Informacje będące wynikiem bezpośrednich obserwacji są uzależnione od warunków zewnętrznych w jakich obserwacja była realizowana, od predyspozycji psychicznej obserwatora mają charakter subiektywny i jakościowy (dany przedmiot cieplejszy od drugiego).

Doświadczeniami których efektem jest wyznaczenie z odpowiednią dokładnością wartości określające aktualny stan materii są pomiarem.

Pomiarem nazywamy operacje porównania wartości danej wielkości z wartością którą przyjęto powszechnie za jednostkę miary lub z obowiązującą skalą.

W procesie pomiarowym po wykonaniu odpowiednich wynności prszy użyciu odpowiednich środków stwierdzamy że w danych warunkach wielkość mierzona X na wartość a ≤ x ≤ b stwierdzenie to nazywamy wynikiem pomiaru.

Pomiarem nazywamy czynności doświadczalne mające na celu wyznaczenie wartości wielkości mierzonej wyrażonej iloczynem liczby i jednostki miary.

Model matematyczny pomiaru- w pomiarze biorą udział 2 zbiory wielkości, zbiór X wielkości mierzonej, oraz zbior W wielkości wzorcowej którego elementy są uporządkowane według wartosci. Wielkość mierzona X stanowi skończony lub nieskończony zbiór który jest ograniczony od góry i od dołu.

Zakłada się ze zbiór W jest zbiorem skończonym to znaczy, że W_i + 1 − W_i = 2ε > 0.

Czynności pomiarowe są w modelu matematycznym równoważne przyporządkowane elementy X elementom W o tej samej wartości, ponieważ jednak zbiór W jest dyskretny więc przyporządkowanie nie może być jednoznaczne i dlatego wynikiem pomiaru jest nierówność W_i ≤ X_i ≤ W_i + 1 założenie że 2ε_i > 0 jest podstawowym postulatemmetrologii.

Wielkością jest lub może być każda właściwość materii lub zjawiska która jest jednoznacznie zdefiniowana t.z. def. Musi zawierać określenie danej własności oraz ustalenie dla niej odpowiedniej jednostki miary.Jednostką miary wielkości jest umownie przyjęta za jedność wartości danej wielkości.

NARZĘDZIA POMIAROWE- nazywamy środkami techniczne do wykorzystania pomiarów i obejmują one wzorce miar i przyrządy pomiarowe, przetworniki pomiarowe nazywamy ciała fizyczne które odtwarzają miary danych wielkości z określoną dokładnoscią wzorce jednostkowe powinny spełniać nastepujące warunki:

1)łatwość porównywania

2) łatwość odtwarzania

3) duża oporność

4) niezmienność w czasie

X=A=const. (postulowana)

X=A+f(t) (rzeczywista)

W określonych warunkach i określonym przedziale czasu jest spełniona nierówność :

|f(t)|_max≤_w

Wielkość X można uznać za wzorzec o wartości W = A₋⁺_w

Miarę wzorca określają 2 składniki:

- nominalną wartość wzorca

- niedokładność miary wzorca

Wzorcami największej dokładności są etalony przeznaczone wyłącznie do przekazywania jednostki miary danej wielkości innym wzorcem w hierarchi etalonów wyrównia się:

-etalon podstawowy (jest on wzorcem państwowym przechowywanym w głównym urzędzie miasta Warszawa) charakteryzuje się największą dokładnością i często tworzy go kilka i kilkanaście wzorców a jego wartość określa średnia wartość i ich miar.

-etalon świadek jest przeznaczony do kontroli wartości etalonu podstawowego jego własności metrologiczne jak własności etalonu postawowego. (nie gorsze)

- etalony odniesienia ich miarę wyznacza się przez porównanie z wzorcem podstawowym, służą one do porównań z etalonami kontrolnymi.

- etalony kontrolne są przeznaczone do określonych porównań z nimi wtalonów wzorców użytkowych.

- wzorce użytkowe uczestniczą bezpośrednio w procesach pomiarowych

Sposób i okresy sprawdzania wzorców jednostek miar są ujęte odpowiednimi przepisami państwowymi.

Do bezpośredniego wykorzystywania pomiarów są przeznaczone przyrządy pomiarowe ograniczenie zbiorów wartości wzorcowych. W odtwarzanego przez przyrząd pomiarowy nazywamy zakresem pomiarowym przyrządu.

W przypadkach pomiarowych analogowych miarę wartości wielkości określa jedno położenie wskazówki względem podziału która jest zbiorem nieskończonym przyrządy pomiarowe których wskazania tworzą zbiór dyskretny nazywamy przyrządami z odczytem cyfrowym.

Praktycznie zbiór wartości wielkości wzorcowej odwzorowany na podziałce przyrządu analogowego można uznać za zbiór dyskretny.

Błędy i niepewność pomiary wykonując pomiary zawsze popełniamy pewne błędy, których wartości w celu uzyskania poprawnych wynikow pomiarów należy możliwie dokładnie określić :

_X^o− Wartość prawdziwa (rzeczywista)

$\hat{X} -$wartość zmierzona

Jako kompletny wynik pomiaru należy zawsze podawać wartość mierzoną $\hat{X}$ oraz miarę niedokładności pomiaru, czyli miaręrozbieżności między wartością mierzoną $\hat{X}$ a wartością prawdziwą _X^o− wielkości mierzonej

Błąd prawdziwy

$\hat{X} = \hat{X} - \begin{matrix} o \\ X \\ \end{matrix}$

Błąd graniczny można określić dwojako, zależnie od przyjetego modelu matematycznego źródeł niedokładności pomiaru.

W klasycznej teorii błedu przyjmuje się, iż błąd prawdziwy ma duze składowe

1. Błąd systematyczny – jest to składowa całkowitego błędu prawdziwego, która w procesie powtarzania pomiaru tej samej wartości wielkosci mierzonej pozostaje stała lub zmienia sie w dajacy sie przewidzec sposob, matematyczny model bledu systematycznego jest modelem zdeterminowanym

2. Błąd przypadkowy – jest to składowa całkowitego błędu prawdziwego, która w procesie powtarzania tej samej wartości mierzonej zmienia się w sposób nadający się przewidzieć.

Ze względu na powyzsze rozróżnianie pojecie błąd graniczny jest definiowane dwojaki

1. Dla detrministycznego modelu pomiaru błąd graniczny jest połowę szerokości przedziału najwęższego jaki można ustalić wokół wartości zmierzonej $\hat{X}$ w którym mieści się wartość prawdziwa _X^o− wielkosci mierzonej

$\hat{X} -_{\max}\hat{X} \leq \begin{matrix} o \\ X \\ \end{matrix} \leq \hat{X} +_{\max}\hat{X}$

$\begin{matrix} o \\ X \\ \end{matrix} = \hat{X}\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}_{\max}\hat{X}$

Prawidłowa interpretacja niedokładności w przedziale niepewnności wyniku pomiaru znajduje się nieznana wartość prawdziwa _X^o−

Dla losowego modelu niedokładności błąd graniczny jest połową szerokości przedziału ufności wartości zmierzonej $\hat{X}$. Błąd ten nazywamy granicznym błędem przypadkowym.

Prawdopodobieństwo tego, że

$P\lbrack\begin{matrix} o \\ X \\ \end{matrix}\text{ϵX}(\hat{X})\rbrack > p$

p- poziom ufności

Błąd pomiarowy w warunkach odniesienia nazywamy błędem podstawowym. Klasa dokładności nazywamy zbiór własności metrologicznych umownie oznaczonych wartością dopuszczalnego błędu podstawowego. Dla woltomierza Uz=300V i klasie dokładności kl=0,5 bład bezwzględny pomiaru jest równy $U = \frac{\text{kl}_{V} \bullet U_{Z}}{100\%} = \frac{0,5 \bullet 300}{100} = 1,5V$

$\text{kl} = \frac{U}{U} \bullet 100\%$

Sposoby obliczenia błędu granicznego pomiaru

1. Dla deterministycznego modelu niedokładności :

1. Metoda najbardziej niekorzystnego rozłożenia błędów

$_{y}^{0} = f(\begin{matrix} o \\ X_{1} \\ \end{matrix},\begin{matrix} o \\ X_{2} \\ \end{matrix},\ldots,\begin{matrix} o \\ X_{n} \\ \end{matrix}) =$ funkcja złożona, argumenty $\begin{matrix} o \\ X_{1} \\ \end{matrix},\begin{matrix} o \\ X_{2} \\ \end{matrix},\ldots,\begin{matrix} o \\ X_{n} \\ \end{matrix}$ ,wartości prawdziwe $= f(\hat{X_{1}} +_{\max}\hat{X_{1}},\ \ \hat{X_{2}} +_{\max}\hat{X_{2}}\ ,\ldots,\ \ \hat{X_{n}} +_{\max}\hat{X_{n}})$

Np. W = U • i • t

y = x²

g = (x²)^′ • x

y = zxx

$\hat{y} = \sum_{i = 1}^{n}{\left| \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \right|_{x_{i} = \hat{x_{i}}} \bullet_{\max}\hat{X_{i}}}$

$W = \frac{\partial W}{\partial U}_{|U = \hat{U}}_{\max}\hat{U} + \frac{\partial W}{\partial i}_{|i = \hat{i}}_{\max}\hat{i} + \frac{\partial W}{\partial t}_{|t = \hat{t}}_{\max}\hat{t} = \hat{i}\hat{t}_{\max}\hat{u} + \hat{u}\hat{t}_{\max}\hat{i} + \hat{i}\hat{u}_{\max}\hat{t}$

1. Metoda losowego rozłożenia błędów

$_{\max}\hat{y} = \sqrt{3\sum_{i = 1}^{n}{\left( \left| \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \right|_{x_{i} = \hat{x_{i}}} \right)^{2}\left(_{\max}\hat{X_{i}} \right)^{2}}}$

1. Model losowy niedokładności (seria M pomiarów)

$_{\max}\hat{y} =_{\text{smax}}\hat{y}(\text{symetryczny}) +_{\text{pmax}}\hat{y}(\text{przypadkowy})$

$_{\text{smax}}y = \begin{Bmatrix} \sum_{i = 1}^{n}{\left| \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \right|_{x_{i} = \hat{x_{i}}} \bullet_{\max}\hat{X_{i}}}\ \\ \sqrt{3\sum_{i = 1}^{n}{\left( \left| \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \right|_{x_{i} = \hat{x_{i}}} \right)^{2}\left(_{\max}\hat{X_{i}} \right)^{2}}}\ \\ \end{Bmatrix}$

$_{\text{pmax}}y = k(p)\sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{k = 1}^{n}\left( \overset{\overline{}}{y} - y_{i} \right)^{2}}$ (odchylenie standardowe)

k- współczynnik rozszerzania

p- poziom ufności

Podstawowe pojęcia niepewności pomiaru

Teoria niepewności przyjmuje losowy model niedokładności wyników pomiaru (losowy model genezy wyniku).

_X^o−wartość prawdziwa

$\hat{X}$- zmienna losowa

$\hat{X} -$estymata wartości właściwej

(jedna z wartości zmiennej losowej $\hat{X}$)

$\hat{X}$ $=_{X}^{o} + \ $ $\hat{X}$

E( $\hat{X}$)=0

E($\hat{X}$)= _X^o

Wartość oczekiwana zmiennej losowej $\hat{X}$ jest równa wartości prawdziwej

Niedokładność pomiaru opisuje parametr zwany niepewnością wyniku pomiaru

Rozróżnia się 2 metody obliczania niepewności

- metoda typu A obliczania niepewności w oparciu o analizę statyczną serii wyników pomiaru

- metoda typu B obl. Niep. Wyznaczana innymi metodami np. o dukumentacje przyrządu

Prawo propagacji niepewności

y = f(x_1,x_2,x_3,…x_n)

Wariacje zmiennej y

$\sigma^{2}(\hat{y}) -$wariancja zmiennej $\hat{y}$

${\sigma_{i}}^{2} = \sigma^{2}(\hat{X_{i}}) -$wariancja zmiennej $\hat{X}$

σ_ik = σ(X_i, X_k)−koweriacje zmiennej X_i, X_k

$\sigma^{2}(\hat{y}) = \sum_{i = 1}^{n}{S_{i}^{2}\sigma_{i}^{2} + 2\sum_{i - 1}^{n - 1}{\sum_{k = i + 1}^{n}{S_{i}S_{k}\sigma_{\text{ik}}}}}$

$S_{i} = \frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ współczynnik wrażliwości

$S_{k} = \frac{\partial f}{\partial x_{k}}$

Kowariancja

$\sigma_{\text{ik}} = \frac{1}{m - 1}\sum_{j - 1}^{m}{(X_{k}^{j} - {\overset{\overline{}}{X}}_{k})(X_{i}^{j} - {\overset{\overline{}}{X}}_{i})}$

Dla zmiennych niezależnych

σ_ik = 0

$\sigma^{2}(\hat{y}) = \sum_{i = 1}^{n}{\sigma_{i}^{2}\sigma_{j}^{2}}$

$\sigma_{i}^{2} = U(\hat{X})$

Prawo propagacji dla kowariacji równej zero

$u^{2}(\hat{y}) = \sum_{i = 1}^{n}{\sigma_{i}^{2}\hat{u}(\hat{X})}$

Współczynnik korelacji

$P_{\text{ik}} = \frac{\sigma_{\text{ik}}}{\sigma_{i}\sigma_{k}}$

Niepewność- parametr związany z wynikiem pomiaru charakteryzujący rozrzut wartości które można w uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej.

Rozrzut(dyspersja, wariancja standardowa)

Niepewność standardowa bezwzględna

$u^{2}(\hat{X}) = \begin{Bmatrix} \sigma^{2}(\hat{X})\text{dla}\ \text{znanej}\ \text{wariancji} \\ S^{2}(\hat{X})\text{dla}\ \text{znanej}\ \text{estymatyn}\ \text{wariancji} \\ \end{Bmatrix}$

Niepewność standardowa względna

$U_{\text{wy}} = \frac{u(\hat{X})}{\left| \hat{X} \right|}$ wpływ czynników systematycznych

$u^{2}(\hat{X}) = S^{2}(\overset{\overline{}}{X}) + \frac{\left(_{\max}X \right)^{2}}{3}$ błąd graniczy przyrządu

Niepewność rozszerzona

$u(\hat{X})$ jest to przedział w którym mieści się wartość prawdziwa z określonym prawdopodobieństwem

$\left\{ \begin{matrix} o \\ X \\ \end{matrix}\epsilon\left\lbrack \hat{X} - U(\hat{X}),\hat{X} + U(\hat{X}) \right\rbrack \right\} \geq p$ gdzie p-poziom ufności

$U(\hat{X}) = \text{kp}\ u(\hat{X})$

Kp- współszerzenia rozszerzenia

Jeśli p=0,95 to kp=2

Jeśli p=0,99 to kp=3

Niepewność rozszerzenia względna

$U_{\text{wzgl}}(\hat{X}) = \frac{U(\hat{X)}}{\left| \hat{X} \right|}$

Niepewność

$U(\hat{X}) = \text{kp}\sqrt{s^{2}(\overset{\overline{}}{X}) + \frac{\left(_{\max}X \right)^{2}}{3}}$

Niepewność standardowa

$u^{2}(Z) = \left( \frac{\partial Z}{\partial U} \right)^{2} \bullet u^{2}(\overset{\overline{}}{U}) + \left( \frac{\partial Z}{\partial I} \right)^{2} \bullet u^{2}(\overset{\overline{}}{I}) + 2\frac{\partial Z}{\partial U} \bullet \frac{\partial Z}{\partial I}u(\overset{\overline{}}{U})u(\overset{\overline{}}{I})r(\overset{\overline{}}{U},\overset{\overline{}}{I})$

Błąd graniczny jest definiowany dwojako:

1. Dla deterministycznego modelu niedokładności pomiaru błąd graniczny jest połową szerokości przedziału najwęższego jaki można ustalić wokół wartości zmierzonej $\hat{X}$ w którym mieści się wartość prawdziwa _X^o− wielkosci mierzonej. Błąd ten jest nazywany granicznym błędem systematycznym $_{\max}\hat{X}$

$\hat{X} -_{\max}\hat{X} \leq \begin{matrix} o \\ X \\ \end{matrix} \leq \hat{X} +_{\max}\hat{X}$

Co symbolicznie zapisuje się również następująco: $_{X}^{o} = \hat{X}\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}_{\max}\hat{X}$

$$\hat{X} -_{\max}\hat{X}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\hat{X}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\hat{X} +_{\max}\hat{X}$$

STOSOWANIE OBLICZANIE BŁĘDU GRANICZNEGO POMIARU WIELKOŚCI ZŁOŻONEJ

y = f(|x₁||x₂|…|x_n|)

Dla deterministycznego modelu niedokładności

1. Metoda najbardziej niekorzystnego rozłożenia błędu

$$_{\max}\hat{y} = \sum_{i = 1}^{n}{\left| \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \right|_{x_{i} = \hat{x_{i}}} \bullet_{\max}\hat{X_{i}}}$$

1. Metoda losowego rozłożenia błedu

$_{\max}\hat{y} = \sqrt{3\sum_{i = 1}^{n}{\left( \left| \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \right|_{x_{i} = \hat{x_{i}}} \right)^{2}\left(_{\max}\hat{X_{i}} \right)^{2}}}$

$\delta\hat{y} = \frac{_{\max}\hat{y}}{\hat{y}}$ względem błędu pomiaru

Obliczenia błedu względnego można ułatwić stosując operacje logarytmowania przed różniczkowania

Zadanie 1:

P = I²R

lnP = lnI² + lnR

lnP = 2lnI + lnR

$\frac{\text{dP}}{P} = 2\frac{\text{dI}}{I} + \frac{\text{dR}}{R}$

Przyjmujemy załozenia

$\frac{\text{dP}}{P} = \frac{P}{P}$

$\frac{\text{dI}}{I} = \frac{I}{I}$

$\frac{\text{dR}}{R} = \frac{R}{R}$

$\frac{P}{P} = 2\frac{I}{I} + \frac{R}{R}$

δP = 2δI + δR

Prąd o natężeniu $\hat{I} = 10A$ określone z błedem $\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,5\%$ płynie przez rezystor $\hat{R} = (50\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}1)\mathrm{\Omega}$. Określić moc wydzieloną na rezystorze i błąd jej wyznaczania.

$_{\max}\hat{I} = 0,5\% \bullet 10A = 0,05A$

$_{\max}\hat{R} = 1\mathrm{\Omega}$

$\hat{P} = {\hat{I}}^{2} \bullet \hat{R} = {100A}^{2} \bullet 50\mathrm{\Omega} = 5000W = 5\text{kW}$

$_{\max}\hat{P} = \left| \frac{\partial P}{\partial I} \right|_{I = \hat{I}}_{\max}\hat{I} + \left| \frac{\partial P}{\partial R} \right|_{R = \hat{R}}_{\max}\hat{R} = 2\hat{I}\hat{R}_{\max}\hat{I} + {\hat{I}}^{2}_{\max}\hat{R} = 2 \bullet 10A \bullet 50\mathrm{\Omega} \bullet 0,05A + {(10A)}^{2} \bullet 1\mathrm{\Omega} = 150W$

$\delta\hat{P} = \frac{_{\max}\hat{P}}{\hat{P}} = \frac{150W}{5000W} = 0,03$

δP = 3%

$P = (1500\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}150)W$

Zadanie 2:

Stosując metodę logarytmiczną obliczyć bład graniczny wielkosci Y związanej z wielkościami A, B, C, D, E, F poniższa funkcja:

$Y = \frac{\sqrt[3]{A}B^{2}CD^{6}}{E^{5}\sqrt[4]{F}}$

Wyznaczyć względną wrażliwość wielkości Y na zmiany wielkości C

$\text{lnY} = \frac{1}{3}\text{lnA} + 2\text{lnB} + \text{lnC} + 6\text{lnD} - 5\text{lnE} - \frac{1}{4}\text{lnF}$

$\frac{Y}{Y} = \frac{1}{3}\frac{A}{A} + 2\frac{B}{B} + \frac{C}{C} + 6\frac{D}{B} - 5\frac{E}{E} - \frac{1}{4}\frac{F}{F}$

Dla metody najbardziej niekorzystnego rozłozenia błędu otrzymuje się

$\text{δY} = \frac{1}{3}\text{δA} + 2\text{δB} + \text{δC} + 6\text{δD} + 5\text{δE} + \frac{1}{4}\text{δF}$

Wrażliwość SENSITIVE

$\partial_{C}^{Y} = \frac{\partial Y}{\partial C} = \frac{\sqrt[3]{A}B^{2}D^{6}}{E^{5}\sqrt[4]{F}}$

Zadanie 3:

W celu wyznaczenia rezystancji właściwej drutu oporowego o długości $l = 1m\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,5\text{mm}$ i średnicy $d = (4\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,01)\text{mm}$ zmierzono jego rezystancje $R = (0,1\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,01)\mathrm{\Omega}$ . Obliczyć wartość rezystancji właściwej i błąd graniczny jej pomiaru.

