Karolina Mazurkiewicz

Nr albumu: 211217

Laboratorium Podstaw Fizyki

Ćwiczenie nr 84

WYZNACZANIE DŁUGOŚCI FALI ŚWIETLNEJ

ZA POMOCĄ SIATKI DYFRAKCYJNEJ

1. Cel ćwiczenia

1. Wyznaczenie stałej siatki dyfrakcyjnej

2. Wyznaczenie dyspersji kątowej siatki dyfrakcyjnej

3. Wyznaczenie długości fali światła przepuszczanego przez filtry interferencyjne

4. Wyznaczenie chromatycznej zdolności rozdzielczej siatki dyfrakcyjnej

1. Przebieg pomiarów i opracowanie wyników

   Schemat układu pomiarowego i bieg promieni świetlnych:

   

   E – ekran z podziałką milimetrową

   S – siatka dyfrakcyjna

   λ – promień światła o długości fali λ

   L – odległość siatki dyfrakcyjnej od ekranu

   x_ml, x_mp – odległość pozornych obrazów m-tego rzędu od oświetlonej szczeliny

2. Wyniki pomiarów i przykładowe obliczenia

1. Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej

λ [nm]	L [cm]	∆L [cm]	xl [cm]	∆xl [cm]	xp [cm]	xp [cm]∆	xm [cm]	∆xm [cm]
630,00	15,00	0,10	20,00	0,10	30,00	0,10	5,00	0,10
	30,00		15,00		35,00		10,00
450,00	15,00		21,50		29,50		4,00
	30,00		18,00		32,00		7,00

λ [nm]	sin α	∆sin α	sin αśr	∆sin αśr	d [nm]	∆d [nm]	dśr [nm]
630,00	0,316	0,010	0,316	0,0147	1992,23	92,58	1924,16
	0,316	0,019
450,00	0,258	0,008	0,242	0,0111	1856,08	84,79
	0,227	0,014

• Wyznaczenie sinusów kąta ugięcia dla pierwszego rzędu dyfrakcji - sinα

$$sin \propto \ = \ \frac{x}{\sqrt{L^{2} + x^{2}}} = \ \frac{5\ cm}{\sqrt{{15cm}^{2} + {5cm}^{2}}} = 0,32$$

• Wyznaczenie stałej siatki dyfrakcyjnej dla pierwszego rzędu dyfrakcji – d

$$d = \ \frac{\lambda}{sin\alpha\ sr\ sr} = \frac{630\ nm}{0,32} = 1992,23\ nm$$

• Wyznaczenie niepewności ∆sinα

$$sin\alpha = \sqrt{\ \frac{4 \bullet x^{2}}{x^{2} + L^{2}} \bullet \left( 1 - \frac{x^{2}}{x^{2} + L^{2}} \right)^{2} \bullet x^{2} + \frac{x^{2} \bullet L^{2}}{x^{2} + L^{2}} \bullet L^{2}}$$

$sin\alpha = \sqrt{\ \frac{4 \bullet {0,05}^{2}}{{0,05}^{2} + {0,3}^{2}} \bullet \left( 1 - \frac{{0,05}^{2}}{{0,05}^{2} + {0,3}^{2}} \right)^{2} \bullet {0,01}^{2} + \frac{{0,05}^{2} \bullet {0,3}^{2}}{{0,05}^{2} + {0,3}^{2}} \bullet {0,01}^{2}}$=

  = 0,01

• Wyznaczenie niepewności ∆d

  $d = \sqrt{\frac{\lambda^{2}}{{\sin\alpha}_{sr}^{2}} + \frac{y^{2} \bullet {sin\alpha}_{sr}^{2}}{\text{sinα}_{sr}^{4}}}$

$$d = \sqrt{\frac{1^{2}}{{0,316}_{}^{2}} + \frac{630^{2} \bullet {0,0147}_{}^{2}}{{0,316}_{}^{4}}} = 92,58\ nm$$

Wyznaczanie dyspersji kątowej siatki dyfrakcyjnej

λ [nm]	xl [cm]	∆xl [cm]	xp [cm]	∆xp [cm]	xm [cm]	∆xm [cm]
450	18,00	0,1	32,00	0,1	7,00	0,1
500	17,50		34,50		8,50
550	16,50		35,50		9,50
600	15,50		34,50		9,50
630	15,00		35,00		10,00
650	15,00		35,00		10,00

