Spadek swobodny

Jest to ruch jednostajnie przyśpieszony bez prędkości początkowej z przyśpieszeniem ziemskim g.

Rys. 1	Rys. 2	Prędkość ciała po określonym czasie wyraża wzór v=gt, drogę jaką przebywa ciało wzór: h=gt^2/2, a odległość od początku układu (właściwie początku osi Y tego układu, oś X nas nie interesuje bo ruch zachodzi w pionie) y(t)=h1-gt^2/2

Rzut pionowy w górę

Rzut pionowy w górę jest ruchem jednostajnie opóźnionym z prędkością początkową v₀, opóźnienie w tym ruchu wynosi g=9,81m/s²- przyśpieszenie ziemskie. Wysokość jaką ciało osiąga wyraża wzór h=v₀t-gt²/2, a prędkość po określonym czasie wzór v_k=v₀-gt (v_k-prędkość końcowa, v₀- prędkość początkowa. Wykorzystując oba te wzory jesteśmy w stanie wyprowadzić wzór na maksymalną wysokość na jaką wzniesie się ciało. I tak wiedząc, że na maksymalnej wysokości ciało będzie miało prędkość końcową równą 0, to:

vk=v0-gt 0=v0-gt /po przekształceniu/ t=v0/g Skoro w tym czasie ciało osiągnie prędkość równa zero to w tym czasie osiągnie ono maksymalną wysokość. Dlatego podstawiając powyższy wzór na czas w miejsce t we wzorze na wysokość, jaką ciało osiąga, otrzymamy wzór na wysokość maksymalną. hmax=v0t - gt^2/2 hmax=v0(v0/g) - g(v0/g)^2/2 hmax=v0^2/g - v0^2/2g hmax=2v0^2/2g - v0^2/2g Otrzymujemy wzór końcowy na wysokość maksymalną ciała w rzucie pionowym w górę:

Rzut pionowy w dół

Rzut pionowy w górę jest ruchem jednostajnie przyśpieszonym z prędkością początkową- v₀, ruch odbywa się jak sama nazwa wskazuje w pionie,a przyśpieszeniem jest przyśpieszenie ziemskie g. Prędkość po określonym czasie wyraża wzór v_k=v₀+gt, natomiast wzór na drogę przebytą przez ciało (w pionie) oraz odległość od początku układu (np. powierzchni Ziemi) zależy od wybranego przez nas układu odniesienia. Zajmijmy się najpierw układem przedstawionym na rys. 1.

Ciało znajduje się w początku osi Y (czyli pionowej osi). Czerwony wektor wskazuje kierunek działania przyśpieszenia ziemskiego g=9,81m/s^2. Odległość od początku układu jest równa drodzę jaką to ciało przebywa (y(t)=h) i opisuje je wzór: h=v0t+at^2/2. Przejdźmy teraz do drugiego układu (rys. 2),w którym ciało znajduje się względem niego na wysokości h1, wzór na drogę jaką pokonuje ciało to: h=v0t+at^2/2, a odległość od początku układu (dokładniej początku osi Y, bo tylko ona nas interesuje w tym ruchu) y(t)=h1-v0t-at^2/2	rys. 1	rys. 2

Rzut poziomy

Rzut poziomy jest ruchem, który traktujemy jako złożenie dwóch ruchów (podobnie jak rzut ukośny):

• w pionie- ruch jednostajnie przyśpieszony z prędkością początkową równą 0 (ponieważ na początku ruchu jest tylko składowa v₀ działająca w poziomie!), czyli spadek swobodny.

• w poziomie- ruch jednostajny, w którym prędkość (składowa v₁) jest w każdej chwili równa prędkości początkowej v₀

Zajmijmy się najpierw ruchem jaki zachodzi w pionie (składowa v₂), jak wcześniej wspomniałem jest to spadek swobodny (ruch jednostajnie przyśpieszony z przyśpieszeniem ziemskim g=9,81m/s), a więc prędkość początkowa w tym ruchu jest równa 0, dlatego znając wysokość z jakiej rzucono ciało, na podstawie wzoru h=gt²/2, możemy wyznaczyć czas, po którym ciało spadnie na ziemię:

A skoro w tym czasie ciało spadnie na ziemię to w tym czasie osiągnie również maksymalną odległość- zasięg rzutu. Jeżeli w poziomie odbywa się ruch jednostajny, ze stałą prędkością równą wartości prędkości początkowej (v₀=v₁) to wykorzystując wzór na drogę w tym ruchu s=vt i za czas podstawiając wcześniej przekształcony wzór, otrzymujemy wzór na zasięg rzutu poziomego (v=v₀):

W każdej chwili jesteśmy w stanie obliczyć odległość od początku układu odniesienia, prędkość ciała oraz przyśpieszenie, i tak:

• r=[v₀;h-gt²/2]

• v=[v₀;gt]

• a=[0;g]