$\rho = \frac{R \bullet S}{l} = \frac{\text{Rπ}d^{2}}{4l} = 1,256 \bullet 10^{6}\mathrm{\Omega}m$

Do obliczeń błędu granicznego _maxρ przyjmujemy dane:

_maxl = 0, 5mm = 5 • 10⁻⁴m

_maxd = 0, 01mm = 1 • 10⁻⁵m

_maxR = 0, 01Ω

lnρ = lnR + lnπ + 2lnd − ln4 − lnl

$\frac{\rho}{\rho} = \frac{R}{R} + 2\frac{d}{d} - \frac{l}{l}$

$\frac{_{\text{ma}x}\rho}{\rho} = \frac{_{\max}R}{R} + 2\frac{_{\max}d}{d} + \frac{_{\text{maxl}}}{l} = \frac{0,01\mathrm{\Omega}}{0,1\mathrm{\Omega}} + 2\frac{10^{- 5}m}{4 \bullet 10^{- 3}m} + \frac{5 \bullet 10^{- 4}m}{1m} = 0,103$

Zadanie 4:

Woltomierz analogowy klasy 1 ma zakres o-400V.

1. Obliczyć błąd bezwzgledny pomiaru napięcia tym woltomierzem i niepewność standardową typu B.

2. Wyznaczyć błędy względne pomiaru napięć równych: 400V, 200V, 5V.

kl_V = 1

U_Z = 400V

$\text{kl}_{V} = \frac{U}{U_{z}} \bullet 100\%$

$U = \frac{\text{kl}_{V} \bullet U_{Z}}{100\%} = \frac{1\% \bullet 400V}{100\%} = 4V$

$\delta(U = 400V) = \frac{U}{U} = \frac{4V}{400V} = 0,01$

$\delta(U = 200V) = \frac{U}{U} = \frac{4V}{200V} = 0,02$

$\delta(U = 5V) = \frac{U}{U} = \frac{4V}{5V} = 0,8$

Niepewność standardowa

$u(U) = \frac{U}{\sqrt{3}} = \frac{4V}{\sqrt{3}} = 2,31$

Zadanie 5:

Woltomierz analogowy klasy 0,5 ma zakres 0-200V.

1. Obliczyć błąd bezwzględny omiaru napięcia tym woltomierzem i niepewność standardową typu b.

2. Wyznaczyć błedy względne pomiaru napięć równych: 200V, 100V, 25V.

kl_V = 0, 5

U_Z = 200V

$\text{kl}_{V} = \frac{U}{U_{z}} \bullet 100\%$

$U = \frac{\text{kl}_{V} \bullet U_{Z}}{100\%} = \frac{0,5\% \bullet 200V}{100\%} = 1V$

$\delta(U = 200V) = \frac{U}{U} = \frac{1V}{200V} = 0,005$

$\delta(U = 100V) = \frac{U}{U} = \frac{1V}{100V} = 0,01$

$\delta(U = 25V) = \frac{U}{U} = \frac{1V}{25V} = 0,04$

Niepewność standardowa

$u(U) = \frac{U}{\sqrt{3}} = \frac{1V}{\sqrt{3}} = 0,58$

Zadanie 6:

Do pomiaru napięcia można było użyć dwóch woltomierzy pierwszy o klasie dokładności 0,5 i zakresie o-60V, drugi o klasie 1,5 i zakresie od 0-15V. Który z woltomierzy pozwoli określić wartość napięcia z mniejszym błędem?

$U = \frac{\text{kl} \bullet U_{Z}}{100\%}$

${U}_{1} = \frac{0,5 \bullet 60}{100} = 0,3$

${U}_{2} = \frac{1,5 \bullet 15}{100} = 0,22$

Drugi woltomierz pozwoli określić wartość napięcia z mniejszym błędem.

Zadanie 7:

Z jakim dopuszczalnym błędem należy zmierzyć prąd płynący przez opornik o rezystancji wyznaczonej z tolerancją $\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,1\%$, aby spadek napięcia na tym rezystorze mógł być obliczony z błędem granicznym $\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,4\%$?

U = I • R

$U = \frac{\partial U}{\partial I}I + \frac{\partial U}{\partial R}R = RI + IR$

$\text{δU} = \frac{U}{I \bullet R} = \frac{U}{U} = \frac{RI + IR}{I \bullet R} = \frac{I}{I} + \frac{R}{R}$

$\frac{I}{I} = \frac{U}{U} = \frac{R}{R}$

$\text{δI} = \frac{I}{I} = 0,4\% - 0,1\% = 0,3\%$

Zadanie 8:

Moc P=250W wydzieloną na rezystorze $R = (10\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,1)\mathrm{\Omega}$ wydzielono na podstawie pomiaru natęzenia prądu. Jaką dopuszczalną klasę powinien mieć amperomierz o zakresie 0-7,5A mierzący ten prąd, aby błąd graniczny wyznaczenia mocy nie przekroczył 3%?

P=250W

$R = (10\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,1)\mathrm{\Omega}$

I_z = 7, 5A

δP ≤ 3%

P = I² • R

$P = \frac{\partial P}{\partial I}I + \frac{\partial P}{\partial R}R = 2\text{IR}I + I^{2}R$

$\text{δP} = \frac{P}{P} = \frac{2\text{IR}I + I^{2}R}{I^{2}R} = 2\frac{I}{I} + \frac{R}{R}$

$\frac{I}{I} = \frac{1}{2}\left( \text{δP} - \frac{R}{R} \right)$

$\text{kl}_{A} = \frac{I \bullet 100\%}{I_{Z}}$

$I = \frac{1}{2}I\left( \text{δP} - \frac{R}{R} \right)$

$I = \sqrt{\frac{P}{R}}$

$\text{kl}_{A} = \frac{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{P}{R}}\left( \text{δP} - \frac{R}{R} \right)}{I_{z}} \bullet 100\% = \frac{0,05}{7,5} \bullet 100\% = 0,67$

$\frac{R}{R} = \frac{0,1\mathrm{\Omega}}{10\mathrm{\Omega}} = 0,01$

Zadanie 9:

Na rysunku przedstawiono dzielnik napięcia:

Z jaką maksymalną tolerancją można wykonać opornik R1, jeżeli opornik R2 jest wykonany z tolerancją $\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,02\%$ a błąd graniczny stosunku Uwe/Uwy ma być nie większy niż 0,1% ?

U_wy = I • R₂

$I = \frac{U_{\text{we}}}{R_{1} + R_{2}}$

$U_{\text{wy}} = U_{\text{we}}\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$

Dane:

$\frac{R_{2}}{R_{2}} = 0,02\%$

$\frac{\left( \frac{U_{\text{wy}}}{U_{\text{we}}} \right)}{\frac{U_{\text{wy}}}{U_{\text{we}}}} = 0,1\%$

$\frac{U_{\text{wy}}}{U_{\text{we}}} = \frac{\partial\left( \frac{U_{\text{wy}}}{U_{\text{we}}} \right)}{\partial R_{1}}R_{1} + \frac{\partial\left( \frac{U_{\text{wy}}}{U_{\text{we}}} \right)}{\partial R_{2}}R_{2} = \left| - \frac{R_{2}}{\left( R_{1} + R_{2} \right)^{2}}R_{1} \right| + \left| \frac{R_{1}}{{(R_{1} + R_{2})}^{2}}R_{2} \right|$

$\delta\left( \frac{U_{\text{wy}}}{U_{\text{we}}} \right) = \frac{\left( \frac{U_{\text{wy}}}{U_{\text{we}}} \right)}{\frac{U_{\text{wy}}}{U_{\text{we}}}} = \frac{\left| - \frac{R_{2}}{\left( R_{1} + R_{2} \right)^{2}}R_{1} \right| + \left| \frac{R_{1}}{{(R_{1} + R_{2})}^{2}}R_{2} \right|}{\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}} = \frac{\frac{R_{2}}{\left( R_{1} + R_{2} \right)^{2}}R_{1} + \frac{R_{1}}{{(R_{1} + R_{2})}^{2}}R_{2}}{\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}} = \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} + \frac{R_{1}}{R_{2}} \bullet \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}\ $

$\frac{R_{1}}{R_{1}} = \frac{0,1(R_{1} + R_{2})}{R_{1}} - \frac{R_{2}}{R_{2}} = 0,1111111 - 0,02 = 0,09111111$ %