λ [nm]	cosα	∆cosα	dα/dλ [rad/m]	∆(dα/dλ) [rad/m]	∆(dα/dλ)/(dα/dλ) [%]
450	0,9738	0,0006	0,000534	0,000025	4,61%
500	0,9621	0,0006	0,000540	0,000025	4,61%
550	0,9533	0,0005	0,000545	0,000025	4,61%
600	0,9533	0,0005	0,000545	0,000025	4,61%
630	0,9487	0,0005	0,000548	0,000025	4,61%
650	0,9487	0,0005	0,000548	0,000025	4,61%

• Wyznaczenie dyspersji kątowej siatki dyfrakcyjnej

$$cos\alpha = \frac{L}{\sqrt{L^{2} + x^{2}}} = \ \frac{30\ cm}{\sqrt{30^{2} + 7^{2}}} = 0,9738$$

$$\frac{\text{dα}}{\text{dλ}} = \frac{m}{d \bullet cos\alpha} = \frac{1}{1924,16 \bullet 0,974} = 0,000534$$

• Wyznaczenie niepewności Δcosα

$$\text{Δcosα} = \sqrt{\ \frac{4 \bullet L^{2}}{x^{2} + L^{2}} \bullet \left( 1 - \frac{L^{2}}{x^{2} + L^{2}} \right)^{2} \bullet L^{2} + \frac{x^{2} \bullet L^{2}}{x^{2} + L^{2}} \bullet x^{2}}$$

$$\text{Δcosα} = \sqrt{\ \frac{4 \bullet {0,3}^{2}}{{0,07}^{2} + {0,3}^{2}} \bullet \left( 1 - \frac{{0,3}^{2}}{{0,07}^{2} + {0,3}^{2}} \right)^{2} \bullet {0,01}^{2} + \frac{{0,07}^{2} \bullet {0,3}^{2}}{{0,07}^{2} + {0,3}^{2}} \bullet {0,01}^{2} =}\ 0,0006$$

• Wyznaczanie niepewności Δ$\frac{\text{dα}}{\text{dλ}}$

  Δ$\frac{\text{dα}}{\text{dλ}} = \sqrt{\frac{m^{2}{\bullet d}^{2}}{d^{4} \bullet \text{cosα}^{2}} + \frac{m^{2} \bullet \text{cosα}^{2}}{d^{2} \bullet \text{cosα}^{4}}}$

  Δ$\frac{\text{dα}}{\text{dλ}} = \sqrt{\frac{1^{2}{\bullet 88,69}^{2}}{{1924,16}^{4} \bullet {0,9738}^{2}} + \frac{1^{2} \bullet {0,0006}^{2}}{{1924,16}^{2} \bullet {0,9738}^{4}}}$ = 0,000025

Wykres zależności

$$\frac{\text{dα}}{\text{dλ}} = f(\lambda)$$

1. Wyznaczenie długości fal światła przepuszczanego przez filtry interferencyjne

d [nm]	L [m]	∆L [m]	xl [cm]	∆xl [m]	xp [m]	xp [m]∆	xm [m]	∆xm [m]
1924,16	0,15	0,001	0,21	0,001	0,29	0,001	0,04	0,001
	0,30		0,16		0,34		0,09

sin α	∆sin α	sin αśr	∆sin αśr	λ [nm]
0,270	0,001	0,2741	0,0011	527,37
0,279	0,001

• Wyznaczenie długości fali światła przepuszczanego przez filtry

$$\lambda = \ \frac{d \bullet sin\alpha}{m} = 1924,16 \bullet 0,275 = 527,37\ nm$$

• Wyznaczenie niepewności długości fali świetlnej

$$\lambda = \sqrt{\text{sinα}^{2} \bullet {d}^{2} + d^{2}\text{cosα}^{2}{sin\alpha}^{2}}$$

1. Wyznaczenie chromatycznej zdolności rozdzielczej siatki dyfrakcyjnej

$$R = \ \frac{m \bullet s}{d} = mN = \ \frac{1\ \bullet 34,95\ \bullet 10^{- 3}}{1924,16\ \bullet \ 10^{- 9}} = 181,63 \bullet 10^{2}$$

Gdzie:

m – rząd dyfrakcji m=1

N – liczba szczelin siatki dyfrakcyjnej

S – szerokość czynna siatki s= 34,95 mm