1. Wstęp teoretyczny

Metoda Newtona – jest jedną z opcji szukana miejsc zerowych funkcji. Opiera się na jej linearyzacji, tj. zastąpieniu funkcji bazowej przez szereg funkcji liniowych, stycznych do jej wykresu. Metoda ta jest szybkozbieżna, p=2 lecz nie zawsze. W każdym przypadku jest zbieżna dla funkcji kwadratowych.

Wzór na linearyzację w punkcie c:

Rozwiązaniem w omawianej metodzie jest miejsce zerowe funkcji liniowej. Jego wyznaczenie wymaga wyznaczenia pochodnej funkcji. Wzór obliczeniowy dla Metody Newtona zamieszczono poniżej.

Warunki stosowalności metody Newtona:

• funkcja f(x) jest określona,

• funkcja f(x) jest ciągła,

• funkcja f(x) na krańcach przedziału <a,b> przyjmuje różne znaki,

• w przedziale <a,b> pierwsza pochodna f'(x) jest różna od zera,

Rysunek 1. Interpretacja graficzna metody Newtona

Aby wyeliminować konieczność liczenia pochodnych zamiast metody Newtona używa się metody siecznych.

Metoda siecznych - w tej metodzie szukania miejsc zerowych zamiast pochodnej pojawia się iloraz różnicowy. Metoda wolniej zbieżna niż Newtona, p=1,618 jednak pewniejsza. Dokładnego przybliżenia nie uzyskamy jedynie wówczas gdy początkowe przybliżenia znajdują się zbyt daleko rzeczywistego pierwiastka.

Warunki stosowalności metody siecznych:

• f(x) jest określona - dla każdej wartości argumentu x z przedziału <a,b> potrafimy policzyć wartość funkcji,

• f(x) jest ciągła - Funkcja przebiega przez wszystkie wartości pośrednie - nie istnieją zatem przerwy w kolejnych wartościach funkcji ani gwałtowne skoki jej wartości,

• funkcja f(x) na krańcach przedziału <a,b> przyjmuje różne znaki (nie obowiązuje to punktów x1 i x2),

• na przedziale <a,b> pierwsza pochodna f '(x) jest różna od zera. Nie istnieje zatem minimum lub maksimum lokalne (gwarant nierównoległości siecznej do OX, co uniemożliwiłoby wyznaczenie punktu przecięcia siecznej z osią).

Wzór obliczeniowy dla metody siecznych:

$$\alpha = x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})(x_{n} - x_{n - 1})}{f\left( x_{n} \right) - f(x_{n - 1})}$$

Rysunek 2. Interpretacja graficzna metody siecznych

1. Kod źródłowy programu MatLAB

%Zadanie 3.11 Miejsca zerowe

clc; clear all; close all; format long

f=inline('x.^2-6*x+9');

df=inline('2.*x-6');

a=2; b=4; x=linspace(a,b);

plot(x,f(x))

grid on

% metoda Newtona

xp=3.2; eps0=0.001; mx=30;

[fp,it] = newton(a,b,f,df,xp,eps0,mx,1)

%Obliczenia metodą siecznych

x0=3.2; x1=3.4; delta=0.001; tol=10^-6; max1=30;

[P, it] = sieczne(f, x0, x1, delta, tol, max1)

Zastosowano do obliczeń następujące funkcje:

function [fp,it] = newton(a,b,f,df,xp,eps0,mx,rysuj)

% INPUT

% f - zadana funkcja

% df- zadana pochodna funkcji

% xp - startowy punkt iteracji

% eps - dokladnosc z jaka wyznaczony bedzie punkt staly

% mx - maksymalna liczba iteracji

% OUTPUT

% fp - kolejne przyblizenia pierwiastka

% it - ilosc iteracji do uzyskania zadanej dokladnosci "eps"

xn=xp;

x=linspace(a,b,250);

f=vectorize(f);

df=vectorize(df);

fs=inline('fxn-dfxn*(xn-x)'); fs=vectorize(fs);

r=1;

it=0;

% wymagana liczba iteracji

function [P, it] = sieczne(f, x0, x1, delta, tol, max1)

% INPUT

% f - iterowana funkcja

% x0 - pierwszy punkt startowy

% x1 - drugi punkt startowy

% delta - dokładnosc wyznaczenia miejsca zerowego

% tol - dokladnosc iteracji wartości funkcji

% max1 - maksymalna liczba iteracji

% OUTPUT

% P - wektor kolejnych wartości punktow {pk}

% it - wartosc funkcji g(x) w kolejnych przyblizeniach

r=1; it=0; zero=1;

P(1)=x0;P(2)=x1;

while zero>tol

it=it+1;

x2=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0));

r=abs(x2-x1);

zero=abs(f(x2));

x0=x1;

x1=x2;

P(it+2)=x2;

if r<tol

break

elseif it==max1

disp('przekroczono maksymalna ilosc iteracji')

break

end

end

P=P';

1. Rozwiązanie z programu MatLAB

Dla metody Newtona:

fp =

3.100000000000002

3.050000000000014

3.025000000000008

it =

3

Dla metody siecznych:

P =

3.200000000000000

3.400000000000000

3.133333333333336

3.099999999999997

3.057142857142881

3.036363636363634

3.022222222222235

3.013793103448303

3.008510638297902

3.005263157894588

3.003252032520224

3.002010050251690

3.001242236025163

3.000767754317898

it =

12

Ponadto dla metody Newtona wygenerowano wykres. Zamieszczony został on poniżej.

Rysunek 3. Wykres funkcji f(x)=(x-3)^2

1. Obliczenie ręczne

Zamieszczono na ostatniej stronie sprawozdania.

1. Wnioski
   

• Badana funkcja ma jedno miejsce zerowe,

• dla wykonanych założeń wykonując obliczenia metodą Newtona dostatecznie duże przybliżenie uzyskuje się już po 3 iteracjach,

• warunek metody zbieżności metody Newtona został potwierdzony,

• metoda siecznych jest również zbieżna, ale wielokrotnie wolniej od metody Newtona. Na uzyskanie dostatecznej dokładności potrzebne było 12 iteracji,

• rezultaty obliczeń ręcznych i komputerowych metody Newtona są identyczne.