Wartość obligacji: $PV = \sum_{t = 1}^{n}\frac{\text{CF}_{t}}{{(1 + r)}^{t}} + \frac{N}{{(1 + r)}^{n}}$

Duration: $D = \frac{\sum_{t = 1}^{n}\frac{t*\text{CF}_{t}}{\left( 1 + r \right)^{t}} + \frac{n*N}{\left( 1 + r \right)^{n}}}{\text{PV}}$ $\backslash tPV = - D\frac{r_{1} - r_{0}}{1 + r_{0}}$ $\frac{PV}{r} = - \frac{D}{1 + r_{0}}$

Immunizacja portfela obligacji:

x₁ + x₂ + … + x_n = 1

x₁D₁ + x₂D₂ + … + x_nD_n = D_P

0 ≤ x_i ≤ 1; i = 1, 2, …, n

dla n=2 układ ma jedno rozwiązanie, a dla n≥3, układ ma nieskończenie wiele rozwiązań

Convexity (wypukłość) obligacji:

$$C = \frac{\sum_{t = 1}^{n}\frac{t(t + 1)\text{CF}_{t}}{{(1 + r)}^{t}}}{2*\text{PV}*{(1 + r)}^{2}}$$

CF_n = kupon + wartość nominalna

Jeśli wpływy gotówkowe k razy w roku:

$$C = \frac{\sum_{t = 1}^{n}\frac{t(t + 1)\text{CF}_{t}}{{(1 + r_{k})}^{t}}}{2*k^{2}*\text{PV}*{(1 + r_{k})}^{2}}$$

r_k = r/k

Dla obligacji zero kuponowej

$$C = \frac{n(n + 1)}{2*{(1 + r)}^{2}}$$

$$dPV = - D\frac{r_{1} - r_{0}}{1 + r_{0}} + C{(r_{1} - r_{0})}^{2}$$

YTM:$\ \text{PV}_{m} = \sum_{i = 1}^{n}\frac{\text{CF}_{t}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}$ lub $\text{PV}_{m} = \sum_{t = 1}^{n*k}\frac{\text{CF}_{t}}{{(1 + \frac{\text{YTM}}{k})}^{t}}$

APY: $APY = \frac{\text{CF}_{t} + \frac{1}{n}(N - \text{PV}_{m})}{\frac{1}{2}(N - \text{PV}_{m})}$