Sprawozdanie pobrane ze StudentSite.pl
Chcesz więcej? Wejdź na: http://www.studentsite.pl/materialy_studenckie.html
Możesz także wspomóc swoimi sprawozdaniami innych: http://www.studentsite.pl/panel_materialy_studenckie/add

KF PŚK	Imię i nazwisko: Wojciech Gil	Wydział, Grupa: 102 MB
Symbol ćwiczenia: M - 1	Temat: Badanie ruchu jednostajnie zmiennego przy pomocy maszyny Atwooda.
Data wykonania: 05.01.2009	Data oddania do poprawy:	Ocena:

1. Wstęp

W ruchu krzywoliniowym prędkość musi być zdefiniowana jako wektor.

Rozważmy ruch ciała po dowolnym torze. Niech w pewnej chwili ciało znajduje się w punkcie P. Jego położenie określa wektor r. Niech po upływie czasu Δt₁ ciało przesunie się po swym torze do punktu Q₁, którego położenie określa teraz wektor:

r₁=r + Δr₁

Iloraz przyrostu wektora wodzącego Δ r₁ przez czas Δt₁, w którym ten przyrost nastąpił określa wektor prędkości średniej:

$$\overset{\overline{}}{\mathbf{v}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\Delta}\mathbf{r}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\Delta}\mathbf{t}_{\mathbf{1}}}$$

Wektor prędkości średniej ma więc taki sam kierunek co wektor Δr₁.

Jeżeli będziemy skracać odstępy czasu Δt, to otrzymamy ciąg malejących przyrostów Δr i odpowiadających im ilorazów$\ \frac{\text{Δr}}{\text{Δt}}$. W granicy, gdy odstęp czasu Δt dąży do zera, wektor $\ \frac{\text{Δr}}{\text{Δt}}$ dąży do wartości granicznej, którą nazywamy prędkością chwilową:

$$\mathbf{v =}\operatorname{}\frac{\mathbf{\text{Δr}}}{\mathbf{\text{Δt}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{dr}}}{\mathbf{\text{dt}}}$$

Wektor prędkości jest więc pochodną wektora wodzącego po czasie.

Wektor przyspieszenia jest pochodną wektora prędkości lub drugą pochodną wektora wodzącego po czasie:

$$\mathbf{a =}\frac{\mathbf{\text{dv}}}{\mathbf{\text{dt}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{2}}\mathbf{r}}{\mathbf{\text{dt}}^{\mathbf{2}}}$$

Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego płaskiego. Obierzmy układ współrzędnych tak, aby początek układu znajdował się w środku koła o promieniu r.

Położenie punktu P na okręgu można wtedy jednoznacznie określić za pomocą kąta φ; kąt φ nosi nazwę drogi kątowej i wyraża się w radianach.

Drogę liniową s przebytą przez ciało po łuku koła można wyrazić za pomocą drogi kątowej następująco:

s = φr

Prędkością kątową ciała poruszającego się po okręgu nazywamy pochodną drogi kątowej względem czasu:

$$\mathbf{\omega =}\frac{\mathbf{\text{dφ}}}{\mathbf{\text{dt}}}$$

Prędkość liniową można przedstawić za pomocą prędkości kątowej w postaci:

ν = ωr

Jednostką prędkości kątowej jest rad·s^-1

Gdy ruch po okręgu jest niejednostajny, prędkość kątowa ulega zmianom i należy wprowadzić nową wielkość charakteryzującą ruch, mianowicie przyspieszenie kątowe α, które definiujemy jako pochodną prędkości kątowej względem czasu:

$$\mathbf{\alpha =}\frac{\mathbf{\text{dω}}}{\mathbf{\text{dt}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{2}}\mathbf{\varphi}}{\mathbf{\text{dt}}^{\mathbf{2}}}$$

Jednostką przyspieszenia kątowego jest rad·s^-2

Dynamika zajmuje się warunkami i przyczynami ruchu ciał. Podstawę dynamiki stanowią trzy zasady podane przez Izaaka Newtona w 1687r.

