Politechnika Krakowska

Wydział Inżynierii Lądowej

Instytut Technologii Informatycznej

METODY OBLICZENIOWE

PROJEKT NR II

SPRAWOZDANIE

Wykonał:

Radosław Burcek

gr. 10

% 2D przepływ ciepła w L-kształtej strukturze – dyskretyzacja strukturalna

clear, clc, clf

format compact

% dane

k=0.8; % wspolczynnik przewodzenia

% dyskretyzacja

Nodes = 8; % liczba węzłów

Nel = 6; % liczba elementów

Ndofs = Nodes; % jeden stopień swobody na każdy węzeł

a= 5; % wymiar siatki

Coord(1,1:2)=[0,2*a]; % współrzędne węzłów

Coord(2,1:2)=[a,2*a];

Coord(3,1:2)=[0,a];

Coord(4,1:2)=[a,a];

Coord(5,1:2)=[0,0];

Coord(6,1:2)=[a,0];

Coord(7,1:2)=[2*a,0];

Coord(8,1:2)=[2*a,a];

Inc = [1 3 2; % węzły elementów (topologia)

3 4 2;

3 5 4;

5 6 4;

6 8 4;

6 7 8];

Edof=[[1:Nel]',Inc]; % globalna macierz stopni swobody

temp=30; % warunki brzegowe Dirichleta

bc=[1 temp*2; 2 temp];

% wykres dyskretyzacji

figure(1) % elementy

[Ex,Ey]=coordxtr(Edof,Coord,[1:Nodes]',3);

eldraw2(Ex,Ey,[1,1,1],Edof), axis([-1,12,-1,12]), axis equal;

figure(2) % węzły

eldraw2(Ex,Ey,[3,4,0]), hold on, axis([-1,12,-1,12]), axis equal;

for in=1:Nodes

h=text(Coord(in,1),Coord(in,2),int2str(in));

set(h,'fontsize',14,'fontweight','bold');

end

% agregacja

KG=zeros(Ndofs,Ndofs); % macierz globalna

f=zeros(Ndofs,1); % wektor globalny

f(7) = 87.5;

f(8) = 87.5;

for iel=1:Nel

Kel=flw2te(Ex(iel,:),Ey(iel,:),[1],[k 0;0 k]);

KG=assem(Edof(iel,:),KG,Kel);

end

% rozwiązanie

u=solveq(KG,f,bc);

% wykres rozwiązania

figure(3)

Ed = extract(Edof,u);

fill(Ex',Ey',Ed')

axis([-1,12,-1,12]), axis equal, colorbar;

Tmin=min(u), Tmax=max(u) %ekstrema wartości

%porównanie temperatury i jej gradientu

syms x y ;

N4 = -0.2*x+0.2*y+1; %funkcje kształtu

N6 = -0.2*y + 1;

N8 = 0.2*x -1;

T(x,y) = [N4 N6 N8]* [u(4) u(6) u(8)]';

T(5.75,4.75)

grad = [diff(T(x,y),x), diff(T(x,y),y)]; %gradient

Tmin = 30

Tmax = 555.6564

T(5.75,4.75) = 331.6407

grad = [ 48.2298, -13.4394]

% 2D przepływ ciepła w L-kształtej strukturze – dyskretyzacja niestrukturalna

clear, clc, clf

format compact

% dane

k=0.8; % wspolczynnik przewodzenia

% dyskretyzacja

Nodes = 16; % liczba węzłów

Nel = 19; % liczba elementów

Ndofs = Nodes; % jeden stopień swobody na każdy węzeł

Coord(1,1:2)=[0,10]; % współrzędne węzłów

Coord(2,1:2)=[5,10];

Coord(3,1:2)=[0,7.5];

Coord(4,1:2)=[2.5,7.5];

Coord(5,1:2)=[5,7.5];

Coord(6,1:2)=[0,5];

Coord(7,1:2)=[2.5,5];

Coord(8,1:2)=[5,5];

Coord(9,1:2)=[2.5,2.5];

Coord(10,1:2)=[5,2.5];

