A8: Omówić narzędzia i metody rozwiązywania zadania sterowania 
optymalnego 

 
Na początek to samo, co w A7 – wylosuje się tylko jedno z pytań; myślę, że zacząć trzeba tak samo: 
 

Wprowadzenie: 

 

 

Sterowanie optymalne, zadania sterowania optymalnego:  

 

 
 

 

Narzędzia i metody rozwiązywania:  

 

1.  Zastosowanie eksponenty macierzowej do wyznaczenia sterowania optymalnego dla 

liniowych układów sterowania: 

 
Mając: 
 

 

gdzie A – macierz stanu, B – macierz sterowania; (dla równania: y(t) = Cx(t), C – macierz wyjściowa) 
 
To: 

 

Wówczas (1): 

 

Wówczas (2): 

 

A wyznaczanie eksponenty macierzowej wygląda następująco: 

 

Przykładowe rozwiązanie: 

 

 

 
 

 

2.  Sprowadzanie problemu optymalnego sterowania do zadania rachunku wariacyjnego: 

 
Za Wikipedią: 

 
Rachunek wariacyjny - dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów 
funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych. 
 
Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek 
wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla których dany funkcjonał przyjmuje 
wartości ekstremalne. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji. 

 

 

 

 

 
 

 

Za Wikipedią: 

Równania Eulera-Lagrange'a – podstawowe równanie rachunku wariacyjnego, którego 
rozwiązaniami są funkcje, dla których pewne wyrażenie dane całką oznaczoną jest 
stacjonarne. 

 

Dla funkcjonału: 

 

rozwiązaniem równania Eulera-Lagrange'a: 

 

są funkcje x(t), dla których S jest stacjonarne. To znaczy, że dla niewielkich odchyleń x(t), S 
zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby S przyjmowało dla x(t) 
ekstremum. 

 
 

 

3.  Mnożniki funkcyjne Lagrange’a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym: 

 

 

 

 

 

 

 
Dla każdego, kto tylko omiótł to wzrokiem – ostatnie zdanie mówi, po co to wszystko. 
 
A ponadto warto wiedzieć: 
Dla układów liniowych o rzeczywistych wartościach własnych sterowanie minimalnoczasowe jest 
typu przekaźnikowego (bang-bang) i może zmieniać znak nie więcej niż n-1 razy dla układu n-tego 
rzędu.  
 
Pominięto zagadnienia z kursu, które na pewno były na ćwiczeniach, a które nie są związane z 
tematem A8: 



 

linearyzacja nieliniowych modeli obiektów sterowania – czyli wykorzystanie wzoru Taylora, 



 

badanie obiektu sterowania o parametrach rozłożonych – wykorzystanie m.in. dyskretyzacji 
zmiennej przestrzennej, 



 

badanie stabilności nieliniowych układów sterowania – druga i pierwsza metoda Lapunowa, 



 

metoda łączenia rozwiązań równań stanu na podprzedziałach stałości i liniowości sterowania, 



 

badanie dominacji sterowania cyklicznego za pomocą formy macierzowej π (to może 
podchodzi pod temat, ale jest to tak absolutnie niezrozumiałe i niewytłumaczalne, że lepiej o 
tym nie wspominać), 



 

badanie sterowalności liniowych układów sterowania (w tym sterowalności selektywnej), 



 

badanie obserwowalności liniowych układów sterowania, 



 

rozkład kanoniczny Kalmana liniowych układów sterowania.