Jesteśmy także w stanie wyznaczyć wartość prędkości v₀ w każdym momencie ruchu.(rys. 2)
rys. 2
Aby to zrobić zastosujemy twierdzenie Pitagorasa:

Po przekształceniach otrzymujemy:

Jak wiemy prędkość v₂ możemy wyliczyć ze wzoru v₂=v_2p+gt (v₂- wartość prędkości po czasie t, v_2p- wartość składowej v₂ na początku ruchu, czyli 0. I tak v₂=gt, podstawiając do wcześniejszego wzoru otrzymujemy:

A podstawiając w miejsce czasu wcześniej wyliczony wzór , otrzymamy:


Rzut ukośny

Z rzutem ukośnym spotykamy się rzucając kamieniem, czy kopiąc piłkę. Traktujemy go jako złożenie dwóch ruchów:
- jednostajnego- w poziomie
- jednostajnie opóźnionego (rzut pionowy)- w pionie

Wektor v₀ jest wektorem wypadkowym wektora v₁ oraz v₂. W poziomie odbywa się ruch jednostajny, prędkość w tym ruchu jest stała w każdej sekundzie tego ruchu i jest wyrażona wzorem v₂=s/t, natomiast w pionie ruch jednostajnie opóźniony z prędkością początkową v₁ i z opóźnieniem g (przyśpieszenie ziemskie) równym w przybliżeniu 9,81m/s², czyli po prostu jest to rzut pionowy, prędkość ciała w tym ruchu wyraża wzór v_k=v₁-gt, gdzie v_k- jest prędkością końcową, t- to czas. Drogę (w pionie) jaką przebywa to ciało wzór h=v₁t-gt²/2. Tak, więc możemy w każdej chwili obliczyć położenie, prędkość oraz przyśpieszenie ciała stosując równania, utworzone z powyższych wzorów:

• przemieszczenie

• prędkość

• przyśpieszenie

Jeżeli dysponujemy wartością kąta, pod jakim rzucono ciało oraz prędkością v₀, możemy obliczyć prędkości składowe, stosując funkcje trygonometryczne:

• sinα=v₁/v₀

• cosα=v₂/v₀

Przyjrzyjmy się teraz momentowi, gdy ciało osiąga maksymalną wysokość jak widać na powyższym rysunku prędkość v₁ osiągnęła wartość 0. Wyprowadźmy teraz wzór, dzięki któremu obliczymy maksymalną wysokość, na jaką wzniesie się ciało w rzucie ukośnym, aby to zrobić należy zająć się ruchem w pionie, czyli rzutem pionowym (składowa v₁), nie interesuje nas ruch poziomy (składowa v₂). Wzór na prędkość końcową w rzucie pionowym to: v_k= v₁- gt wiemy, że w chwili osiągnięcia maksymalnej wysokości, wartość składowej v₁=0, a więc: 0= v₁- gt po przekształceniu wzoru otrzymujemy: t=v₁/g jest to czas, po którym ciało osiągnie maksymalną wysokość. Następnie wzór na wysokość w rzucie pionowym: h=v₁t-gt²/2, za t podstawiamy wcześniej otrzymany wzór na czas, po którym ciało osiągnie maksymalną wysokość, dzięki czemu obliczana przez nas wysokość będzie wysokością maksymalną, na jaką wzniesie się ciało. I tak, po przekształceniach, otrzymujemy:

jednak wzór na wysokość maksymalną, w którym musielibyśmy znać składową v₁ jest niewygodny, najczęściej w zadaniach dysponujemy prędkością v₀ oraz kątem pod jakim rzucono ciało, dlatego w miejsce v₁ wstawiamy wzór: v₀ sinα=v₁ , który jest przekształceniem już wcześniej wymienianego wzoru, dzięki temu otrzymujemy:

Zajmijmy się teraz wyprowadzeniem wzoru na zasięg rzutu ukośnego. Pomoże nam w tym poniższy rysunek:

Wiemy, że czas wznoszenia się ciała na maksymalną wysokość jest taki sam jak czas opadania i zgodnie z obliczeniami, które wcześniej wykonaliśmy wyraża go wzór t=v₁/g, skoro tak to w tym czasie ciało pokonało połowę maksymalnej drogi w poziomie (s), która jest obliczana ze wzoru s=v₂ t, a t wynosi v₁/g, czyli:
s=v₂v₁/g
Zasięg rzutu (z) składa się z dwóch odcinków s, skoro tak to:
z=2v₂v₁/g
Ale taka forma wzoru na zasięg, w której występują prędkości składowe nie jest wygodna w użyciu, ponieważ, tak jak w przypadku wysokości maksymalnej zazwyczaj dysponujemy prędkością v₀ i kątem, pod którym rzucono ciało, dlatego wykorzystamy równości v₁= v₀ sinα oraz v₀= v₂ cosα
po przekształceniu otrzymujemy właściwy wzór: