

• Wyznaczenie momentu bezwładności za pomocą wahadła torsyjnego (metoda dynamiczna)

II. Zagadnienia do przygotowania.

W opisie:

• Pojęcie bryły sztywnej,

• Moment bezwładności i twierdzenie Steinera,

• Prawo Hooke'a i zakres jego stosowalności.

III. Przyrządy pomiarowe.

• stoper,

• taśma miernicza,

• śruba mikrometryczna,

• suwmiarka,

• waga.

Wahadło torsyjne

IV. Przebieg ćwiczenia.

1. Za pomocą miary, pięciokrotnie wyznaczyć długość wahadła L. Wyniki zapisać w poniższej tabeli.

Tabela 1.Długość wahadła

Lp.	Długość wahadła L [m]
1.
2.
3.
4.
5.

2. Używając śruby mikrometrycznej, w dziesięciu miejscach wyznaczyć średnicę drutu 2r. Wyniki zapisać w poniższej tabeli.

Tabela 2. Grubość drutu.

Lp.	Średnica drutu 2r [m]	Promień drutu r [m]
1.
2.
3.
…
10.

3. Odchylając nieobciążone wahadło o kąt równy około 15º, wprawić je w drgania. Po ustaleniu się drgań, wyznaczyć czas trwania 50 okresów (t₀) i na jego podstawie obliczyć okres drgań wahadła T₀ (
   ).

Uwaga : Pomiar przeprowadzić w następujący sposób. Z chwilą, gdy wahadło przechodzi przez położenie równowagi w prawo - uruchomić stoper i zacząć liczyć od zera. Każde następne wychylenie z położenia równowagi w prawo liczyć jako 1,2,3,…

4. Pięciokrotnie zmierzyć wymiary odważników (l, b, c) oraz wyznaczyć ich masę. Otrzymane wyniki wpisać do tabeli.

Tabela 3. Wymiary odważnika nr 1 o masie m₁=…

l [m]	b =2R1[m]	c=2R2 [m]

Tabela 4. Wymiary odważnika nr 2 o masie m₂=…

l [m]	b =2R1[m]	c=2R2 [m]

5. Wykonać po 5 pomiarów odległości pierwszego nacięcia d₁ od osi obrotu na każdym z ramion wahadła torsyjnego. Obliczyć wartość średnią.

6. W przypadku, gdyby wartości różniły się od siebie w znaczący sposób, należy wraz z opiekunem ustawić pręt z podziałką w taki sposób, aby stalowy drut pokrywał się z jego osią symetrii.

7. Ustawić ciężarki w taki sposób, aby ich osie symetrii pokrywały się z pierwszymi nacięciami na pręcie z podziałką.

8. Dla tak obciążonego wahadła torsyjnego, wyznaczyć czas trwania 50 okresów (t₁) i na jego podstawie obliczyć okres wahadła T₁ (
   ).

9. Powtórzyć procedurę pomiarową (punkty 5, 7, 8) dla dziewięciu kolejnych położeń ciężarków (d_i , i = 2, …10 ), zgodnych z dziewięcioma kolejnymi nacięciami na pręcie.

10. Wyniki wszystkich przeprowadzonych pomiarów zapisać w tabelach.

Tabela 5. Dane dotyczące drgań wahadła przy różnym ustawieniu ciężarków.

t0 [s]	t1 [s]	t2 [s]	t3 [s]	t4 [s]	t5 [s]	t6 [s]	t7 [s]	t8 [s]	t9 [s]	t10 [s]
T0 [s]	T1 [s]	T2 [s]	T3 [s]	T4 [s]	T5 [s]	T6 [s]	T7 [s]	T8 [s]	T9 [s]	T10 [s]

Tabela 6. Odległości ciężarków d_i od osi obrotu.

Lp.	d1 [m]	d2 [m]	d3 [m]	d4 [m]	d5 [m]	d6 [m]	d7 [m]	d8 [m]	d9 [m]	d10 [m]
1.
2.
3.
4.
5.

V. Opracowanie wyników.

1. Wartość momentu skręcającego D wyraża poniższe równanie,

, (1)

gdzie  oznacza moduł sztywności na skręcanie.

2. Za pomocą wzoru na okres drgań wahadła torsyjnego

, (2)

można wyznaczyć moment bezwładności nieobciążonego wahadła I₀.

3. W analogiczny sposób, można również obliczyć moment bezwładności I_i obciążonego wahadła torsyjnego dla kolejnych ustawień ciężarków (kolejnych wartości d_i).

4. Moment bezwładności układu dwóch ciężarków wyrażony jest w następujący sposób

, (3)

gdzie I_2ci - oznacza obliczony moment bezwładności dla układu dwóch symetrycznie umieszczonych ciężarków.

5. Ciężarki umieszczone symetrycznie na pręcie, są oddalone od osi względem, której odbywa się ruch całego wahadła o odległość d_i, dlatego też, aby wyznaczyć ich moment bezwładności względem ich osi symetrii, należy skorzystać z twierdzenia Steinera

Ostatecznie, przyjmując, że
oraz zakładając, że masy obu ciężarków są identyczne, otrzymujemy związek:

, (4)

gdzie I_c oznacza moment bezwładności ciężarka względem osi przechodzącej przez jego środek masy, równoległej do osi obrotu wahadła torsyjnego.

6. Korzystając z powyższych wzorów (2, 3, 4), można ostatecznie otrzymać równanie

, (5)

gdzie
, (6)

oraz
. (7)

7. Na papierze milimetrowym zrobić wykres
   . Odczytać z wykresu wartości A i B.

8. Znając wartość współczynnika A, oraz korzystając ze wzorów (6) i (1), obliczyć D
   i  Następnie wyznaczoną wartość D, podstawić do wzoru (2), z którego należy obliczyć I₀ oraz I_i. Z zależności (3) i (4) obliczyć wielkości I_2ci, I_c. Uzupełnić Tabelę 7. nadając jej odpowiedni nagłówek.

Tabela 7. …

Lp.	[m]	Ti [s]	[m^2]	[s^2]	Ii [m^2kg]	I2ci [m^2kg]	Ic [m^2kg]
1.
3.
…
10.

9. Znając wartość momentu kierującego D oraz współczynnik B, korzystając ze wzoru (7) obliczyć I_c.

10. Znając wymiary walców (l, R₁, R₂) oraz ich masy, obliczyć momenty bezwładności dla każdego z walców, względem osi przechodzącej przez ich środki masy i prostopadłej do osi walca (oś OO'). Skorzystać z poniższego wzoru:

(8)

VI. Ocena wyników pomiarów.

1. Oszacować błąd maksymalny dla momentu bezwładności walca I_c, wyznaczonego dwoma metodami (za pomocą wykresu oraz na podstawie wymiarów i masy walca). Porównać i przedyskutować otrzymane wyniki.

2. Oszacować błąd maksymalny dla modułu sztywności na skręcanie , wyznaczonego na podstawie wykresu. Porównać otrzymany wynik z wartością odczytaną z tablic.

3. Korzystając z wykresów dokonać graficznej oceny błędu maksymalnego dla obu wyznaczonych wartości (I_c i 

4. Porównać ze sobą i ocenić stosowane metody wyznaczania momentu bezwładności.

VII. Literatura:

• A.Bielski, R.Ciuryło, Podstawy metod opracowania pomiarów,

UMK, Toruń 2001,r. 8.

• T.Dryński, Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, PWN, Warszawa 1977, s.105.

• R.Resnick, D.Holliday, Fizyka, Tom 1, PWN, Warszawa 1983, s.358.

• H.Szydłowski, Pracownia Fizyczna, PWN, Warszawa 1977, s.170.

Strona 4 z 5

c

b

l

Ciężarki

Pręt z centymetrową skalą

Drut stalowy

l

R₁

O'

O

---