Zad 1 Estymacja przedziałowa parametrów populacji jednowymiarowej

Przedstawiono wielkość żołędzi dębu w Polsce dane uporządkowano w szereg rozdzielczy, proszę scharakteryzować próbę podstawowymi charakterystykami statystyki

x-przedz klas	n-liczebni	x* n	X^2*n
23	109	2507	57661
24	405	9720	233280
25	670	16750	418750
26	952	24752	643552
27	1198	32346	873342
28	1202	33656	942368
29	1056	30624	888096
30	1000	30000	900000
31	650	20150	624650
32	468	14976	479232
	∑=7710	∑=215481	∑=6060931

Dla tej populacji obliczamy średnią na podstawie średniej ważonej

Wariancja

Dla szeregu rozdzielczego modyfikujemy S² i ma postać

Dla wariancji stosujemy poprawkę p Shepparda

Popr S= h- jest to przedział klasowy między jedną klasą a drugą dzieli długość przedziału u nas 32 a 31 = 1

S²pop=S²-

Można wyliczyć odchylenie standardowe

S=

Na podstawie odchylenia standardowego liczymy błąd standardowy

S=

Na podstawie błędu standardowego liczymy przedział ufności L

L=*t

t- wartość z rozkładu studenta (poziom istotności)

n-1 – stopnie swobody

t; n-1

Dla nas wynosi

t0,05: 7709=1,960

t0,01 ; 7709= 2,576

półprzedział ufności półprzedział ufności

lewy prawy

-L ≤ 27,95 ≤ +L

27,95-0,049 ≤ 27,95 ≤ 27,95+0,049

27,901 ≤ 27,95 ≤ 27,999

Odp. Z 95% prawdopodobieństwem można stwierdzić że średnia wielkość żołędzi w Polsce mieści się w przedziale od 27,901 do 27,999

Zad2 Współczynnik korelacji i regresji

Zbadaj zależność między objętością pojemnika szkółkarskiego w cm³ a suchą masą korzeni 1 rocznej sosny

X cm^3	Y masa	X^2	Y^2	X*Y
Ażurowość	Natężenie światła
∑X	∑Y	∑X^2	∑Y^2	∑X*Y

Liczymy

X= Y=

Wariancja

Z SObliczam Sx i Sy jako

Następnie liczymy kowariancje

Covxy=

Z tego obliczamy korelacje

Współczynnik korelacji liniowej mierzy siłę związku między danymi cechami i przybiera wartości z zakresu

Od -1 ≤ r≤1

Np. r=0.8 korelacja ta jest dodatnia czyli wartość obu cech rosną lub maleją,

Gdy jest ujemna wraz ze wzrostem wartości 1 cechy maleje wartość drugiej cechy

Współczynnik korelacji może być zerem wtedy występuje brak zależności między badanymi cechami

Czy korelacja przez nas obliczona jest statystycznie istotna

Wartość tablicową sprawdzamy na podstawie tablic studenta

Na poziomie istotności i stopniach swobody

t; n-2

Jeśli t obliczone < od t tablicowego jest to koniec zadania

Co oznacza że nie stwierdziliśmy na konkretnym poziomie istotności korelacji istotnej statystycznie

Zakładamy odwrotny przypadek że t obliczone > t tablicowego

Wówczas mamy korelację statystycznie spełnia wymaganie i liczymy regresję liniową dotyczy oceny wartości jednej cech na podstawie wartości drugiej cechy

Regresja może być postawiona tylko w przypadku istotnej współzależności między cechami i wtedy wyznacza się analityczną postać tej współzależności wyznaczając zmienną y jako funkcje zmiennej x

Regresja liniowa (równanie regresji)

byx-współczynnik regresji

byx=

Gdy korelacja jest dodatnia między cechami współczynnik regresji byx stanowi miarę wzrostu cechy y gdy wartość cechy x wzrasta o jednostkę

Gdy korelacja jest ujemna współczynnik regresji byx jest również ujemny i wtedy określa ubytek wartości cech y gdy wartość cechy x wzrasta o jednostkę

Zad 3 Regresja krzywoliniowa na przykładzie krzywej wysokości

Opisz zależność między pierśnicą a wysokością szczepów jodły należących do jednego klonu

d-pierśnica	h- wysokość		U*d	d^2

Rozpoczynamy od równania krzywej wysokości parabola Naslunda

u- zmienna służąca do wyprowadzania krzywej y=a+bx

bud obliczamy z zależności

to daje

Covxy=

np. u=6,8 + 0,26 (d-22,5) = 6,8 +0,26d-5,85 = 0,26d+0,95

Dla pierśnicy równej 0 Naslund przyjął wysokość drzewa 1,3

Naslund przyjął że zależność między wysokością a pierśnicą drzewa jest funkcją ciągle rosnącą. Daje to możliwość ekstrapolacji wyników poza zakres pierśnic drzewa w d-stanie co ma duże znaczenie do wykreślania stałych krzywych wysokości

Testowanie różnic między dwiema średnimi arytmetycznymi

Zweryfikuj hipotezę mówiącą o braku różnic między dwiema śre dnimi arytmetycznymi stosunku miąższości twardzielu do bielu w drewnie Św na dwóch różnych siedliskach

Podstawą w każdym zadaniu jest postawienie hipotezy zerowej

BMśw	LMśw
X1	X2	X1^2	X2^2

Przyjmujemy hipoteze zerową że Ho: brak różnic

Błąd standardowy

Błąd standardowy różnicy

Wariancja

I obliczam następnie błąd standardowy różnicy

NIR- najmniejsza istotna różnica t-t-studenta

poziom istotności stopnie swobody

; n1+n2-2

Porównujemy

Nasza różnica empiryczna np. wyszła większa niż NIR czyli odrzucamy hipotezę zerową

Hipotetycznie gdybyna danym poziomie istotności stwierdzamy brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

(nigdy nie przyjmujemy hipotezy zerowej)

Określanie współzależności cech jakościowych Test Chi kwadrat

Zweryfikuj hipoteze zerową zakładając brak różnic w zagroże niu d-st w nadleśnictwach żerem jakiegoś owada. Zastosuj test hi kwadrat w tabeli podano liczby kontrolne w d-stanach

	ne- dla każdego liczymy no	Suma bloków
Suma obiektów		Suma wszystkiego

Hipoteza zerowa Ho: brak różnic

No- liczymy dodatkowe okno dla każdej cyfry

dla każdej cyfry osobno następnie dodajemy wszystkie

poziom istotności 0,05

0,05; 8

stopnie swobody obliczamy

df= (liczba wierszy -1) * ( liczba kolumn – 1)

Jeżeli

To na poziemie istotności przyjętym przez nas odrzucamy hipoteze zerową

Jeżeli jest odwrotnie to stwierdzamy brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

(nigdy nie przyjmujemy hipotezy zerowej)

Dwuczynnikowa analiza wariancji

Zweryfikuj hipoteze zerową zakładającą brak wpływu metod sadzenia dwuletniej sosny w zalesieniu porolnym na udatność uprawy po 3 latach

Obiekty	Pow1	Pow2	Pow3	Obiektów

Mamy 2 czynniki 5 obiektów w 3 powtórzeniach

Ho:

Pierwszy człon mówi o braku różnic między obiektami

Drugo człon mówi o braku różnic między blokami

Ho: brak wpływu metod sadzenia an udatność

Brak różnic między powtórzeniami