Pierwsza zasada dynamiki:

Ciało nie poddane oddziaływaniu żadnych innych ciał albo pozostaje w spoczynku, albo porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Druga zasada dynamiki:

Siła działająca na ciało jest równa iloczynowi przyspieszenia i masy tego ciała.

Drugą zasadę dynamiki można krótko zapisać w postaci równania wektorowego:

F = ma

Jednostką siły jest niuton N ($1N = 1kg \frac{m}{s^{2}}$)

Trzecia zasada dynamiki:

Jeżeli ciało A działa na ciało B pewną siłą F_AB, to ciało B działa na ciało A siłą F_BA równą co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwnie skierowaną, co wyrażamy wzorem:

F_AB=−F_BA

Wszystkie ciała poruszające się napotykają na opór ruchu ze strony ośrodka, w którym się poruszają. Jedną z sił oporu ośrodka jest siła tarcia. Siła ta stara się powstrzymać ruch i jest skierowana przeciwnie do wektora prędkości. Wartość siły tarcia T_p, która występuje przy poślizgu ciała stałego po ciele stałym jest wprost proporcjonalna do siły nacisku z jednego ciała na drugie:

T_p=μN

Współczynnik μ nazywa się współczynnikiem tarcia poślizgowego. Jego wartość zależy od rodzaju obu ciał, gładkości i czystości ślizgających się powierzchni oraz w niewielkim stopniu od prędkości ruchu.

Przed rozpoczęciem rozważań dotyczących ruchu obrotowego należy wprowadzić pojęcie bryły sztywnej, oznaczającej ciało, które pod działaniem sił nie ulega odkształceniom, tzn. odległości dwóch dowolnych punktów takiego ciała pozostają stałe.

Ruch obrotowy bryły charakteryzuje się tym, że wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach, których środki leżą na jednej prostej. Prostą tą nazywamy osią obrotu. Oś obrotu jest stała, jeśli z biegiem czasu nie zmienia swego położenia. Punkty znajdujące się na osi obrotu są nieruchome, a pozostałe punkty poruszają się po łukach okręgów.

Aby spowodować ruch obrotowy bryły sztywnej niezbędna jest siła. Wielkość wywołującą ruch obrotowy nazywamy momentem siły lub inaczej momentem obrotowym, który definiujemy następująco:

Momentem siły F względem punktu O osi obrotu nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego r punktu przyłożenia siły F i tej siły( początek r leży w punkcie O)

M = r × F

W ruchu obrotowym bryły sztywnej ważną rolę odgrywa sposób rozmieszczenia masy bryły wokół osi obrotu. Wielkością charakteryzującą tę własność jest moment bezwładności.

Rozważmy bryłę sztywną będącą zbiorem punktów materialnych m₁, m₂, … ,m_n, których odległości od osi obrotu wynosza odpowiednio r₁, r₂, … ,r_n

Momentem bezwładności I bryły względem danej osi nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów bryły i kwadratów ich odległości od danej osi.

$$\mathbf{I =}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{m}_{\mathbf{i}}\mathbf{r}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}}$$

W przypadku bryły o ciągłym rozkładzie masy, dzielimy ją w myśli na nieskończenie małe części i sumowanie w powyższym wzorze zastępujemy całkowaniem:

I=∫r² dm

Zdefiniujmy wielkość zwaną momentem pędu lub krętu. Moment pędu L punktu materialnego o masie m i wektorze wodzącym r, poruszającego się z prędkością v względem osi obrotu odległej o r od tego punktu, definiujemy wzorem:

L = r × mv

Wektor momentu pędu jest skierowany zgodnie z osią obrotu.

Moment pędu bryły jest sumą momentów pędu wszystkich jej punktów, czyli:

L = Iω

Dynamika ruchu obrotowego.

Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego:

Bryła sztywna nie poddana działaniu momentu siły pozostaje nieruchoma lub wykonuje ruch obrotowy jednostajny.

Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego:

• Moment siły działającej na bryłę sztywną jest równy iloczynowi momentu bezwładności I tej bryły i jej przyspieszeniu kątowemu α:

M = Iα

• Pochodna momentu pędu L bryły względem czasu t jest równa momentowi siły M działającej na tę bryłę

$$\mathbf{M =}\frac{\mathbf{\text{dL}}}{\mathbf{\text{dt}}}$$

Trzecia zasada dynamiki ruchu obrotowego:

Jeżeli na bryłę A działa bryła B pewnym momentem siły M_AB, to bryła B działa na A momentem M_BA równym co do wartości, lecz przeciwnie skierowanym:

M_AB=−M_BA

Literatura:

• C. Bobrowski, Fizyka- krótki kurs, WNT Warszawa 1979,1995

1. Pomiary

Karta pomiarowa z wynikami pomiarów dołączona jest do sprawozdania.

1. Obliczenia i rachunek błędów

• Średni czas ruchu każdego obciążnika:

$$\overset{\overline{}}{\mathbf{t}}\mathbf{=}\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{t}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{n}}$$

n= 10

Dla S₁= 0.6 m

Dla m₁=3.11 g

$$\overset{\overline{}}{t} = \frac{44.52}{10} = 4.452\ s$$

Dla S₁= 0.6 m

Dla m₂= 3.48 g

$$\overset{\overline{}}{t} = \frac{37.73}{10} = 3.773\ s$$

Dla S₁= 0.6 m

Dla m₃= 4.23 g

$$\overset{\overline{}}{t} = \frac{34.52}{10} = 3.452\ s$$

Dla S₁= 0.6 m

Dla m₄= 5.02 g

$$\overset{\overline{}}{t} = \frac{30.75}{10} = 3.075\ s$$

Dla S₁= 0.6 m

Dla m₅= 5.56g

$$\overset{\overline{}}{t} = \frac{27.97}{10} = 2.797\ s$$

Dla S₂= 0.8 m

Dla m₁= 3.11 g

$$\overset{\overline{}}{t} = \frac{54.84}{10} = 5.484\ s$$

Dla S₂= 0.8 m

Dla m₂= 3.48 g

$$\overset{\overline{}}{t} = \frac{47.73}{10} = 4.773\ s$$

Dla S₂= 0.8 m

Dla m₃= 4.23 g

$$\overset{\overline{}}{t} = \frac{39.94}{10} = 3.994\ s$$

Dla S₂= 0.8 m

Dla m₄= 5.02 g

$$\overset{\overline{}}{t} = \frac{34.96}{10} = 3.496\ s$$

Dla S₂= 0.8 m

Dla m₅= 5.56 g

$$\overset{\overline{}}{t} = \frac{33.29}{10} = 3.329\ s$$

• Przyspieszenie odpowiadające każdemu z obciążników i średniemu czasowi ruchu każdego obciążnika:

$S = \frac{1}{2}at^{2}$∕·2

2S = at² : t²

$$a = \frac{2S}{t^{2}}$$

S₁= 0.6 m

Dla m₁= 3.11 g

$$a = \frac{2 0.6\ m}{{(4.452\ s)}^{2}} \approx 0.06\ \frac{m}{s^{2}}$$

$$a = \frac{2 0.6\ m}{{(3.773\ s)}^{2}} \approx 0.084\ \frac{m}{s^{2}}$$

$$a = \frac{2 0.6\ m}{{(3.452\ s)}^{2}} \approx 0.101\ \frac{m}{s^{2}}$$

Dla m₄= 5.02 g

$$a = \frac{2 0.6\ m}{{(3.075\ s)}^{2}} \approx 0.127\ \frac{m}{s^{2}}$$

Dla m₅= 5.56 g

$$a = \frac{2 0.6\ m}{{(2.797\ s)}^{2}} \approx 0.153\ \frac{m}{s^{2}}$$

S₂= 0.8 m

Dla m₁= 3.11 g

$$a = \frac{2 0.8\ m}{{(5.484\ s)}^{2}} \approx 0.053\ \frac{m}{s^{2}}$$

Dla m₂= 3.48 g

$$a = \frac{2 0.8\ m}{{(4.773\ s)}^{2}} \approx 0.07\ \frac{m}{s^{2}}$$

Dla m₃= 4.23 g

$$a = \frac{2 0.8\ m}{{(3.994\ s)}^{2}} \approx 0.1\ \frac{m}{s^{2}}$$

Dla m₄= 5.02 g

$$a = \frac{2 0.8\ m}{{(3.496\ s)}^{2}} \approx 0.131\ \frac{m}{s^{2}}$$

Dla m₅= 5.56 g

$$a = \frac{2 0.8\ m}{{(\ 3.329\ s)}^{2}} \approx 0.144\ \frac{m}{s^{2}}$$

• Średni błąd kwadratowy każdego średniego czasu ruchu

$$S_{t} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(\overset{\overline{}}{t} - t_{i})}^{2}}{n - 1}}$$

n= 10

S₁= 0.6 m

Dla m₁= 3.11 g średni czas ruchu wynosił $\overset{\overline{}}{t} = 4.452\ s$

$$S_{t} = \sqrt{\frac{0.87656\ s^{2}}{9}} \approx 0.312\ s$$

Dla m₂= 3.48 g średni czas ruchu wynosił $\overset{\overline{}}{t} = 3.773\ s$

$$S_{t} = \sqrt{\frac{0.14441\ s^{2}}{9}} \approx 0.127\ s$$

Dla m₃= 4.23 g średni czas ruchu wynosił $\overset{\overline{}}{t} = 3.452\ s$

$$S_{t} = \sqrt{\frac{0.185705\ s^{2}}{9}} \approx 0.144\ s$$

Dla m₄= 5.02 g średni czas ruchu wynosił $\overset{\overline{}}{t} = 3.075\ s$

$$S_{t} = \sqrt{\frac{0.09745\ s^{2}}{9}} \approx 0.104\ s$$

Dla m₅= 5.56 g średni czas ruchu wynosił $\overset{\overline{}}{t} = 2.797\ s$

$$S_{t} = \sqrt{\frac{0.17961\ s^{2}}{9}} \approx 0.141\ s$$

n= 10

S₂= 0.8 m

Dla m₂= 3.11 g średni czas ruchu wynosił $\overset{\overline{}}{t} = 5.484\ s$

$$S_{t} = \sqrt{\frac{0.34264\ s^{2}}{9}} \approx 0.195\ s$$

Dla m₃= 3.48 g średni czas ruchu wynosił $\overset{\overline{}}{t} = 4.773\ s$

$$S_{t} = \sqrt{\frac{0.27261\ s^{2}}{9}} \approx 0.174\ s$$

Dla m₄= 4.23 g średni czas ruchu wynosił $\overset{\overline{}}{t} = 3.994\ s$

$$S_{t} = \sqrt{\frac{0.08684\ s^{2}}{9}} \approx 0.098\ s$$

Dla m₅= 5.02 g średni czas ruchu wynosił $\overset{\overline{}}{t} = 3.496\ s$

$$S_{t} = \sqrt{\frac{0.12864\ s^{2}}{9}} \approx 0.119\ s$$

Dla m₆= 5.56 g średni czas ruchu wynosił $\overset{\overline{}}{t} = 3.329\ s$

$$S_{t} = \sqrt{\frac{0.11269\ s^{2}}{9}} \approx 0.112\ s$$

• Błąd przyspieszenia metodą różniczki zupełnej:

$$a = \frac{2S}{t^{2}}$$

• Błąd przyspieszenia metodą różniczki zupełnej:

Po przekształceniu wzoru na drogę S przyspieszenie obliczymy ze wzoru:

$$a = \frac{2S}{t^{2}}$$

a = f(t)

$f\left( t \right) = \frac{2S}{t^{2}}$ licząc pochodną cząstkową po czasie t mamy:

$$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{- 2t 2S}{t^{2}} = \frac{- 4S}{t^{3}}$$

Bezwzględny błąd pomiaru wartości czasu t jest różnicą wartości zmierzonej t_i i wartości średniej czasu ruchu obciążnika i wynosi:

$$\Delta t_{i} = \left| t_{i} - \overset{\overline{}}{t} \right|$$

Niepewność systematyczna wielkości a= f(t₁, t₂, … ,t₁₀) wynosi:

$$\Delta a = |\frac{\partial f}{{\partial t}_{1}}| \Delta t_{1} + |\frac{\partial f}{\partial t_{2}}| \Delta t_{2} + \ldots + |\frac{\partial f}{\partial t_{10}}| \Delta t_{10}$$

Obliczenia błędów przyspieszenia zawarte są w poniższej tabeli:

	S1= 0.6 [m]	S2= 0.8 [m]
m	m1	m2
a [m/s^2]	0.06	0.084
Δa [m/s^2]	0.052	0.053

Tab. 1

• Średnia arytmetyczna wartość przyspieszeń uzyskanych przez daną masę i maksymalny błąd Δa uzyskany dla tej samej masy przy różnych drogach:

Błąd maksymalny (Δa)_max obliczymy następująco:

Δa_max = |Δa_S1 − Δa_S2|

	m1= 3.11 g	m2= 3.48 g	m3= 4.23 g	m4= 5.02 g	m5= 5.56 g
a [m/s^2]	0.056	0.077	0.1	0.134	0.148
(Δa)max [m/s^2]	0,027	0.019	0.042	0.014	0.075

Tab. 2

• Wykres zależności a= f(m) sporządzony na podstawie tabeli nr 2 dołaczony jest na papierze milimetrowym do sprawozdania.

Z metody najmniejszych kwadratów dla równania prostej

a = Am + B

Otrzymujemy:

A≈ 0.033

B≈ -0.056

m₀≈ 1.7 g

σ_A²= 0.000133

σ_B²≈ 0.002602

δm₀≈ 1.66 g

• Moment siły tarcia możemy obliczyć ze wzoru:

M_t = m₀gR

m₀= 1.7 g = 0.0017 kg

g= 9.81 m/s²

R= 7.7 cm= 0,077m

M_t = 0.0017 kg9.81m/s²0.077m

M_t = 0.001284 Nm

Błąd momentu sił tarcia ma postać:

ΔM_t = Δm₀gR

Δm₀= 1.66 g =0.00166 kg

$$\text{ΔM}_{t} = 0.00166\ kg 9.81\frac{m}{s^{2}} 0.077m$$

ΔM_t = 0.00125 Nm

• Wynik końcowy ma postać:

M_t± ΔM_t= 0.001284 N·m ± 0.00125 N·m

1. Wnioski:

Cel ćwiczenia został zrealizowany. Dokonując pomiarów czasu ruchu obciążników możliwe było wyznaczenie średniego czasu ruchu oraz odpowiadającemu mu przyspieszeniu dla każdej masy. Wartości błędów przyspieszenia dla każdego obciążnika i każdej drogi S zawarte są w tabeli nr 1. W tabeli nr 2 zestawione są średnie wartości przyspieszenia dla danej masy i przy różnych drogach oraz maksymalny błąd Δa_max. Wartość momentu sił tarcia wraz z błędem wynosi M_t± ΔM_t= 0.001284 N·m ± 0.00125 N·m. Błąd wielkości m₀ wynosi δm₀≈ 1.66 g.