Coord(11,1:2)=[7.5,2.5];

Coord(12,1:2)=[0,0];

Coord(13,1:2)=[5,0];

Coord(14,1:2)=[10,0];

Coord(15,1:2)=[10,5];

Coord(16,1:2)=[7.5,5];

Inc = [1 3 4; % węzły elementów (topologia)

1 4 2;

4 5 2;

3 6 4;

4 6 7;

4 7 8;

5 4 8;

6 9 7;

7 9 8;

8 9 10;

6 12 9;

9 12 13;

9 13 10;

10 13 11;

13 14 11;

11 14 15;

11 15 16;

11 16 8;

8 10 11];

Edof=[[1:Nel]',Inc]; % globalna macierz stopni swobody

temp=30; % warunki brzegowe Dirichleta

bc=[1 temp*2; 2 temp];

% wykres dyskretyzacji

figure(1) % elementy

[Ex,Ey]=coordxtr(Edof,Coord,[1:Nodes]',3);

eldraw2(Ex,Ey,[1,1,1],Edof), axis([-1,12,-1,12]), axis equal;

figure(2) % węzły

eldraw2(Ex,Ey,[3,4,0]), hold on, axis([-1,12,-1,12]), axis equal;

for in=1:Nodes

h=text(Coord(in,1),Coord(in,2),int2str(in));

set(h,'fontsize',14,'fontweight','bold');

end

% agregacja

KG=zeros(Ndofs,Ndofs); % macierz globalna

f=zeros(Ndofs,1); % wektor globalny

f(14) = 87.5;

f(15) = 87.5;

for iel=1:Nel

Kel=flw2te(Ex(iel,:),Ey(iel,:),[1],[k 0;0 k]);

KG=assem(Edof(iel,:),KG,Kel);

end

% rozwiązanie

u=solveq(KG,f,bc);

% wykres rozwiązania

figure(3)

Ed = extract(Edof,u);

fill(Ex',Ey',Ed')

axis([-1,12,-1,12]), axis equal, colorbar;

Tmin=min(u), Tmax=max(u) %ekstrema wartości

syms x y ;

N8 = 0.4*y-1;

N10 = -0.4*x-0.4*y+4;

N11 = 0.4*x -2;

T(x,y) = [N8 N10 N11]* [u(8) u(10) u(11)]'

T(5.75,4.75)

grad = [diff(T(x,y),x), diff(T(x,y),y)]

Tmin = 30

Tmax = 575.7644

T(5.75,4.75) = 344.2015

grad = [ 40.6034, -22.7253]

Wnioski:

Dla zadanego obszaru l-kształtnego przyjęto dwie różne dyskretyzacje – strukturalną i niestrukturalną.
Niestrukturalna dyskretyzacja dzieli nierównomiernie obszar, zagęszczając siatkę w okolicach jednego z punktów. Podział strukturalny zawiera trójkąty o tych samych wymiarach.
W dwóch punktach wysuniętych najdalej na północ przyjęto temperaturę 30°C.
Po wprowadzeniu warunków zauważa się nieznaczne różnice między rozkładem temperatur dla dyskretyzacji strukturalnej i niestrukturalnej.
W obu dyskretyzacjach najniższa temperatura wynosi niezmiennie 30℃, natomiast Tmax = 248.0808 przy siatce niestrukturalnej, a Tmax = 256.97 przy siatce strukturalnej. Różnice wynikają z innych dyskretyzacji w okolicach punktu osobliwego. Zagęszczenie siatki w okolicach punktu osobliwego prowadzi do dokładniejszych obliczeń, a jej równomierne rozłożenie w istocie pomija osobliwość punktu, traktując wszystkie punkty na brzegach jednakowo. W pobliżu osobliwego punktu wybrano punkt o współrzędnych x=5.75 y=4.75 dla którego w obydwy dyskretyzacjach wyliczono temperaturę, która wyniosła 238.8737℃, oraz 206.0922℃. Różnica temperatur oraz gradientu w tym samym punkcie jest spowodowana bardziej zagęszczoną siatką w dyskretyzacji niestrukturalnej.